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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题5.3 分式的加减法
1．熟练掌握同分母的分式加减运算；
2．会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；
3．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值．
知识点01 分式的通分
【知识点】
1、分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值．
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数；③分子对应扩大相同倍数．
2、最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【知识拓展1】最简公分母
例1．（2022·江苏·二模）
1．分式和的最简公分母为 ．
【即学即练】
（2023·河北·一模）
2．要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）
3．分式和的最简公分母为 ．
【知识拓展2】分式通分
例2．（2022·广东·八年级专题练习）
4．通分：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）．
【即学即练】
（2022·贵州八年级月考）
5．对分式通分后，的结果是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国八年级课时练习）
6．通分
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
知识点02 分式的加减
【知识点】
分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似．
【知识拓展1】分式加法（同分母）
例1．（2023秋·宁夏吴忠·八年级校联考期末）
7．计算： ．
【即学即练】
（2022春·广东佛山·八年级校考阶段练习）
8．化简： ．
【知识拓展2】分式加法（异分母）
例2．（2022·江苏九年级专题练习）
9．计算： ．
【即学即练】
（2022·北京门头沟·大峪中学八年级期中）
10．计算：．
【知识拓展3】分式减法（同分母）
例3．（2022秋·天津津南·八年级统考期中）
11．化简： ．
【即学即练】
（2022秋·湖北荆门·八年级校考期末）
12．计算的结果是
【知识拓展4】分式减法（异分母）
例4．（2022·江苏无锡·八年级期中）
13．计算并化简：
（1）；
（2）．
【即学即练】
（2022·江苏苏州九年级月考）
14．计算： ．
知识点03 分式的混合运算
【知识点】分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识拓展1】分式的混合运算
例1．（2022·辽宁大连·中考真题）
15．计算．
【即学即练】
（2023春·江苏·八年级专题练习）
16．计算
(1)
(2)
（2022·江苏苏州·校考一模）
17．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2022·四川自贡·中考真题）
18．化简： ＝ ．
【知识拓展2】分式的化简求值1
例2．（2022·广西贺州·统考三模）
19．已知，则的值是 ．
【即学即练】
（2022秋·四川南充·八年级校考期末）
20．已知，则的值为( )
A．6 B．－6 C． D．－
（2022·浙江·九年级自主招生）
21．如果，，是正数，且满足，，则
【知识拓展3】分式的化简求值2
例3．（2022秋·重庆江津·八年级统考期末）
22．先化简，再求值：，其中．
【即学即练3】
（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）
23．化简并求值：，选择一个合适的m值代入求出分式的值．
（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）
24．先化简，再求值：，其中．
题组A 基础过关练
（2023·陕西西安·校考二模）
25．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·江苏·八年级专题练习）
26．计算的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．
（2021·河北邯郸·统考三模）
27．若，则（ ）中的数是（ ）
A． B．1 C． D．任意实数
（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）
28．分式、、的最简公分母是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
29．在分式加减运算中，常用到下列四个依据：
Ⅰ、合并同类项 Ⅱ、约分 Ⅲ、同分母分式的加减法则 Ⅳ、通分
化简
①
②
③
④
则正确的表示是（ ）
A．①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅰ，④-Ⅱ B．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅱ
C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅱ，②-Ⅲ，③-Ⅰ，④-Ⅳ
（2022秋·天津津南·八年级统考期中）
30．化简： ．
（2022秋·湖南郴州·八年级校考阶段练习）
31．化简： ．
（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）
32．已知x－y=xy,则 .
