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第二十八章 锐角三角函数
28.1　锐角三角函数
第1课时　锐角的正弦
教师备课　素材示例
●情境导入　意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.
根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
【教学与建议】教学：对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，那么它的边角之间有什么关系呢？本章将通过锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题．建议：根据问题中的数据，无法用已学过的知识和方法解决这个问题．学生会产生“怎么办呢？”的疑惑．由此导入学习锐角三角函数知识．
●复习导入　问题：1.直角三角形边和角有哪些性质？
2．有一个锐角是30°的直角三角形有什么性质？
3．有一个锐角是45°的直角三角形有什么性质？
4．如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管， 在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角(∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
　　
【教学与建议】教学：通过复习直角三角形中30°，45°角的性质，导入正弦概念，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：教师提出问题后，学生积极思考，由问题4导入课题．
*命题角度1　在直角三角形中求锐角的正弦值
在直角三角形中，锐角的正弦表示这个角的对边与斜边的比，借助勾股定理或者直接根据定义可求出锐角的正弦值．
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin B的值是(D)
A． B． C． D．
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是 ____．
*命题角度2　根据网格图求锐角的正弦值
把三角形放到网格图中，可直接借助网格图或通过作辅助线构造出直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的边长，然后求某个内角的正弦值．
【例3】如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC等于(A)
A． B． C． D．
【例4】如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正弦值是____．
*命题角度3　利用正弦值求直角三角形的边
在直角三角形中，若已知一个锐角的正弦值，确定一条直角边的长，可求直角三角形其他各边的长．
【例5】在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，sin A＝，则AB的长是(D)
A．12 B．8 C．9 D．10
【例6】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E.若sin ∠ADE＝，AB＝4，则AD的长为____．
*命题角度4　根据平面直角坐标系中点的坐标求锐角的正弦值
利用点的横、纵坐标的含义，可构造出直角三角形求平面直角坐标系中的锐角的正弦值．
【例7】如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上(顶点在原点)，终边上一点P的坐标为(3，2)，则sin α等于(A)
　
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
【例8】直线y＝x＋2与x轴相交于点A，与y轴交于点B，则∠OAB的正弦值是____．
*命题角度5　构造直角三角形求锐角的正弦值
求一个锐角的正弦值时，若这个角不在直角三角形中，一般需要等角代换，或添加辅助线，构造直角三角形求解．
【例9】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，且∠ACB＝90°，则sin α的值是____.
高效课堂　教学设计
1．理解锐角正弦的概念，能够运用sin A表示直角三角形两边的比值及进行简单的计算．
2．体会数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用．
▲重点
理解锐角正弦sin A的意义，能用它进行简单的计算．
▲难点
领悟正弦的概念．
◆活动1　新课导入
投影展示教材P61引例(扬水站建设中的问题)．
提出：你能将实际问题归结为数学问题吗？
◆活动2　探究新知
1．教材P61　问题．
提出问题：
(1)问题中是根据什么求出水管长度的？
(2)如果出水口的高度是40 m时，需要准备多长的水管？
(3)如果出水口的高度是a m时，需要准备多长的水管？你从中发现了什么规律？
(4)教材P61第1个思考，由此你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
2．教材P61　第2个思考．
提出问题：
(1)已知条件是什么？要求的是什么？我们可以根据什么定理来求解？根据勾股定理，你列出的等式是什么？的值与三角形的大小有关系吗？由此，你能得出什么结论？
(2)在上面求AB(所需水管的长度)和∠A的对边与斜边的比的过程中，你能得出什么结论？同学间可以相互交流．
(3)当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
学生完成并交流展示．
3．教材P62　探究．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个__固定值__．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的__对边与斜边的比__叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝____．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P63　例1.
例2　如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E.设∠ADE＝α且sin α＝，AB＝4，求AD的长．
解：∵∠ADE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠ADE＝∠BAC，∴sin α＝sin ∠BAC＝＝.设AC＝5x，BC＝4x，则AB＝3x＝4，∴x＝，∴AD＝BC＝.
例3　如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径．若⊙O的半径为，AC＝2，求sin B的值．
解：连接CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin D＝＝.由圆周角定理，得∠B＝∠D，∴sin B＝sin D＝.
练习
1．教材P64　练习第1题．
2．如图，在⊙O中过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D.若AC＝7，AB＝4，则sin C的值为____．
3．如图，把含30°角的三角尺ABC绕点B按逆时针方向旋转90°到三角尺DBE的位置，连接AD，求sin ∠ADE的值．
解：过点E作EF⊥AD于点F.设BD＝x.由旋转的性质，得∠ABD＝90°，AB＝BD＝x，∠EDB＝30°，∴∠DAB＝45°，AD＝x.在Rt△DBE中，易得BE＝x，∴DE＝＝x，AE＝AB－BE＝x－x＝x.∵∠AFE＝90°，∠DAB＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴易得EF＝AF＝·AE＝x.在Rt△DEF中，sin ∠ADE＝＝.
◆活动5　课堂小结
正弦的定义及运用．
1．作业布置
(1)教材P64　练习第2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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