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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题6.1 平行四边形的性质
1.理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；
2.会应用平行四边形的性质定理解决相关的几何证明和计算问题．
知识点01 平行四边形的性质
【知识点】
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形．平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD表示为“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高．
3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离．平行线间距离处处相等．
4）平行四边形的性质，讨论：边、角、对角线，有时会涉及对称性．如下图，四边形ABCD是平行四边形：
性质1（边）：①对边相等；②，即：AB＝CD，AD＝BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO＝OC，BO＝OD
注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）
5）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．
【知识拓展1】平行线间距离的应用
例1.（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）
1．如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为 ．
【即学即练】
（2022·广东广州市·九年级模拟）
2．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是 ．
【知识拓展2】平行四边形的性质
例2.（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）
3．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补
【即学即练】
（2021·四川宜宾·中考真题）
4．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【知识拓展3】平行四边形的面积问题
例3.（2023春·浙江·八年级阶段练习）
5．如图，在中，M是的中点，且，则的面积为（ ）
A．20 B．40 C．62 D．72
【即学即练】
（2022·浙江八年级期中）
6．在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为 ．
（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期中）
7．如图，，对角线、交于点，过点的直线与、交于点、，若的面积是3，的面积是5，则四边形的面积是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
【知识拓展4】利用平行四边形的性质求角度
例4.（2022·浙江杭州市·八年级模拟）
8．如图，点E是平行四边形的边上一点，连结，并延长与的延长线交于点F，若，，则 ．
【即学即练】
（2022·常熟市八年级月考）
9．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（　　）
A．150° B．40° C．80° D．90°
【知识拓展5】利用平行四边形的性质求长度
例5.（2023春·北京大兴·八年级统考期中）
10．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【即学即练】
（2023春·湖南邵阳·八年级校联考期中）
11．如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）
12．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为 ．
【知识拓展6】利用平行四边形的性质求坐标
例6.（2023春·山西大同·八年级统考期中）
13．如图，位于第一象限中，已知顶点、的坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）
14．如图，平行四边形在坐标系中的坐标分别为，，，则D点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2022·广东·深圳八年级期中）
15．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（　　）
A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)
【知识拓展7】平行四边形性质的综合（多结论问题）
例7.（2022·山东泰安市·九年级期末）
16．如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】
（2022·山东济南市·八年级期末）
17．如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识拓展8】平行四边形中的翻折问题
例8.（2022·安徽阜阳市·九年级期末）
18．如图，在 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．
【即学即练】
（2022·绵阳市·八年级专题练习）
19．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
【知识拓展9】利用平行四边形的性质证明相关问题
例9.（2022·湖北·浠水县八年级期中）
20．已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．
（1）求证：G是CD的中点；
（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．
【即学即练】
（2022·江苏·九年级期末）
21．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．
求证：（1）△ADE≌△FCE；
（2）BE⊥AF．
【知识拓展10】平行四边形中的动态问题
例10.（2022·湖南邵阳市·九年级期末）
22．如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间．
(1)当t为何值时，△PAQ是等边三角形．
(2)当t为何值时，△PAQ为直角三角形．
【即学即练4】
（2022·陕西榆林市·八年级期末）
23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向终点D运动，连接PO，并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
(1)求BQ的长（用含t的代数式表示）；
(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；
(3)当时，点O是否在线段AP的垂直平分线上？请说明理由．
题组A 基础过关练
（2022·四川乐山·八年级期末）
24．已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ）
A．其对边相等 B．其对角线相互平分
C．其对角相等 D．其对角线互相垂直
（2022·广西桂林市·七年级期末）
25．如图，若表示三角形的面积，表示三角形的面积，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·广西·八年级期中）
26．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2022·广西三江·八年级期中）
27．在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，那么∠B与∠A的度数之比为（ ）
A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1