（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）
33．计算： ．
（2023春·江苏·八年级专题练习）
34．化简：．
（2022秋·全国·八年级专题练习）
35．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
甲同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步 乙同学： = 第一步 = 第二步 = 第三步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
（2022·盐城市八年级期末）
36．先化简，再求值：，其中．
（2022·广东龙华·）
37．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝3．
题组B 能力提升练
（2022·广西玉林·中考真题）
38．若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
（2022·山西·中考真题）
39．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2022·浙江杭州·中考真题）
40．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
（2021·河北邯郸·统考三模）
41．若，则（ ）中的数是（ ）
A． B．1 C． D．任意实数
（2022·四川眉山·中考真题）
42．化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
（2022·湖北武汉·中考真题）
43．计算：的结果是 ．
（2022·内蒙古新城·二模）
44．分式的最简公分母是 ， =
（2022·江苏泰州·中考真题）
45．计算:
(1)计算：；
(2)按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
（2023·江苏涟水·中考模拟）
46．阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：
（1）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式______形式；
（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
（2022·东平县八年级月考）
47．（1）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为的值代入求值．
（2）先化简：，其中，且是整数，再求值．
（2022·河北石家庄·统考一模）
48．计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
（2023秋·山东泰安·八年级统考期末）
49．先化简，再求值：
(1)先化简，再求值：，其中满足．
(2)先化简，再求值：，在2，3，4中选一个合适的数作为的值代入求值．
题组C 培优拔尖练
（2022·河北唐山·八年级统考期末）
50．在化简分式的过程中，开始出现错误的步骤是（ ）
A．A B．B C．C D．D
（2022·安徽合肥·校考二模）
51．某轮船往返于A、B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间（　　）
A．不变 B．增加 C．减少 D．增加，减少都有可能
（2022·河北邢台·校考一模）
52．若，则“（ ）”中的式子是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·湖南娄底·八年级校联考期中）
53．已知两个分式：，，其中x≠±2，则A与B的关系是（　　）
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．A大于B
（2022·天津·模拟预测）
54．若，则的结果为（ ）
A． B．2 C．3 D．5
（2022春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）
55．已知，，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2022·河北保定·校考二模）
56．数学课上，老师展示佳佳的解答如下：
计算：，
解：原式①
②
③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是：（ ）
A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性质
（2022秋·山东滨州·八年级校考阶段练习）
57．如果，则的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
（2022秋·重庆九龙坡·九年级校考期中）
58．已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；
（即）
第三次操作：将作和，结果记为；作差，结果记为；
（即）…（依此类推）
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①；②当时，；③若，则；④在第（n为正整数）次操作的结果中：（），；
以上结论正确的个数有（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
（2022·山东威海·中考真题）
59．试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
（2022·江苏·八年级假期作业）
60．已知，则的值为 ．
（2023春·江苏·八年级专题练习）
61．已，则的值是 ．
（2023·湖南湘潭市·中考模拟）
62．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
（2022·北京中考模拟）
63．阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，
∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．2（m﹣n）
【分析】利用最简公分母的定义求解，分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最简公分母是2（m﹣n）即是本题答案．
【详解】解：∵分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）．
∴它们的最简公分母是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键．
2．A
【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．
【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，
∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式，
∴公分母为： ．
故选择：A．
【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．
3．6x2y2
【分析】根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．即可求解．
【详解】解：分式，的最简公分母为6x2y2．
故答案为：6x2y2．
【点睛】本题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
4．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】先找到最简公分母，然后通分．
【详解】（1）， ；
（2），；
（3），；
（4），，．
【点睛】本题考查了分式的通分，找到最简公分母是解题的关键．
5．B
【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．
【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，
∴分式的最简公分母是，
∴通分后，=．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．
6．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）与的最简公分母是6；
（2）与的最简公分母是3；
（3）与的最简公分母是2；
（4）与的最简公分母是．
【详解】（1）∵与的最简公分母是6，
∴=，=；
（2）∵与的最简公分母是3，
∴=，=；
（3）∵与的最简公分母是2，
∴=，=；
（4）∵与的最简公分母是，
∴=，=．
【点睛】本题考查了分式的通分，准确确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母，是解题的关键．
7．1．
【分析】根据”同分母分式的加法法则”计算即可．
【详解】解：．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的加减，熟记”同分母分式的加法法则”是解答本题的关键．
8．
【分析】直接进行同分母的加减运算即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同分母的分式的运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
9．1
【分析】先通分，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进而求解即可；
【详解】解：原式
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式的加法，解题时注意：分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
10．
【分析】先根据平方差公式变形，再通分转化为同分母的分式计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了异分母的分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．2
【分析】根据分式的减法法则即可得．
【详解】解：原式，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．-1.
