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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题6.3三角形的中位线
1. 掌握三角形中位线的概念与其性质定理，并能用其进行计算和证明。
知识点01 三角形的中位线定理
【知识点】
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，.
【知识拓展1】与中位线相关的计算问题
（2023春·浙江·八年级专题练习）
1．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【即学即练】
（2022·山东潍坊市·八年级期末）
2．如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（2022·福建安溪·九年级期中）
3．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【知识拓展2】与中位线相关的实际应用
（2023春·福建厦门·八年级校考期中）
4．如图，，两地被池塘隔开，小明在外选一点，连接，，分别取，的中点，，为了测量，两地间的距离，则可以选择测量以下线段中哪一条的长度（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2023·河北衡水·校联考模拟预测）
5．如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛．已知点、分别是边、的中点，量得米，则边的长是( )
A．6米 B．7米 C．8米 D．9米
【知识拓展3】三角形的中位线与面积
（2021·四川内江·中考真题）
6．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022·长春市格致中学九年级期末）
7．如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为 ．
【知识拓展4】与中位线相关的证明问题
（2022·山东东平八年级阶段练习）
8．如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：
（2）如图2，中，，求线段EF的长．
【即学即练4】
（2022·山东烟台市·八年级期末）
9．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
题组A 基础过关练
（2023春·浙江·八年级专题练习）
10．如图，在中，平分，点E为的中点，连接，若，则的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
（2023春·浙江·八年级专题练习）
11．如图，在中，D，E分别是，的中点，是边上的一个动点，连接，，．若的面积为，则的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
（天津市北辰区第三学区2022-2023学年八年级下学期期中联考数学试题）
12．如图每个小正方形的边长为，在中，点分别为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023春·山西大同·八年级统考期中）
13．如图，在中，、分别是、边的中点，已知的周长为18，则的周长为( )
A．6 B．8 C．9 D．12
（2023春·广东韶关·八年级统考期中）
14．如图，在中，已知，，平分交边于点E，点、分别是、的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2023春·全国·八年级专题练习）
15．如图，在四边形中，点P是边上的动点，点Q是边上的定点，连接，，E，F分别是，的中点，连接，点P在由C到D运动过程中，线段的长度（　　）
A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
（2023春·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）
16．如图，在中，是的中位线，F是边的中点，连接，若，，则四边形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
（2023春·广东珠海·八年级校考期中）
17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为 （ ）．
A．12 B．6 C．3 D．1.5
（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）
18．如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
（2023春·广西·八年级期中）
19．如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
（2023春·全国·八年级专题练习）
20．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）
21．如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，求的长．

（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）
22．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，、分别是、的中点． 求证：，且．
方法一 证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二 证明：如图，过点作交于．
（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）
23．如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______．
题组B 能力提升练
（2022·四川宣汉·八年级期末）
24．如图，在平行四边形中，为对角线，点是的中点，且，，四边形的周长为10，则平行四边形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
（2023春·山东日照·八年级校考期中）
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（ ）
A．6 B．4 C．7 D．12
（2023春·广东广州·八年级统考期中）
26．如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若厘米，的周长是18厘米，则的长度是（ ）．
A． B． C． D．
（2023春·河北石家庄·八年级校考阶段练习）
27．如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，若点为的中点，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）
28．如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）
29．如图在中，已知，于D，，若是的中点，则（ ）
A．2.5 B．2 C． D．
（2022·山东东营市·八年级期末）
30．如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为 ．
（2022·浙江杭州市·八年级模拟）
31．在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则 ， ．
（2022·江苏盐城市·八年级期末）
32．如图，在中，，．

（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作的平分线交于点D；
②作边的中点E，连接；
（2）在（1）所作的图中，若，则的长为__________．
（2022·黑龙江肇源·八年级期末）
33．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
（2022·吉林·长春市九年级阶段练习）
34．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图23.4．2，写出完整的证明过程．
【结论应用】
如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若△ADE的面积为12，则四边形DEFG的面积为 　 　．
（2022·山东淄博市·八年级期末）
