资源简介

27.2.2　相似三角形的性质
教师备课　素材示例
●置疑导入　在10倍放大镜下看到的三角尺与原三角尺相比，三角尺的边长、角、周长、面积这些量，哪些量没有变？哪些量被放大了10倍？哪些量不止放大了10倍？
【教学与建议】教学：从放大镜里看到的三角尺与原三角尺相似，在由问题导入课题中感悟新知．建议：学生先讨论结果，教师再借助信息技术手段将结果呈现给学生．
●归纳导入　(1)在如图所示的方格纸(每个小方格的边长均为1个单位长度)上，画出一个与已知△ABC相似(点A，B，C均在格点上)，但相似比不为1的格点三角形A1B1C1(每小组至少画两种情况)；
(2)分别计算△ABC与△A1B1C1的相似比、周长比及面积比，然后填表．
相似比 周长比 面积比
△ABC∽△A1B1C1
　　【归纳】当相似比等于k时，周长比等于__k__，面积比等于__k2__．
相似三角形周长的比等于__相似比__，面积的比等于__相似比的平方__．
【教学与建议】教学：学生动手试验——观察——思考——归纳——发现的学习过程，分别总结相似三角形的周长比与相似比的关系、面积比与相似比的关系．建议：先猜测得到命题：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．再进行证明．
*命题角度1　利用相似三角形对应线段的比等于相似比求线段长
相似三角形的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．
【例1】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝4，则＝(A)
A．2 B． C．3 D．
【例2】
如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则点P到AB的距离是__0.9__m.
*命题角度2　利用相似三角形周长的比等于相似比解决周长问题
涉及两个三角形的周长问题，可以先判定两个三角形是否相似，再利用相似三角形周长的比等于相似比解决．
【例3】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为12和6，且FH＝4，则EA的长为(B)
A．3 B．2 C．4 D．5
【例4】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为__1∶2__．
*命题角度3　利用相似三角形面积的比等于相似比的平方解决面积问题
涉及两个三角形的面积问题，可以先根据条件判定两个三角形是否相似，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方解决．
【例5】如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于G，则S△EFG∶S△ABG＝(C)
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
　　
【例6】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为__3__．
高效课堂　教学设计
1．理解并掌握相似三角形的性质．
2．能够运用相似三角形的性质解决相关问题．
▲重点
理解并能运用相似三角形的性质．
▲难点
探索证明相似三角形的性质．
◆活动1　新课导入
1．类似三角形全等，若两个三角形相似，它有哪些性质？
2．已经掌握相似三角形有哪些性质？
◆活动2　探究新知
1．教材P37　探究．
(1)在三角形中除了三条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？
(2)仿照图27.2－13证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比；
(3)仿照图27.2－13证明：相似三角形对应中线的比等于相似比；
(4)请证明：相似三角形周长的比等于相似比．
学生完成并交流展示．
2．教材P38　思考．
请证明：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
◆活动3　知识归纳
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于__相似比__.
3．相似三角形周长的比等于__相似比__．
4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
◆活动4　例题与练习
例1　已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′和A′C′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝，即＝，∴A′B′＝18 cm，同理，BC＝20 cm，∴AC＝60－20－15＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm).
例2　如图，△ABC是一块锐角三角形涂料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点在AB，AC上．该矩形的长QM＝y(mm)，宽MN＝x(mm)，如何用含x的代数式表示y
解：∵PN∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PN.易知PN＝QM＝y，DE＝MN＝x.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，∴＝，即y＝120－x.
例3　如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AD∥BC，且AD＝BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE＝2∶1，则＝____．
练习
1．教材P39　练习第1，2，3题．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是(C)
　A．＝ B．＝
　C．＝ D．＝
3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
解：(1)∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝＝，∴CP2＝CA2＝×42＝8，∴CP＝2；
(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝×(AB＋BC＋AC)＝6，∴CQ＝6－CP.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得CP＝.
◆活动5　课堂小结
1．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比．
2．相似三角形周长的比等于相似比．
3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．
1．作业布置
(1)教材P42～43　习题27.2第6，12题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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