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28.2　解直角三角形及其应用
28．2.1　解直角三角形
教师备课　素材示例
●情景导入　如图①所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图②.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，你能根据上述条件求出图②中∠A的度数(即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数)吗？
　　
与同伴相互交流．
如果将上述问题抽象为数学问题，就是已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．
【教学与建议】教学：通过构建直角三角形，利用解直角三角形的知识求锐角，把生活中的问题抽象成数学问题，让学生体验数与生活的联系．建议：结合情境图片，抽象出数学图形和数学问题，帮助学生认识问题的本质．
●归纳导入　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，除直角外，由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形．
(1)已知直角三角形中的一个元素，能求出其他元素吗？
(2)已知直角三角形中的两个元素，其他元素有几种可能的情况？
(3)举例说明已知直角三角形的两个元素，怎样求其他元素；
(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗？具体解法步骤是什么？
【归纳】在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，除直角∠C外的五个元素之间的关系：
①三边之间的关系：__a2＋b2＝c2__；
②两锐角之间的关系：__∠A＋∠B＝90°__；
③边角之间的关系：sin A＝____，cos A＝____，tan A＝____．
【教学与建议】教学：学生在教师提出的问题的引导下思考分析，合作交流并归纳结论，培养学生的发散思维能力．建议：学生小组合作交流，教师根据学生的回答进行汇总归纳．
*命题角度1　在直角三角形中解直角三角形
这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素．
【例1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长是(A)
A．2 B．8 C．2 D．4
　　
【例2】如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝3，cos B＝，则AC＝____．
*命题角度2　构造直角三角形再解直角三角形
这类问题一般通过条件或添加辅助线，可以证明或构造直角三角形，再根据解直角三角形的方法解答问题．
【例3】在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为__3＋__．
【例4】如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°，求AC和AB的长．
解：如图，作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中，
∵BC＝12，∠B＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝＝6.
在Rt△ACH中，tan A＝＝，
∴AH＝8，∴AC＝＝10，
∴AB＝AH＋BH＝8＋6.
*命题角度3　分类讨论解不定三角形
在解直角三角形问题中，如遇到直角或者某个锐角不确定时，特别是在没有给出图形的情况下，要注意分类讨论，防止漏解．
【例5】在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠B＝30°，则∠C＝__60°或120°__，BC＝__4或2__．
【例6】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于__6或10__．
高效课堂　教学设计
1．理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．掌握用数形结合和转化的思想方法解决有关问题．
▲重点
利用三角函数解决有关实际问题．
▲难点
灵活运用三角函数解直角三角形．
◆活动1　新课导入
1．在△ABC中，∠C＝90°，三边长为a，b，c，∠A的正弦、余弦、正切分别是什么？
解：sin A＝，cos A＝，tan A＝.
2．在Rt△ABC中，除直角外，还有三边和两个锐角5个元素，知道哪几个元素可以求出其他的元素呢？
解：知道一边一锐角或知道两边可以求出其他未知元素．
◆活动2　探究新知
1．教材P72　比萨斜塔倾斜程度的问题．
提出问题：
(1)将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？
(2)在问题所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？怎么求？
(3)由此，你能得出解直角三角形的内涵吗？什么是解直角三角形？
学生完成并交流展示．
2．教材P72　探究．
提出问题：
(1)回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？
①三边之间的关系__a2＋b2＝c2__(勾股定理)；②两锐角之间的关系__∠A＋∠B＝90°__；③边角之间的关系：sin A＝____＝____，cos A＝____＝____，tan A＝____＝____．
(2)从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？请同学之间进行互相交流．
(3)在直角三角形中已知两个锐角能求出其余元素吗？在直角三角形中已知一个锐角和一条边能求出其余元素吗？在直角三角形中已知两条边能求出其余元素吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．在直角三角形中，除直角外，如果知道两个元素__至少有一个是边__，这个三角形就可以确定下来．
2．在直角三角形中，由__除直角外的已知元素__求出__其余未知元素__的过程，叫做解直角三角形．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P73　例1.
例2　教材P73　例2.
例3　如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.
求：(1)BC的长；(2)sin ∠ADC的值．
解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cos C＝，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4；
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC＝.
练习
1．教材P74　练习．
2．在Rt△ACB中，∠A＝90°，∠ACB＝50°，AC＝10，则CB的长为(　D　)
　A．10sin 50°　　　B．10cos 50°　　　C．10tan 50°　　　D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，a＝4，则c＝__8__，∠A＝__60°__，∠B＝__30°__．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，AC＝8，AD＝，求∠B，BC，AB.
解：在△ACD中，∵∠ACD＝90°，∴cos ∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°.又∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∴BC＝＝8，AB＝2AC＝16.
◆活动5　课堂小结
1．解直角三角形的概念．
2．解直角三角形．
1．作业布置
(1)教材P77～78　习题28.2第1，2题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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