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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题5.4 分式方程
1.理解分式方程的概念，并会熟练解分式方程；
2.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
3.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用．
知识点01 分式方程及其解法
【知识点】
1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
【知识拓展1】
例1．（2022·山东八年级月考）
1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练】
（2022·成都市八年级月考）
2．已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A． B． C． D．
（2022·江苏无锡八年级期中）
3．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展2】分式方程的解
例2．（2022·陕西莲湖·八年级期末）
4．已知是分式方程的解，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【即学即练】
（2022·哈尔滨市九年级月考）
5．方程解是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展3】解分式方程
例3．（2022·南通市八年级期中）
6．解方程：
（1） （2）
【即学即练】
（2022·江苏九年级专题练习）
7．解方程时，去分母得（ ）
A． B．
C． D．
（2022·辽宁昌图·八年级期末）
8．解分式方程：（1）； （2）．
【知识拓展4】分式方程中的新定义问题
例4．（2022·江苏九年级专题练习）
9．对于两个不相等的实数a b，我们规定符号表示a b中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为（　　　）
A．1 B． C．1或 D．或
【即学即练】
（2022·广东中考模拟）
10．定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
（2022·安徽霍邱·八年级期末）
11．按照如图所示的流程图，若输出的M＝6，则输入的m是 ．
【知识拓展5】分式方程特殊解-增根或无解
例5.（2022·江西抚州·八年级期末）
12．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·浙江越城·七年级期末）
13．已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
【即学即练】
（2022·山东鄄城·八年级期末）
14．关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
（2022·四川开江·八年级期末）
15．如果关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【知识拓展6】分式方程特殊解-解为正或负
例6．（2022·江苏·八年级期末）
16．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ．
【即学即练】
（2022·安徽马鞍山·八年级期末）
17．若关于的方程的解是正数，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．且
【知识拓展7】分式方程特殊解-整数解
例7．（2022秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）
18．关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有负整数a的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【即学即练】
（2022·江苏九年级专题练习）
19．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
知识点02 分式方程的应用
【知识点】分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【知识拓展1】
例1．（2022·铜仁一中实验学校）
20．“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022·安徽太湖·八年级期末）
21．在2020年3月底新过肺炎疫情在我国得到快速控制，教育部要求低风险区错时、错峰开学，某校在只有初三年级开学时，一段时间用掉120瓶消毒液，在初二、初一年级也错时、错峰开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒液比原来少用5天，若设原来平均每天用掉x瓶消毒液，则可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【知识拓展2】分式方程的应用-工程问题
例2．（2022·四川宣汉·八年级期末）
22．宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练】
（2022·贵州初二月考）
23．2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
（2022·成都市八年级月考）
24．为稳步推进网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程．
（1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程．
①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
②若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？
【知识拓展3】分式方程的应用-行程问题
例3.（2022·黑龙江虎林·八年级期末）
25．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为 ．
【即学即练】
（2022·上海市卢湾中学期末）
26．小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比骑车的速度慢．如果他骑车从城到城，再步行返回城共需要两小时，那么小王跑步从城到城需要 分钟．
【知识拓展4】分式方程的应用-销售问题
例4．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）
27．某车行经营A，B两种型号的电瓶车，已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和2500元．
（1）该车行去年A型车销售总额为8万元，今年A型车每辆售价比去年降低200元，若今年A型车的销售量与去年相同，则A型车销售额将比去年减少10%，求去年每辆A型车的售价．
（2）今年第三季度该车行计划用3万元再购进A，B两种型号的电瓶车若干辆，问：
①一共有几种进货方案；
②在（1）的条件下，已知每辆B型车的利润率为24%，①中哪种方案利润最大，最大利润是多少？（利润＝售价﹣成本，利润率＝利润÷成本×100%）．
【即学即练】
（2022·海东初二期末）
28．枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二批枇杷，所购箱数是第一批的倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）求第一批枇杷的每箱进价．
（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？
（2022·江苏南通市八年级月考）
29．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年2月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
(1)今年2月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？
(3)如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是________．
题组A 基础过关练
30．下列方程中不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
31．方程的解为（ ）
A． B． C． D．原分式方程无解
32．把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
