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第2课时　与方位角、坡度有关的解直角三角形的应用
教师备课　素材示例
●情景导入　如图，一架外国敌机(以下简称敌机)沿ED方向入侵我国领空，我空军无人机沿AC方向与其平行飞行进行跟踪．我机在A处与敌机在B处的距离为800 m，∠CAB＝30°，这时敌机突然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继续沿AC方向以400 m/s的速度飞行，敌机在C处故意撞击我机，则敌机由B到C的速度是多少？
【教学与建议】教学：用学生比较熟悉的军事问题吸引他们的注意力，激发学生对新知识的渴求．建议：引导学生理解方向角的含义，建立方位坐标，选择合适的边角关系.
●置疑导入　为了提前做好防洪准备工作，某市在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图，你能求出DC的长吗？
问题：(1)在Rt△ADE中，已知∠D＝60°，AE＝10 m，则DE＝____m.
(2)在Rt△BCF中，已知∠C＝45°，BF＝10 m，则FC＝__10__m.
(3)DC由线段__DE__，__EF__，__FC__组成，所以DC＝__22＋__m.
【教学与建议】教学： 通过解直角三角形可以求出DE和FC的长，从而求出DC的长．建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，最后落回到探究坡度、坡角等问题上．
*命题角度1　与方向角有关的实际问题
此类问题一般与航海有关，关键是理解方向角，确定角的大小，再作垂线构造直角三角形，转化为解直角三角形问题．
【例1】上午9时，一条船从A处出发，以40 n mile/h的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处船与小岛M的距离为(B)
A．20 n mile B．20 n mile
C．15 n mile D．20 n mile
【例2】在某次海上搜救工作时，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时B船到该漂浮物的距离是__10__km.
*命题角度2　与倾斜角、坡角、坡度有关的实际问题
此类问题一般与堤坝、斜坡、滑梯、电梯等有关，关键是理解倾斜角、坡角或坡度，构造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等知识求解．
【例3】如图是河堤横断面，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(A)
A．12 m　　　B．4 m　　　C．5 m　　　D．6 m
【例4】如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡度β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)
解：过点A作AF⊥BC于点F.
∵在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，
∴AF＝AB·sin 60°＝20×＝10(m).
∵在Rt△AEF中，∠E＝∠β＝45°，
∴AE＝＝＝10(m).
答：改造后的坡长AE为10 m．
高效课堂　教学设计
1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．
2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．
▲重点
运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．
▲难点
灵活运用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题．
◆活动1　新课导入
如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5 m，拉线CE的长是__(4＋)__m.(结果保留根号)
◆活动2　探究新知
1．教材P76　例5.
学生完成并交流展示．
2．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：AD＝20×2.5＋6＋20＝90.64(m).
答：坝底AD的长度为90.64 m．
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．坡度、坡角概念．
如图，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡面AB形成的角∠ABC称为坡角α，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝＝tan α.
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为__数学__问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，海中一小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.由题意，得∠BAD＝55°，∠CAD＝25°，BC＝20 n mile.在Rt△ABD中，∵tan ∠BAD＝，∴BD＝AD·tan 55°.在Rt△ACD中，∵tan ∠CAD＝，∴CD＝AD·tan 25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，∴AD＝≈20.79(n mile)>10(n mile).答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险.
例2　如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长．(精确到0.1 m)
解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝≈72.7(m).
答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m．
练习
1．教材P77　练习第1，2题．
2．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(　D　)
　A．30.6 m B．32.1 m
　C．37.9 m D．39.4 m
3．如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得灯塔P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？
解：过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝x.又∵AB＝9×＝1.5(n mile)，∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝x，解得x＝(＋1)<3，∴有触礁危险．
◆活动5　课堂小结
1．方向角、坡度的概念．
2．掌握与方向角、坡度有关的问题．
1．作业布置
(1)教材P78　习题28.2第5，9题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思

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