35．如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
题组C 培优拔尖练
（2022·山东·八年级课时练习）
36．中，点D、E、F分别为边的中点，作．若的面积是12，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
（2022·河南·淅川县九年级期中）
37．如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2022·辽宁大东·九年级期末）
38．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）
39．如图，中，平分，平分的外角，于D，交于点F，于E，交的延长线于点G，，，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
（2023春·全国·八年级期中）
40．已知：如图，、分别是的中线和角平分线，，，的长为（ ）
A．10 B． C． D．
（2023春·浙江·八年级专题练习）
41．如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
（2022·江西抚州市·九年级期末）
42．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝ ．
（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）
43．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
(1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长．
（2022·河南卫辉·九年级期中）
44．（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形中，分别为的中点，边延长线交于点，，则的度数是_______．
（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据，，得出，根据，平分，得出，进而推出是的中位线，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
2．C
【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
【详解】∵，
∴△ACD为等腰三角形，
∵，
∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点是的中点，
∴EF为△CBD的中位线，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．
3．A
【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ，从而PE=PF，则有∠PEF=∠PFE，再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，
∴ ，
∵AD＝BC，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∵∠EPF＝130°，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
4．C
【分析】根据中位线定理可得：．
【详解】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．C
【分析】直接使用中位线定理得出结果．
【详解】、分别是边、的中点，米
（米）
故选C．
【点睛】本题考查中位线的性质，正确利用三角形中位线的长度关系是解题的关键．
6．D
【分析】先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．
【详解】解：点，分别为，的中点，
，
点，分别为，的中点，
，
，
，
△的面积，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理．
7．12
【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵
∴
∵是边的中点，，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
即有，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
8．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定理解答；
（2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答．
【详解】解：（1）证明：∵AE平分，，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA）
∴BE=ED，AD=AB，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)；
（2）解：分别延长BE、AC交于点H，
∵AE平分，，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AEH中，
，
∴△AEB≌△AEH（ASA）
∴BE=EH，AH=AB=9，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CH=(AH-AC)=2．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．见解析
【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．
【详解】证明：取的中点，连接，
∵是边的中线，
∴是边的中点，
∴，
．
∴，．
∵是的中点，
∴，
在△MDE和△FCE中，
∴．
∴，
∴．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
10．A
【分析】如图所示，延长交于点F，证明，得到，进而求出，再证明DE为的中位线，即可得到．
【详解】解：如图所示，延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴DE为的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．C
【分析】连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积=的面积，同底等高的三角形面积相等，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵点E是的中点，的面积的为，
∴的面积的面积，
∵点D是的中点，
∴的面积的面积，
∵D，E分别是，的中点，
∴，
∴的面积的面积，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．D
【分析】在格点中，根据勾股定理求出的长，再根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵每个小正方形的边长为，
∴，
∵点分别为的中点，
∴，，
故选：．
【点睛】本题主要考查格点三角形的格点，勾股定理，中位线的综合，掌握格点三角形的特点，勾股定理的计算，中位线的性质是解题的关键．
13．C
【分析】根据三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：的周长是，
，
，分别是边，的中点，
是的中位线，，，
，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14．A
【分析】先根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则，再证明是的中位线，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F，点分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中位线定理，由角平分线和平行得出是等腰三角形再求出是解题的关键．
15．A
【分析】连接，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：连接，
点Q是边上的定点，
的大小不变，
分别是，的中点，
，
线段的长度保持不变．
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16．B
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，