（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）
28．在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．24（2022·山东烟台市·八年级期末）
29．已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
（2022·广东清远市·八年级期末）
30．在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
（2022·山东淄博市·八年级期末）
31．如图，是的对角线，点在上，，，则的度数是 ．
（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）
32．如图，点O是平行四边形对角线的中点，过点O分别与相交于点E、F，若平行四边形的周长为24，，那么四边形的周长为 ．
（2023春·福建泉州·八年级福建省永春第一中学校考期中）
33．如图，已知的对角线，交于点，且，，则的周长比的周长多 ．
（2023·新疆喀什·统考二模）
34．如图，在中，过点C作的垂线，交的延长线于点E，若，则的度数是 ．
（2022上海九年级专题练习）
35．如图， ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：
(1)BE＝DF；
(2)
题组B 能力提升练
（2022·贵州铜仁市·八年级期末）
36．如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④
（2022·明水县八年级期中）
37．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A．红花，白花种植面积一定相等
B．红花，蓝花种植面积一定相等
C．蓝花，黄花种植面积一定相等
D．紫花，橙花种植面积一定相等
（2022·山东青岛市·八年级期末）
38．如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．
C． D．
（2022·浙江杭州市·八年级期末）
39．如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A．
B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
（2022·浙江杭州市·八年级月考）
40．如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
（2022·山东烟台市·八年级期末）
41．如图1，平行四边形纸片的面积为120，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（、重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）
A．26 B．29 C． D．
（2022·山东潍坊市·八年级期末）
42．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
（2022·四川成都市·八年级期末）
43．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为 ．
（2023春·浙江杭州·八年级期中）
44．如图，在，点F是上的一点，连接，平分，交于中点E，连接．若，，，则 ．
（2022·天津八年级期中）
45．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G，且DG与CF交于点E．
（Ⅰ）求证：AF＝GB；
（Ⅱ）求证：△EFG是直角三角形；
（Ⅲ）在 ABCD中，添上一个什么条件，使△EFG是等腰直角三角形．
题组C 培优拔尖练
（2022·辽宁锦州市·九年级期末）
46．如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
（2022·山东泰安市·九年级期末）
47．如图，已知的面积为点在线段上，点在线段的延长线上，且四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2022·四川南充市·九年级一模）
48．如图，与的周长相等，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2022·湖南长沙·九年级期末）
49．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
（2022·广东·深圳市九年级期中）
50．如图，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2AB＝8，连接 BD，分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．4
（2022·全国·九年级专题练习）
51．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
（2022·黑龙江·鸡西市九年级期中）
52．在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
（2022·广东梅州市·九年级期末）
53．点是平行四边形的对称中心，，、分别是边上的点，且；、分别是边上的点，且；若，分别表示和的面积，则，之间的等量关系是 ．
（2022·渝中区·重庆九年级期末）
54．已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
（2022·安徽九年级一模）
55．如图，在□ ABCD中，点P在对角线AC上一动点，过点P作PM//DC，且PM=DC，连接BM，CM，AP，BD．
（1）求证： △ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．4
【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：直线，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设直线与之间的距离为，
的面积为6，
，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
2．15
【分析】利用等面积法,得2S△ABC=S四边形ABCD,表示出面积即可.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴2S△ABC=S四边形ABCD,设平行线AD与BC间的距离为h,
即AC·BE=AD·h
∵AC＝24， BE＝5，AD＝8，
∴h=15.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等面积法,中等难度,利用等面积法是解题关键.
3．D
【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【详解】解：平行四边形对边相等，故A正确，不合题意；
平行四边形的邻角互补，故B正确，不合题意；
平行四边形对角线互相平分，故C正确，不合题意；
平行四边形对角不一定互补，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
4．D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
5．B
【分析】过点D作交的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明，进而得出三角形是直角三角形，且，然后过点D作于点G，利用等积法求出，再根据的面积的面积求解即可.
【详解】解：过点D作交的延长线于点F，如图，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵M是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在三角形中，∵，
∴三角形是直角三角形，且，
过点D作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴的面积的面积=；
故选：B.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键.