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】=
故答案为-1.
【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．
13．（1）2；（2）
【分析】（1）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案；
（2）首先通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的有关运算法则是解题的关键．
14．
【分析】根据异分母分式加减法法则计算，得到答案．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
15．
【分析】先把除法转化为乘法运算，再进行乘法运算，最后计算减法运算即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.
16．(1)
(2)
【分析】（1）先通分，再计算即可；
（2）先因式分解，除法改为乘法，再约分即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算．掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17．C
【分析】括号内先化简，再根据分式乘法法则计算即可．
【详解】原式===
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，先用平方差公式进行化简是解答此题的关键．
18．
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】
=
故答案为
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
19．
【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值．
【详解】解：由，得到，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．
20．D
【分析】先通分，再根据的特点即可求解.
【详解】∵
∴
∴==
故选D.
【点睛】此题主要考查分式的求值，解题的关键是熟知分式的性质.
21．7
【分析】先根据题意得出a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，再代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=9，
∴a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，
∴
=
=
=
=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．，
【分析】先将分式化简为最简分式，再将代入求值即可．
【详解】解：原式
=
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简的运算法则是解决问题的关键．
23．
【分析】括号里进行通分，再根据同分母加减运算法则运算即可，括号外进行因式分解，根据分式乘除运算法则运算，再选一个合适的m值代入计算即可．
【详解】解：(1－)÷
＝（－）·
＝ ·
＝．
∵m≠±2且m≠3，
∴当m＝1时，
原式＝－．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
24．；
【分析】先化简括号内的分式，然后再计算分式加法，然后再计算分式除法，最后将代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
将代入，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解本题的关键在熟练掌握分式的混合运算法则．
25．A
【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．
26．A
【分析】根据分式的加减运算即可求出答案．
【详解】解：原式
=1
故选：A
【点睛】此题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题关键．
27．A
【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键．
28．A
【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．
【详解】解：的分母为：，
∴最简公分母为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
29．A
【分析】利用异分母分式加减法的法则即可求解
【详解】
①（此步骤结合分式的基本性质进行了通分）
②（同分母分式的加减法则）
③（此步骤将分子合并同类项进行化简）
④（此步骤结合分式的基本性质进行了约分）
故选A
【点睛】本题考查异分母分式的加减法，理解分式的基本性质，掌握异分母分式加减法运算法则是解题关键．
30．2
【分析】根据分式的减法法则即可得．
【详解】解：原式，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
31．
【分析】根据分式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是本题的关键．
32．－1
【详解】试题分析：
＝
＝
＝
＝－1．
故答案为－1．
点睛：本题考查了分式的加减运算，解决此类问题要认真观察已知与要求之间关系，然后进行整体代入．
33．
【分析】利用分式的加减运算的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的加减，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
34．
【分析】先先化简，再通分，最后相加即可得到答案
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的化简，解答本题的关键是明确分式化简的方法．
35．(1)甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
(2)
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
【详解】（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x-1；
或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母；
故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；
（2）(选甲为例）
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
36．；
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
37．（1）2；（2），．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【详解】（1）原式＝
＝
＝2；
（2）原式＝（﹣）÷
＝
＝，
当a＝3时，原式＝＝．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
38．B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：
=
=
=
=1；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
39．A
【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键．
40．C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
41．A
【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键．
42．B
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
43．##
【分析】根据异分母分式减法法则进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
44．
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
45．(1)
(2)因式分解；三和五；
【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
【详解】（1）解：原式；
（2）解：由题意可知：
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，
【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键.