33．抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
34．将的分母化为整数，得（　　　）
A． B．
C． D．
35．若关于x的分式方程=2有增根，则增根是(　　)
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
36．方程的解昰 ．
37．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
38．解分式方程：．
39．解分式方程：
40．解方程：
(1)
(2)
41．近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度．
题组B 能力提升练
42．小明和小亮在解答“解分式方程：”的过程如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（　　）
小明的解法： 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为得：⑤ 是原分式方程的解⑥ 小亮的解法： 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为得：⑤
A．小明的步骤①错误，漏乘 B．小明的步骤②、③、④都正确
C．小明的步骤⑤错误 D．小亮的解答完全正确
43．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
44．某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B． C． D．
45．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
46．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是 ．
先化简，再求值：，其中 解：原式
47．为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 ．
48．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
49．为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
50．解方程：
51．第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
52．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
题组C 培优拔尖练
53．已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．24 B．15 C．12 D．7
54．若关于的方程无解，则 ．
55．若分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
56．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：ab=．例如：52==.若4x=－3，= ．
57．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是 ．
58．某快递公司快递员甲匀速骑车去距公司6000米的某小区取物件，出发几分钟后，该公司快递员乙发现甲的手机落在公司，于是立马匀速骑车去追赶甲，乙出发几分钟后，甲也发现自己的手机落在了公司，立即调头以原速的2倍原路返回，1分钟后遇到了乙，乙把手机给甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回时的速度继续去小区取物件，刚好在事先预计的时间到达该小区．甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（给手机及中途其它耽误时间忽略不计），则甲到小区时，乙距公司的路程是 米．
59．列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟．
(1)由此估算这段路长约______千米；
(2)然后小字查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出的值．
60．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；
（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
61．雅礼集团某学校教学楼需要在规定时间内建造完成，以备迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如下：(部分信息)
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：
③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：(1)学校规定的期限是多少天？
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
62．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就4000元购进一批这种衬衫，这种衬衫面市后果然供不应求，商家又8800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．
（1）该商家购进的两批衬衫数量分别是多少件？
（2）商家销售这种衬衫时每件定价都是60元，经过一段时间后，根据市场销售情况，商家决定对最后剩余的20件衬衫进行打折出售，要使这两批衬衫全部售出后的总利润不少于4960元，则最后剩余的20件衬衫出售至多可打几折？
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：A、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意；
B、方程分母中不含有未知数x，不是分式方程，故本选项符合题意；
C、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意；
D、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．
【详解】解：根据定义可知：①②③为分式方程，
故选：C．
【点睛】此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意；
B、是一元一次方程，故不符合题意；
C、是分式方程，故符合题意；
D、是二元一次方程，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．
4．A
【分析】根据分式方程的解的定义，可将x=3代入方程，求得a=-1．然后，代入a-3检验是否为0，进而得出a=-1．
【详解】解：∵x=3是分式方程的解，
∴，
∴a=-1，
∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合题意）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解的定义以及解分式方程，熟练掌握解分式方程是解本题的关键．
5．B
【分析】根据分式方程的解法，先两边乘以公分母，转化为一元一次整式方程求解即可，最后检验．
【详解】
解得，
经检验，是原方程的根．
故选B．
【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．
6．（1）无解；（2）x=3
【分析】（1）先两边同时乘以得：，然后解整式方程，最后进行检验即可；
（2）先两边同时乘以得，然后解整式方程，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）
两边同时乘以得：，
∴，
∴，
∴，
经检验不是原方程的解，
∴此方程无解；
（2）即，
两边同时乘以得，
∴，
∴，
解得，
经检验是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法．
7．A
【分析】等号两边同乘以(x-1)(x-3)，即可得到答案．
【详解】解：，
等号两边同乘以(x-1)(x-3)，
得，
故选A．
【点睛】本题主要考查分式去分母，找出公分母，是解题的关键．
8．（1）；（2）原方程无解
【分析】（1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1）
方程两边都乘，得，
解这个方程，得，
检验，当时，，
所以是原方程的根，
即原方程的解是；
（2），
，
方程两边都乘，得，
解这个方程，得，
经检验，是原方程的增根，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能把分式方程转化成整式方程进行求解．
9．C
【分析】分类讨论和的大小关系，利用题中的新定义化简已知方程，求出解即可．
【详解】解：当，即y＜0时，方程变形得：，
解得：y=-1，