6．48
【分析】设BC=x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：设BC=x，
∵ ABCD的周长为40，
∴CD=20-x，
∵ ABCD的面积=BC AE=CD AF，
∴4x=6（20-x），
解得x=12，
∴ ABCD的面积=BC AE=12×4=48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．
7．B
【分析】先根据证明，得，则，再由，得，进而可求四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．65
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．
【详解】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠F=∠BAE=50°，．
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=65°，
∴∠D=∠B=65°．
故答案是：65．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．
9．C
【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．
【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBF＝∠ADE，
∵AE∥CF，
∴∠CFB＝∠AED，
∴△BCF≌△DAE，
∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，
∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，
∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，
∴∠BCF＝80°
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
10．B
【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的周长是，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
11．A
【分析】根据平行四边形对角线互相平分即可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形中，，，
∴，，
∴的周长，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
12．10或14##14或10
【分析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．
【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，
，，
，，
由等角对等边可知：，，
情况1：当与相交时，如下图所示：
，
，
，
情况2：当与不相交时，如下图所示：
，
，
故答案为：10或14．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．
13．D
【分析】根据平行四边形的性质得出，结合坐标系即可求解．
【详解】解：∵位于第一象限中，顶点、的坐标分别为，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．C
【分析】利用平行四边形的性质解题，由B点到A点的平移过程，可将线段先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到线段，由C点坐标确定D点的坐标．
【详解】解：四边形 是平行四边形，
且，
将线段先向左平移3个单位长度、再向下平移1个单位长度得到线段，
C点坐标先向左平移3个单位长度、再向下平移1个单位长度可得D点的坐标，即；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是利用平移确定点的坐标，易错点是平移的方向和平移的长度．
15．C
【分析】作，求得、的长度，即可求解．
【详解】解：作，如下图：
则
在平行四边形中，，
∴
∴为等腰直角三角形
则，解得
∴
故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
16．B
【分析】证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
【详解】解：，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，故①不符合题意；
，，
，
平分，故②符合题意；
中，，
，故③不符合题意；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分，故④符合题意，
所以正确的有：②④．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．C
【分析】由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证 AEF DHF，再证 ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．
【详解】∵点F是AD的中点，
∴2FD=AD，
∵在ABCD中，AD=2AB，
∴FD=AB=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCF，即：，
∴①正确；
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，
又∵AF=DF，
∴ AEF DHF（AAS），
∴EF=HF，
∵，
∴CE⊥CD，即： ECH是直角三角形，
∴=EH，
∴②正确；
∵EF=HF，
∴
∵，CE⊥CD，垂足在线段上，
∴,
∴,
∴，
∴③错误；
设∠AEF=x，则∠H=x，
∵在Rt ECH中，CF=FH=EF，
∴∠FCH=∠H=x，
∵FD=CD，
∴∠DFC=∠FCH=x，
∵点F，G分别是EH，EC的中点，
∴FG∥CD∥AB，
∴∠AEF=∠EFG=x，
∵EF=CF，
∴∠EFG=∠CFG=x，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，
∴．
∴④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
18．或
【分析】设点A落在BC边上的A′点，分两种情况：①当A′C=BC=2时；②如图2，当A′B=BC=2时，过A′点作AB延长线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】设点A落在BC边上的A′点．
①如图1，当A′C=BC=2时，A′B=4，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt△A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2．
在Rt△A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x=．
即AE=；
②如图2，当A′B=BC=2时，
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt△A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=．
在Rt△A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x=．
即AE=；
所以AE的长为5.6或．
故答案为5.6或．
【点睛】本题主要考查翻折性质、平行四边形的性质、勾股定理，同时考查分类讨论的数学思想．
19．B
【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
20．（1）见解析；（2）BE的长是．
【分析】（1）通过证≌得到CG=CF，再结合已知条件即可证明结论；
（2）求出DC=CE=2CF=4，再由平行四边形的性质得到AB，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵点F为CE的中点，
∴CF=CE，
在与中，，
∴≌，
∴CG=CF=CE，
又∵CE=CD，
∴CG=CD，即G是CD的中点；
（2）∵CE=CD，点F为CE的中点，CF= 2，
∴CD=CE=2CF= 4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用各性质及判定定理进行推理论证是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠FAB．
∴∠AFB＝∠FAB．
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∴BE⊥AF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
22．(1)当时，△PAQ是等边三角形
(2)当或时，△PAQ是直角三角形
【分析】（1）根据题意可得，，，根据等边三角形的性质可得，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据题意，分或，两种情况讨论，根据含30度角的直角三角形的性质，列出方程，解方即可求解．
【详解】（1）解： ，，
∵当△PAQ是等边三角形时，，即，解得．
∴当时，△PAQ是等边三角形；
（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴或，
当时，有，
，即，
∴，解得（秒），
当时，有，，
即
∴，
解得（秒）．
∴当或时，△PAQ是直角三角形．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
23．(1)BQ＝10﹣t
(2)5秒
(3)在，理由见解析
【分析】（1）证明△APO≌△CQO（ASA），可得结论．
（2）当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，构建方程求解即可．