同理可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
17．A
【分析】根据三角形中位线的性质可得，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，若，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分．
18．A
【分析】先由勾股定理求出，由中位线定理得到，，再由角平分线和平行线的性质得到，则，即可得到的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵D、E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】此题考查了中位线定理、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键．
19．C
【详解】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：，，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
，
四边形的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
20．B
【分析】根据，，得出，根据，平分，得出，进而推出是的中位线，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
21．2
【分析】先利用勾股定理可得，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：在中，，，，
，
，
，
又，，
点是的中点，
是边的中点，
．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
22．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的证明，熟练掌握全等三角形和平行四边形的判定和性质是解题的关键．
方法一：如图，延长至点，使，连接．先证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，即可求证；
方法二：过点作交于．先证明，结合相似三角形的性质可证得四边形为平行四边形，推出，，进而求证．
【详解】证明：方法一：如图，延长至点，使，连接，
点为的中点，
，
，，
，
，，
∴，即，
点为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
∴，且；
方法二：过点作交于，
，
，
点为的中点，
，
，
点为的中点，
，
∴，
∵，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，且．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，可得． 结合点为边的中点，可得为的中位线， 则．再结合已知条件可得结论；
（2） 由D、E分别是、的中点， 可得． 由， 可得， 结合，可得答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴．
∴．
∵点为边的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）如图，由（1）得：．
∵D、E分别是、的中点，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
24．D
【分析】根据点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，可得OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，四边形OEBF是平行四边形，则AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，由此可以推出OE+OF=5，再由四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点O是BD的中点，且AD//EO，OF//AB，
∴OE，OF分别是三角形ABD，三角形BCD的中位线，BC//EO，
∴四边形OEBF是平行四边形，AD=2OE，CD=2OF，OE=BF，OF=BE，
∵四边形OEBF的周长为10，
∴OE+BE+BF+OF=10，
∴OE+OF=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+CD=2（AD+CD）=4（OE+OF）=20，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．A
【详解】解：因为Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，
∴CD=AB=4.5．
∵CF=CD，
∴DF=CD=×4.5=3．
∵BE//DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE=2DF=6．
故选：A．
26．A
【分析】先根据平行四边形的性质求出厘米，进而求出厘米，再证明是的中位线，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵厘米，
∴厘米，
∵的周长是18厘米，
∴厘米，
∵点分别是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键．
27．B
【分析】由尺规作图可知，平分，利用三线合一得到为中点，从而利用三角形中位线定理推出．
【详解】解：由作图可知：平分，
∵，
∴为中点，
∵为BC的中点，
∴且，
故选B．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
28．A
【分析】连接，取的中点为E，连接，，结合题中条件可得，，根据三角形三边之间的关系，即可解答．
【详解】解：如图，连接，取的中点为E，连接，，
M，N分别是，的中点，，
，，
在中，，
∴
即，
∴的长可能是4．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，三角形三边之间的关系，作出正确的辅助线是解题的关键．
29．A
【分析】取中点，连接，由垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等”可得，再结合三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”可得，即可获得答案．
【详解】解：取中点，连接，如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中点，是中点，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质以及三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
30．
【分析】由再利用中位线的性质可得：再总结规律可得：从而运用规律可得答案．
【详解】解：探究规律：
AB=8，BC=6，AC=7，
分别为的中点，
同理：
总结规律：
运用规律：
当时，
故答案为：
【点睛】本题考查的是图形周长的规律探究，三角形中位线的性质，掌握探究规律的方法与三角形中位线的性质是解题的关键．
31．
【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD 性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．
【详解】∵E是边上的中点
∴
∵平行四边形ABCD
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
过点F作于点H，延长AD交FH于点G
∵
∴
∴，即
∵，且
∴
∴
∴
∴
∵平行四边形ABCD
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
∴DG是中位线
∴
∴
故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．
32．（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】（1）①以A为圆心，小于AB的长度为半径画圆，交AB、AC于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A，即可得到的平分线，再画出它与BC的交点D；