经检验y=-1是分式方程的解；
当，即y＞0时，方程变形得：，
解得：y=1，
经检验y=1是分式方程的解；
综上，方程的解为1或-1
故选C．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，
，
则，
经检验，是方程的解，
故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11．2
【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．
【详解】解：当m2-2m≥0时，
解得m=2，
经检验，m=2是原方程的解，并且满足m2-2m≥0；
当m2-2m＜0时，
m-3=6，解得m=9，不满足m2-2m＜0，舍去．
故输入的m为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
12．D
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】解：由题意，得
可知，
∴
由题可知此题中x=1为方程增根
即，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握分式方程有增根的条件．
13．C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，
解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，
∴或，
即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．
∴m的值是﹣2或﹣3．
故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
14．A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，
∵分式方程有增根，
∴x+1＝0，即x＝﹣1，
把x＝﹣1代入整式方程得：﹣3﹣2＝﹣2+2+m，
解得：m＝﹣5．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程增根的意义，熟练掌握分式方程的有关性质是解题的关键．
15．B
【分析】解方程得x＝6﹣m，由方程无解，则x＝5，即可求m的值．
【详解】解：，
方程两边同时乘以x﹣5得，
2﹣（m+1）＝x﹣5，
去括号得，2﹣m﹣1＝x﹣5，
解得x＝6﹣m，
∵原分式方程无解，
∴x＝5，
∴m＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的求解，涉及参数运算，属于基础题，难度不大，熟练掌握分式方程的求解方法是解决本题的关键．
16．且
【分析】先由题意求出分式方程的解，再由解是非负数和分母不为0，列出不等式组，解出即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
，
，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程中参数的取值范围，解题的关键是除了题干中明确要求的条件外，要注意分母不能为0的隐含条件．
17．C
【分析】先解分式方程求解，根据方程的解为正数，求出a的范围，然后将方程的增根代入求出，所以a的取值范围是且．
【详解】解：解方程，
得，
∴，
∴，
∵是方程的增根，
当时，
解得，
即当时，分式方程有增根，
∴，
∴a的取值范围是且．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练解分式方程是解题的关键．
18．A
【分析】解分式方程得出，根据其有非负整数解，即得出，，且为整数．再根据a为负整数，即得出所有a的可能的值，即得出答案．
【详解】解：，
等式两边同时乘，得：，
解得：．
∵该分式方程有非负整数解，
∴，，且为整数．
∵a为负整数，
∴的值为或或或，
∴满足条件的所有负整数a的个数是4个．
故选A．
【点睛】本题主要考查根据分式方程的解的情况求参数．掌握解分式方程的步骤是解题关键．
19．C
【分析】先由不等式组无解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解为非负整数，求解且，再逐一确定的值，从而可得答案．
【详解】解：
由①得：，
∴，
由②得：，
∴，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴，
∴，
∵为整数，
∴或或或或．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y≠2这一隐含条件．
20．D
【分析】设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发前每名同学分担的车费为：，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系．
【详解】设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
21．A
【分析】根据天数比原来少用5天建立等量关系．
【详解】设原来平均每天用x瓶消毒液，则原来能用天
现在每天用x+4瓶消毒液，则现在能用天，
再根据少用5天得到等量关系：
故选A．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，找到等量关系是本题的解题关键．
22．B
【分析】设原计划每天铺设管道的长度为千米，要铺设一条长35千米的管道除以原计划每天铺设管道的长度千米-要铺设一条长35千米的管道除以实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%=7，列分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为千米，
则可列方程为．
故选择B．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题方法与步骤，抓住等量关系是解题关键．
23．（1）甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；（2）应选甲工程队单独完成；理由见解析．
【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，根据甲工程队完成的工作量+乙工程队完成的工作量＝整项工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，根据甲、乙两工程队合作12天共需费用27720元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出两队每天所需费用，再求出两队单独完成这些工程所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，
依题意，得：1，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30．
答：甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；
（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，
依题意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，
解得：y＝1280，
∴y﹣250＝1030．
甲工程队单独完成共需要费用：1280×20＝25600（元），
乙工程队单独完成共需要费用：1030×30＝30900（元）．
∵25600＜30900，
∴甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是合理设出未知数，找到等量关系，列出方程．
24．（1）乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天
【分析】（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，列出相应分式方程求解即可；
（2）①由甲队施工20天完成工程的可得出甲队单独施工完成整项工程所需时间，结合乙队加入后可提前25天完成了剩余的工程可得出两队共同施工的时间，设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，根据两队每天完成的工程量共同工作的时间整项工程的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
②设甲队施工天完成该项工程，根据乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，
由题意，得，
解方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．
（2）①由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的，
所以甲队单独施工天完成该项工程.
甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天），
于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）．
设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，
则，
解方程，得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程．
②设甲队从开始施工到完成该工程需要天，
依题意列不等式，得，
解得：
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则乘公交车花的时间为小时，乘私家车所花的时间为小时，再利用乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，列方程即可.
【详解】解：设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设适当的未知数，表示需要的代数式，确定相等关系都是解本题的关键.
26．48
【分析】此题可设骑车速度为x，则跑步的速度为（1-50%）x，步行的速度为（1-50%）（1-50%）x，根据骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时列出分式方程解答即可．
【详解】解：设骑车速度为，则跑步的速度为，步行的速度为，根据题意列方程得
，
解得，
经检验，是原方程的解，
跑步的速度为，
小王跑步从城到城需要（小时），
小时=48分钟．
故小王跑步从城到城需要48分钟．
故答案为：48．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①设未知数，②根据题意找出等量关系，③列出方程，④解出分式方程并检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
27．（1）去年每辆A型车的售价为2000元；（2）①一共有3种进货方案；②方案3的利润最大，最大利润是6900元．
【分析】（1）设去年每辆A型车的售价为x元，则今年每辆A型车的售价为（x 200）元，利用数量＝总价÷单价，结合今年A型车的销售量与去年相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①设购进A型车m辆，B型车n辆，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各进货方案；②利用总利润＝每辆的利润×销售数量，即可分别求出选择各方案的总利润，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设去年每辆A型车的售价为x元，则今年每辆A型车的售价为（x 200）元，
依题意得：＝，
解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的解，且符合题意．
答：去年每辆A型车的售价为2000元；
（2）①设购进A型车m辆，B型车n辆，
依题意得：1500m＋2500n＝30000，
∴m＝20 n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴一共有3种进货方案，
方案1：购进A型车15辆，B型车3辆；
方案2：购进A型车10辆，B型车6辆；
方案3：购进A型车5辆，B型车9辆．
②选择方案1的利润为（2000 200 1500）×15＋2500×24%×3＝6300（元）；
选择方案2的利润为（2000 200 1500）×10＋2500×24%×6＝6600（元）；
选择方案3的利润为（2000 200 1500）×5＋2500×24%×9＝6900（元）．
∵6300＜6600＜6900，
∴方案3的利润最大，最大利润是6900元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②利用总利润＝每辆的利润×销售数量，求出选择各方案的总利润．
28．（1）第一批枇杷每箱进价为90元；（2）剩余的枇杷每箱售价至多打七五折
【分析】（1）设第一批枇杷每箱进价x元，则第二批进价为x+5元，再根据第二批的数量是第一批的倍，和数量=总价÷单价即可列出方程，求解即可；
（2）设剩余的枇杷每箱售价打y折，根据利润=销售收入-进价，和利润不少于855元可列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设第一批枇杷每箱进价x元．
由题意得，
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：第一批枇杷每箱进价为90元．
（2）第二批购进枇杷的箱数为
设剩余的枇杷每箱售价打y折．
由题意可知，，
解得．
答：剩余的枇杷每箱售价至多打七五折．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据利润=销售收入-进价，列出关于m的一元一次不等式．
29．(1)9万元
(2)共有5种进货方案，方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆．方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆．方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆．方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆．方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆
(3)0.5
【分析】（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元，根据题意，得：，求解即可；
（2）设购进A款汽车辆．根据题意，得：，解不等式即可的方案；
（3）设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得：即可求解；
【详解】（1）解：（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元，
根据题意，得：，解得：．
经检验，时，，所以是是原方程的根且符合题意．
答：今年2月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车辆．根据题意，得：
．
解得：．
∵的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案，
方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆．