（3）如图2，在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2=AO2，列方程可得t的值．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD//BC，
∴∠PAO＝∠QCO，
∵∠POA＝∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∵BC＝10，
∴BQ＝10﹣t．
（2）∵AP//BQ，
当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t＝10﹣t，解得：t＝5，
∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形．
（3）结论：点O在线段AP的垂直平分线上．
理由：过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，
∴，
∵，
∴AB AC＝BC EF，
∴6×8＝10×EF，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴2AE＝AP，即点E是AP的中点，
∴点O在线段AP的垂直平分线上．
【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
24．D
【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键．
25．A
【分析】作AEBC，DFBC，根据平行线的性质，可得AE= DF，ABC与DBC分别以AE、DF为高，BC为底，同底同高的三角形面积相等，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，作AEBC，DFBC，
∵ADBC，∴AE= DF，
且，，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即可说明同底同高的三角形面积相等．
26．C
【分析】根据题意得出，点C与点D的纵坐标相等，进而可得C点横纵坐标．
【详解】解：∵的顶点A，B，D的坐标分别是，，，
∴，点A、B在x轴上，
∴点C横坐标为，点C与点D的纵坐标相等，都为3，
∴顶点C的坐标是，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，正确得出C点横纵坐标是解题关键．
27．B
【分析】根据平行四边形的性质先求出∠B的度数，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=150°，
∴∠B：∠A=5：1，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形邻角互补．
28．C
【分析】作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，然后在中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．
29．A
【分析】根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
30．D
【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形对边平行且相等，对角相等，而对角线可以相等也可以不相等．
【详解】根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
31．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE，得出∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，继而得到∠ACB=2∠BAC，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， ∠ABC=∠D=102°，
∵AD=AE=BE，
∴BC=AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，
∵∠BEC=∠EAB＋∠EBA=2∠EAB，
∴∠ACB=2∠BAC，
∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，
∴3∠BAC=78°，
即∠BAC=26°，
故答案为：26°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．
32．16
【分析】先证，得，，则，再求出，然后由四边形的周长，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
33．
【分析】根据平行四边形的性质可知，，，，再根据的周长为，的周长为，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，，
∵的周长为，的周长为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
34．##37度
【分析】根据平行四边形的性质和三角形内角即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．
35．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵AE＝CF，
∴AF＝EC，
在△FAD和△ECB中，
，
∴△FAD≌△ECB（SAS），
∴BE＝DF；
（2）∵△FAD≌△ECB，
∴∠F＝∠E，
∴BE∥DF．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，平行线的判定，得到如下的一对三角形△FAD≌△ECB是解题关键．
36．B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
【详解】解：∵直线，
∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化；
∵PA、PB的长随点P的移动而变化，
∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化；
∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，
∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化；
综上，不会随点的移动而变化的是①③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．
37．B
【分析】由题意得出四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，得出△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，得出四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，
∴四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，
∴△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，
∴A、C、D正确，B不正确；
故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便．
38．B
【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝28°，
∴∠ABC＝56°，
∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AED，
∵AE＝ED，
∴∠D＝∠DAE＝56°，
∴∠BAE＝124° 56°＝68°，
∴∠AED＝180° 56° 56°＝68°，
∴∠AEB＝180° 68° 28°＝84°，
故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．
39．C
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
于点，于点，
，
；
平行四边形的面积，，，
，
；若，
则，
，
，，
，，
平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
40．B
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，
∴∠FED′=108°-72°=36°；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
41．A
【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．
【详解】解：如图，连接AD、EF，
则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，
∴BC=AD=20，EF×AD=×120，
∴EF=6，
又AD=20，
∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
42．C
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出 ABCD的周长．
【详解】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴ ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
43．200m
【分析】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°
∴
∴△ABC是等边三角形
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m
故答案为：200m．
【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
44．4