②作线段AC的垂直平分线，即可找到线段AC的中点E，连接DE；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得，，用勾股定理求出AB的长，再根据中位线的性质得到DE的长．
【详解】解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）∵，AD平分，
∴，，
在中，，
∵E、D分别是AC和BC的中点，
∴，
故答案是：6.5．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．
33．（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）16
【分析】（1）根据材料结论、平行四边形的判定即可证明；
（2）利用等底等高的三角形面积相等即可解决．
【详解】（1）∵F、G分别是BO、CO的中点
∴FG∥BC，且
同理，可得：ED∥BC，且
∴ED∥FG，ED=FG
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）∵DE是△ADB的边AB上的中线
∴△DAE与△DBE等底等高，即△DBE的面积为12
∵四边形DEFG是平行四边形
∴OD=OF
∵F点是OB的中点
∴OF=BF
∴BF=OF=OD
∴△EBF、△EFO、△EOD等底等高，即这三个三角形的面积相等且均为4
∴
∴四边形DEFG的面积为：
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形一边上中线分这个三角形为面积相等的两个三角形，关键是读懂材料并能运用材料的结论，这是解题的关键．
35．（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB AG）＝（AB AC）；
(3) 根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．
【详解】（1）延长交于点，
，，
又∵平分，
∴∠GAE=∠CAE
在和中，，
，
，
∵点是边的中点，
∴
为的中位线，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，
，
，分别是，的中点，
，
，
，
．
（3）如图：
∵BD=DC，EF∥BC
∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，
∴
∵BF∥DE
设BDEF中BF边上的高为h，
则
=（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2
=DE×h÷2
=6÷2
=3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等底同高的平行四边形和三角形的面积之间的关系，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
36．B
【分析】过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，根据三角形的中位线性质可得，，DF∥BC，由D、G为AB、BH中点，可得DG∥AH，且DG=，根据平行线间的距离处处相等可得DG=ME=，利用三角形面积公式S△ABC=，再求即可．
【详解】解：过A作AH⊥BC于H，取BH中点为G，连结DG，EM⊥DF于M，
∵、分别是的、边的中点，
∴，DF∥BC，
∵D、G为AB、BH中点，
∴DG∥AH，且DG=，
∵AH⊥BC
∴DG⊥BC，
∵DF∥BC，EM⊥DF
∴DG⊥DF，
∴DG=ME=
∵S△ABC=
∴．
故选择B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中位线性质，平行线间的距离性质，熟练掌握三角形的中位线性质，三角形的面积，平行线间的距离性质是解题关键．
37．B
【分析】证明△ADB≌△ADN，根据全等三角形的性质得到BD=DN，AN=AB=4，根据三角形中位线定理求出NC，计算即可．
【详解】解：在△ADB和△ADN中，
，
∴△ADB≌△ADN（ASA）
∴BD=DN，AN=AB=4，
∵BM=MC，BD=DN，
∴NC=2DM=2，
∴AC=AN+NC=6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
38．C
【分析】由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．
【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中，，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
39．C
【分析】先证明，得到，，进而得到，同理可证，，得到，，进而得到是的中位线，求出、的长，即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
同理可证，，
，，
是的中位线，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质找出线段之间的数量关系是解题关键．
40．B
【分析】取的中点F，连接，，则，为中点，在中求出的长度，根据已知条件易知为中点，因此为中点，则．
【详解】解：取的中点F，连接，
是的中线，
∴，，
∵，
，
，
∴，
是的角平分线，，
，，
，
，
为中点，
为中点，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中线和角平分线的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
41．B
【分析】的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
42．1
【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．
【详解】如图，作OG∥BC交DC于G点，
∵O为BD的中点，
∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，
∴，
又∵，
∴，即C为EG的中点，
∵CF∥OG，
∴CF为△OGE的中位线，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查中位线定理，熟练掌握中位线的判断以及灵活运用中位线定理是解题关键．
43．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明；
（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则．
【详解】（1）证明：如图所示，延长到F，使得，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，且；
（2）解：如图所示，连接并延长交延长线于E，
∵，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，即点N是的中点，
又∵点M是的中点，
∴由（1）的结论可知，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
44．（1）见解析；（2）；（3）长的最大值为，最小值为1．
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据题意证明，然后证明四边形为平行四边形，即可得出，；
（2）首先由三角形中位线的性质得到， 然后根据三角形外角的性质得到，可得到，由即可求出的度数．
（3）延长至H，使，连接，，可得 ，可得当最小或最大时，最小或最大，由题意可得当点F在线段上时，最小，当点F在线段的延长线上时，最大，根据勾股定理求出的长度，然后即可求出线段长的最大值和最小值．
【详解】（1）证明：延长至F，使，连接，
在和中，
，
∴，，
，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，；
（2）∵分别为的中点，，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
∴， ，
又∵，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长至H，使，连接，，
∵，
∴ ，
∵，，
∴，
由勾股定理得，，
当点F在线段上时，最小，最小值为，
当点F在线段的延长线上时，最大，最大值为，
∴长的最大值为4，最小值为1．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．
答案第1页，共2页
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