资源简介

28.2.2　应用举例
第1课时　与视角有关的解直角三角形的应用
教师备课　素材示例
●情景导入　九(2)班的教室在教学楼的二楼，王明站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形的知识测得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以发现视线与水平视线之间各有一个夹角，这两个角怎样命名并区别呢？如图，∠CAE，∠DAE在测量中各叫什么角呢？
【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心．建议：学生先观察物体，再根据他观察的视线画出示意图．
●悬念激趣　一棵树AC在地面上的影子BC长为8 m．如图①，在树影一端B处测得树顶A的仰角为 45°，则树高是多少米？如图②，若一只鸽子从树顶A看树影BC的顶端B的俯角为 60°，则树高是多少米？(精确到1 m)
　　
【教学与建议】教学：通过仰角和俯角进一步说明，观察点的位置和方向不同，得到的数据不同．建议：让学生根据上述两个图形求出树高，理解仰角和俯角的概念．
*命题角度1　利用仰角、俯角构造直角三角形直接求值
在根据仰角或者俯角的度数，构造仰角或者俯角所在的直角三角形，然后解直角三角形求解．
【例1】如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18 m的地面上，若测角仪的高度是1.5 m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是(C)
A．55.5 m B．54 m C．19.5 m D．18 m
　　
【例2】如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800 m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为____m.
*命题角度2　根据仰角、俯角的变化求解
在实际问题中，如果有仰角或者俯角的变化且有一条边的长度不变，一般的解题方法是根据仰角、俯角的三角函数设未知数，根据边的长度列出方程求解．
【例3】如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是50 m，则甲楼的高AB是__50__m.(结果保留根号)
　　
【例4】某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF(如图)，已知立杆AB的高度是3 m，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，则路况警示牌宽BC＝__(3－3)__m.
*命题角度3　根据含特殊角的仰角、俯角构造直角三角形求解
综合利用含30°，45°，60°角构造直角三角形，再利用三角函数值解直角三角形．
【例5】如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°.若BC为240 m，则热气球A的高度为(B)
A．120 m B．120(－1)m
C．240 m D．120(＋1)m
　　
【例6】如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30 m，DE的长为15 m，则树AB的高度是__45__m.
高效课堂　教学设计
1．进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形．
2．能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题．
▲重点
学会将实际问题转化为解直角三角形的问题．
▲难点
将实际问题抽象为数学模型．
◆活动1　新课导入
要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长5 m的梯子．试问：当梯子的底端距离墙角2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解：角α约为61°；这时人能安全使用这个梯子．
◆活动2　探究新知
1．教材P74　例3.
提出问题：
(1)例3中是如何将实际物体抽象为数学模型的？
(2)飞船能直接看到的地球表面的最远点的位置是如何确定的？
(3)最远点Q与点P的距离是弦长还是弧长？
学生完成并交流展示．
2．教材P75　例4.
提出问题：
(1)什么叫俯角？什么叫仰角？
(2)请阅读例4解题过程，你能谈谈其解题思路吗？你还有其他的解题思路吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
如图，当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，某城市在发展规划中，需要移走一棵古树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形为危险区，现在一名工人站在离点B3 m远的D处测得树的顶端点A的仰角为60°，树的底部点B的俯角为30°，问距离点B8 m远的保护物是否在危险区内？
解：过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△CBE和Rt△ACE中，AE＝CE·tan 60°＝3(m)，BE＝CE·tan 30°＝(m)，∴AB＝4 m≈6.93 m<8 m．∴距离点B8 m远的保护物不在危险区内．
例2　如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20 m到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离．
解：过点D作l1的垂线，垂足为F.∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°，∴DE＝AE＝20 m．在Rt△DEF中，EF＝DE·cos 60°＝20×＝10(m).∵DF⊥l1，AC⊥l1，∴AC∥DF，∴四边形ACDF为平行四边形．又∵∠CAF＝90°，∴四边形ACDF为矩形，∴CD＝AF＝AE＋EF＝30(m).
答：C，D两点间的距离为30 m．
练习
1．教材P76　练习第1，2题．
2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再从D处向电视塔方向前进100 m到达F处，测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为(　C　)
　A．50 m　　　B．51 m　　　C．(50＋1)m　　　D．101 m
　　　　
3．如图，在离铁塔(轴线)100 m的A处，用测角仪测得塔顶B的仰角为30°.已知测角仪的高AD＝1.5 m，则铁塔的高BE＝____m.
4．观光塔是潍坊市区的标志性建筑．为了测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房的高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m.
◆活动5　课堂小结
1．理解俯角、仰角的概念．
2．会解决与视角有关的问题．
1．作业布置
(1)教材P78～79　习题28.2第3，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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