资源简介

27.2.3　相似三角形应用举例
教师备课　素材示例
●复习导入　1.相似三角形的判定方法有哪些？
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角分别相等的两个三角形相似；
(3)三边成比例的两个三角形相似；
(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质有哪些？
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比；
(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【教学与建议】教学：复习相似三角形的判定和性质，为本课时解决相似三角形的实际问题奠定基础．建议：学生如果出现回答不完整现象，其他同学相互补充．
●悬念激趣　胡夫金字塔是现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹之一” .塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10多万人花了约20年时间．大金字塔原高146.59 m，但经过几千年的风吹雨打，顶端风化，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的数学家、天文学家叫泰勒斯．他曾测量出大金字塔的高度．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
【教学与建议】教学：通过悬念问题的提出，让学生了解了本节课要探讨的问题方向．建议：对于测量问题，可以让学生小组讨论提出测量方案，作为一个专题完成学习．
*命题角度1　利用影长求物体的高度
在阳光或者路灯的照射下，物、光线、影子构成的三角形相似，利用对应边成比例求线段长度．
【例1】如图，身高为1.5 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3 m，CA＝1 m，则树的高度为(D)
A．3 m B．4 m C．4.5 m D．6 m
　　
【例2】在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB＝2.5 m，它的影长BC＝2 m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.8 m，MN＝1.2 m，则木杆PQ的长度为__3.45__m.
*命题角度2　利用标杆或三角尺求物高
借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似直角三角形，进而利用对应边成比例解决问题．
【例3】如图，小明同学用自制的直角三角纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__5.5__m.
*命题角度3　利用平面镜反射原理测量物高
平面镜反射光线时，入射角等于反射角，由此可构造相似的两个直角三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题．
【例4】如图是小明设计用手电来测量某古城高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测量AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度是(B)
A．6 m B．8 m C．18 m D．24 m
*命题角度4　利用相似测宽度
测量河、湖等宽度时，通常构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求宽度．
【例5】如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E 在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
*命题角度5　多次利用相似三角形测高
根据题意构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出物体的高．
【例6】如图，一人拿着一支刻有厘米分度的小尺，他站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分度恰好遮住电线杆，已知臂长约60 cm，则电线杆的高是__6__m.
高效课堂　教学设计
1．能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题．
2．能够根据同一时刻，物高与影长成比例，解决太阳光下的影长问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
▲重点
运用相似的判定和性质定理解决实际问题．
▲难点
在实际问题中建立数学模型．
◆活动1　新课导入
你看过或听过解密埃及金字塔的故事吗？你知道古希腊数学家泰勒斯是怎样求出金字塔的高度的吗？
◆活动2　探究新知
1．教材P39　例4.
提出问题：
(1)本例中是如何构造相似三角形求高的？
(2)在太阳光下，如何利用影长求物体高度，你能从中得出什么结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P40　例5.
提出问题：
(1)构造相似三角形求河宽，至少需要测量几个数据？
(2)利用全等能求河宽吗？请设计出具体方案．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．同一时刻的太阳光线下，物高与影长成比例．
2．利用相似三角形解决问题的基本方法是：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P40　例6.
例2　九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．
解：由已知得CG∥AH，∴△CGE∽△AHE，∴＝，∴＝，∴AH＝11.9(m)，∴AB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m).
答：旗杆AB的高度为13.5 m．
例3　如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到点G，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度．(精确到0.1 m)
解：根据题意，得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴＝＝　①.同理，＝　②.又∵CD＝FG＝1.7 m，由①②可得＝，即＝，解得BD＝7.5 m．将BD＝7.5 m代入①，得AB＝5.95 m≈6.0 m.
答：路灯杆AB的高度约为6.0 m．
练习
1．教材P41　练习第1，2题．
2．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m有一棵树，在北岸边每隔50 m有一根电线杆．小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__22.5__m.
3．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在点B处立一根高为2 m的标杆，观测者站在点F处时，观测者的眼睛E与标杆顶A和树顶C在同一条直线上，若测量得到BD＝6.4 m，FB＝1.6 m，EF＝1.6 m，求树的高度．
解：过点E作EG⊥CD于点G，交AB于点H，则EH⊥AB，∴∠AHE＝∠CGE＝90°.又∵∠AEH＝∠CEG，∴△EAH∽△ECG，∴＝，即＝，解得CG＝2(m)，∴CD＝CG＋GD＝2＋1.6＝3.6(m).
答：树的高度为3.6 m．
◆活动5　课堂小结
1．测量不能直接测量的物体的高度：通常用同一时刻物高与影长成比例解决．
2．测量不能直接测量的两点间的距离：通常构造相似三角形求解．
3．把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型．
1．作业布置
(1)教材P43　习题27.2第9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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