46．（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．
【分析】（1）根据“真分式”的定义可得；
（2）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式；
（3）先将分式化为带分式，再根据分式部分为整数求得的值；
（4）将分式化为带分式，再判断的取值范围即可．
【详解】（1）的分母次数大于分子次数，
故分式是真分式；
故答案为：真分式；
（2）
故答案为：；
（3）分式的值为整数，
，
即是整数，则；
解得或或或；
的值为：4，2，5，1；
（4）
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，不等式的应用，掌握计算法则，理解题意是解题的关键．
47．（1），；（2），．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值；
（2）因式分解后再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）
，
当a=2，3，-3时，原分式无意义，
故当a=1时，原式=；
（2）
，
当x=0，1，-1时，原分式无意义，
∵-1≤x≤2，x是整数，
∴x=2，
故当x=2时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键．
48．(1)
(2)0
(3)0
(4)1
【分析】（1）运用平方差公式分步通分 ；
（2）将各分式拆项，再两两抵消即可得出结果 ；
（3）先将各分式分解因式约分，再通分计算 ；
（4）注意到分母与分子的项与项之间的关系 ，如，采用换元法简化式子．
【详解】（1）原式+++
（2）原式=
（3）原式
（4）设 则
原式
【点睛】本题考查了分式的加减运算，难度较大，因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．
49．(1)，；
(2)，当时，原式；
【分析】（1）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，再代入计算即可；
（2）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，由，确定的值再代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
当时，
原式
；
（2）
，
，，
，，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值；灵活运用公式正确化简求值即可．
50．B
【分析】观察解题过程，找出错误的步骤及原因，写出正确的解题过程即可．
【详解】上述计算过程中，从B步开始错误，分子去括号时，1没有乘以3．正确解法为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
51．B
【分析】可设全程，船的静水速度，原来的水流速度，后来的水流速度为未知数，让路程÷顺水速度+路程÷逆水速度，分别求得两种情况下轮船往返一次所用的时间，进而让得到的两个代数式相减，根据结果可判断相应的时间大小．
【详解】设全程为S，船在静水中的速度为V，水的流速为V水1，往返一次所需时间为，当水的流速度增大时，则不妨设水的流速由V水1，变为V水2，所以，时间差为(
∵，，
，
，
∴当水速增加时，往返一次时间变长．
故选B．
【点睛】本题考查推理与论证；得到两种水速下时间的代数式是解决本题的突破点；比较两个代数式的大小，通常用减法，将得到的结果与0的比较．
52．A
【分析】由题意知“（）”中的式子为，计算求解即可．
【详解】解：
故选A．
【点睛】本题考查了分式的加减．解题的关键在于正确的运算．
53．C
【详解】∵B====，
又∵A=，
∴A+B=+=0，
∴A与B的关系是互为相反数．
故选：C．
54．B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
55．A
【分析】由A，C都为正数，结合分子相同，分母越大分数值越小，可得 再利用作差法比较C，B的大小即可．
【详解】解：
则
则
故选A
【点睛】本题考查的是分式的值的大小比较，掌握“作差法比较代数式的大小”是解本题的关键．
56．D
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确；
④：分式的基本性质，故错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
57．C
【分析】先对变形得到，然后将化成，再结合完全平方公式得到，最后将代入即可解答．
【详解】解：∵，即
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的减法、完全平方公式的应用以及代数式求值，灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
58．A
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可．
【详解】解：∵M1=，N1=
∴，，
∴，，
∴，，
，，
……
可知 ，故选项①正确；
由上式可知：，
=
当时，，故选项②正确；
由上式可知：，
∴，
解得，或，故选项③不正确；
∵M1=，N1=
，，
，，
……
∴（），，故选项④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律．
59．A
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：★=
★=
★=
=，
故选A．
【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
60．8
【分析】由可得，再将整体代入化简即可求解．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握整体代入方法．
61．4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键．
62．2
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
63．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：原式，
∵，
∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
答案第1页，共2页
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