【分析】延长，交于点，先根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定可得，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，延长，交于点，
平分，且，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
为的中点，
，
在和中，，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
，
则在中，，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
45．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）添加四边形ABCD为矩形等．
【分析】（Ⅰ）由角平分线知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，则有AF=GB；
（Ⅱ）由于DG、CF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了；
（Ⅲ）要成为等腰直角三角形，则必须有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．
【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC．
∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC．
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF．
∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF
∴AD＝AG，BF＝BC．
∴AF＝BG；
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠FEG＝90°，
∴△EFG是直角三角形；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：我们只要保证添加的条件使得EF＝EG就可以了．
我们可以四边形ABCD为矩形等．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和直角三角形的判定，解答关键是根据条件找到图中的等腰三角形．
46．D
【分析】先根据题目描述可确定CG⊥BD，再由平行确定∠EBC=30°，从而在Rt△BEC中计算即可
【详解】根据题意描述，CG垂直平分线段DF，即∠BEC=90°，
∵，四边形为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=6
∴∠EBC=30°，
∴在Rt△BEC中，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定，以及勾股定理，充分理解题中描述的作图过程是解题关键．
47．A
【分析】想办法证明S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC=S△ACF解决问题；
【详解】解：如图
连接AF、EC．
∵BC=4CF，S△ABC=24，
∴S△ACF= ×24=6，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB=S△DEC，
∴S阴=S△ADE+S△DEC=S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC=S△ACF=6，
∴S阴=6．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
48．A
【分析】根据与的周长相等，且,可得两个四边形的边，进而可得△ABF为等腰三角形；由，可得,，根据周角定义可得；在等腰三角形ABF中即可求得的度数．
【详解】解：∵与的周长相等，且，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形邻角与对角的性质及三角形内角和定理等．
49．B
【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC边长.
【详解】解：∵在中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OA=3，
∴AC=2OA=6，
∵AC⊥BC，
∴，
∴BC=8.
故选：B
【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.
50．A
【分析】连接DH，根据作图过程可得EF是线段BD的垂直平分线，证明△DHC是等边三角形，然后证明∠AHD=90°，根据勾股定理可得AH的长．
【详解】解：如图，连接DH，
根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，
∴DH=BH，
∵点H为BC的中点，
∴BH=CH，BC=2CH，
∴DH=CH，
在 ABCD中，AB=DC，
∵AD=BC=2AB=8，
∴DH=CH=CD=4，
∴△DHC是等边三角形，
∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，
在 ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD∥BC，
∴∠DAH=∠BHA，
∵AB=BH，
∴∠BAH=∠BHA，
∴∠BAH=∠DAH=30°，
∴∠AHD=90°，
∴AH=．
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
51．B
【分析】根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC ，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否．
【详解】①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，，
∴S△BEC＜2S△EFC ，
故S△BEC=2S△CEF ， 故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点．
52．A
【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①不正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判断②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．
【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，
∴BE=DE，
∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，
∴BD=BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，
∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，
∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，
∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，故③正确；
∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，
∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．
53．
【分析】如图，连接，，．设平行四边形的面积为．求出，（用表示）即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，．设平行四边形的面积为．
∵点是平行四边形的对称中心，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
54．（1）证明见解析；（2）77°
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，通过证明≌即可得证；
（2）利用角平分线的定义可得，再根据平行四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌，
∴FG=EH；
（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，
∴，
∵FG//AB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．
55．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，∠ADC+∠BCD=，由PM//DC，且PM=DC，证得四边形PMCD是平行四边形，得到PD=CM，∠PDC+∠DCM=，推出∠ADP=∠BCM，即可证得结论；
（2）作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，根据四边形ABCD是平行四边形，得到△ABC≌△CDA，BH=DG，求得，，利用△ADP≌△BCM，得到，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADC+∠BCD=，
∵PM//DC，且PM=DC，
∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM=，
∴∠ADP=∠BCM，
∴△ADP≌△BCM；
（2）解：作BH⊥AC于H，DG⊥AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABC≌△CDA，
∴BH=DG，
∴，即，
，即，
∵△ADP≌△BCM，
∴，
∴=．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，同底等高或同高的三角形的面积关系，证明△ADP≌△BCM并利用其全等的性质解决问题是解题的关键．
答案第1页，共2页
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