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第2课时　锐角的余弦和正切
教师备课　素材示例
●归纳导入　1.如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，得__＝＝__＝k.在Rt△ABC中，当锐角A的度数__一定__时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是__唯一确定__的．
2．当∠A＝30°或∠A＝45°时，∠A的邻边与斜边的比是多少？
【归纳】当锐角A的度数一定时，无论直角三角形大小如何，∠A的邻边与斜边的比是唯一确定的．
【教学与建议】教学：通过锐角确定的直角三角形图形的变化，让学生发现邻边与斜边的比是确定的．建议：让学生自主发现，归纳规律．
●复习导入　复习提问：
1．在直角三角形中，当一个锐角的大小一定时，它的对边与斜边之间有什么关系？
2．什么是正弦？如何求一个角的正弦？
3．探究正弦的概念时，我们用了什么方法？
4．类比正弦的情况，当锐角A大小确定时，∠A邻边与斜边的比也是确定的吗？
【教学与建议】教学：先复习提问，再类比探究锐角的正弦的过程来探究锐角的余弦和正切．建议：通过画图强调锐角的正弦的内涵是无论直角三角形大小如何，当锐角的度数一定时，它的对边与斜边的比都是固定值．
*命题角度1　直接求直角三角形锐角的三角函数值
已知直角三角形的两边长，用勾股定理求出第三边长，再根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则cos B＝____，tan A＝____．
*命题角度2　构造直角三角形，求锐角的三角函数值
根据等腰三角形、菱形、圆等图形的性质，构造直角三角形，再求直角三角形的锐角三角函数值．
【例2】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)
A．2 B． C． D．
【例3】已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为____．
【例4】如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sin C的值为____.
*命题角度3　转化等角，求锐角的三角函数值
借助几何图形的性质或全等(或相似)等知识进行等角的转化，从而求解．
【例5】如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为(B)
A． B． C． D．
　　　
【例6】如图所示，∠1的正切值等于____．
*命题角度4　利用已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值
根据已知角的三角函数值确定其他三角函数值，设参数表示两边长，结合勾股定理及锐角三角函数的定义求解．
【例7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是(B)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
【例8】在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则cos B＝____．
*命题角度5　利用锐角三角函数求边长
根据锐角三角函数的定义及三角函数值表示出直角三角形的边，结合勾股定理求解．
【例9】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos ∠BDC＝，则BC的长是(D)
A．10 B．8 C．4 D．2
【例10】如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，S△ABC＝84，求sin A的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵S△ABC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝.
在Rt△ACD中，sin A＝＝＝.
高效课堂　教学设计
1．理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义．
2．能运用余弦、正切的定义解决问题．
▲重点
理解锐角三角函数的意义，用它们进行简单的计算．
▲难点
以函数的角度理解正弦、余弦、正切．
◆活动1　新课导入
1．sin 30°＝____，sin 45°＝____．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值__不变__.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则AC的长为____．
◆活动2　探究新知
1．教材P64　探究．
学生完成并交流展示．
2．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.
(1)求证：＝；＝；
(2)当∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比确定吗？它的对边与邻边的比呢？
◆活动3　知识归纳
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的__邻__边与__斜__边的比，叫做∠A的余弦，记作__cos__A__，即cos A＝____．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的__对__边与__邻__边的比，叫做∠A的正切，记作__tan__A__，即tan A＝____．
3．锐角A的__正弦__、__余弦__、__正切__都叫做∠A的三角函数值．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P65　例2.
例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求sin A和cos A的值．
解：∵tan A＝＝，设BC＝2k，则AC＝3k，∴AB＝＝＝k，∴sin A＝＝＝，cos A＝＝＝.
例3　已知关于x的方程x2－5x·sin α＋1＝0的一个根为2＋，且α为锐角，求cos α.
解：设方程的另一个根为x2，则(2＋)x2＝1，∴x2＝2－.根据根与系数的关系，得5sin α＝(2＋)＋(2－)，解得sin α＝.设锐角α所在的直角三角形的对边长为4k(k>0)，则斜边长为5k，邻边长为3k，∴cos α＝＝.
练习
1．教材P65　练习第1，2题．
2．如图，点A为∠α边上的任意一点，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是(　C　)
　A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
　　　　　
3．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在边BC上，连接AD.若tan ∠CAD＝，则BD的长为__6__．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，AC＝6，CD＝3，∠ADC＝α.
(1)试写出α的正弦、余弦、正切这三个三角函数值；
(2)若∠B与∠ADC互余，求BD及AB的长．
解：(1)在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝3，∴sin α＝，cos α＝，tan α＝2；
(2)BD＝9，AB＝6.
◆活动5　课堂小结
锐角三角函数
1．作业布置
(1)教材P68　习题28.1第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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