方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆．
方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆．
方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆．
方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆；
（3）设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得：
．
当时，（2）中所有方案获利相同．
故答案是：0.5．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键．
30．C
【分析】根据分式方程的概念逐项判断即可找出正确答案．
【详解】解：分式方程需同时满足3个条件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，
观察可知，选项A B D均满足上述三个条件，故都是分式方程，
选项C分母中没有未知量，不属于分式方程，
故答案为：C．
【点睛】本题考查分式方程的概念，熟练掌握分式方程的判定方法是解题的关键．
31．D
【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验解分式方程即可．
【详解】解：
分式两边同乘得： ，
移项合并同类项得：，
检验：当，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
故选D．
【点睛】本题考查解分式方程，注意使最简公分母为0的x的值，是方程的增根，要舍掉．
32．D
【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2-x，首先要化成x-2；②、等式右边的常数项不要漏乘．
【详解】解：
两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2
故选：D
【点睛】本题考查解分式方程．
33．B
【分析】设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得：＝；
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
34．D
【分析】根据分式的基本性质求解．　　
【详解】解：将的分母化为整数，可得．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
35．B
【分析】利用分式方程增根的定义直接得到答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程=2有增根
∴x﹣1=0，即x=1，
所以增根为x=1．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根的含义，掌握分式方程的增根的含义是解题的关键．
36．
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【详解】解：
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴ 原方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键.
37．m＞1且m≠3．
【分析】先解关于x的分式方程，得x=1-m，再根据关于x的分式方程的解为负数，得1-m＜0且1-m≠-2，故m＞1且m≠3．
【详解】解：，
去分母，得3-m=x+2，
移项，得x=1-m．
∵关于x的分式方程的解为负数，
∴1-m＜0且1-m≠-2，
∴m＞1且m≠3．
故答案为：m＞1且m≠3．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程以及解一元一次不等式是解决本题的关键．
38．
【分析】两边都乘以，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可．
【详解】解：两边都乘以，得：，
整理，得：，
解得，，
检验：当时，，舍去；
当时，；
所以分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意检验．
39．
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：，
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法”是解本题的关键．
40．(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后检验根是否有意义，即可求解；
（2）先将分式通分，再根据分式的加减法法则进行运算，最后把解的根代入原方程检验，若分式有意义则有解，原方程无意义则原方程无解．
【详解】（1）解：原式变形得，，且，
，
∴，
代入原方程检验得，原方程左边：，原方程右边：，
即时，方程左边等于右边，且原方程有意义，
故方程的解是：．
（2）解：原式通分得，，且，
，
，
∴，
，
代入原方程检验：原方程分母为零，方程无意义，
故原方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握分式的加减法法则，通分，分式方程有意义是解题的关键．
41．老王步行的速度0.05km/min．
【分析】设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：老王步行的速度0.05km/min．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．
42．D
【分析】观察解方程的步骤，找出出错的即可．
【详解】解：根据题意得：
小亮的解答没有检验过程，出错；
小明的步骤错误，漏乘，
小明的步骤、、都正确，
小明的步骤错误．
故选：．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
43．C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以，得，
解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，
即且，
且，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
44．D
【分析】设总工程量为，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
【详解】解：设规定日期为天，
由题意可得，，
整理得，或或．
则选项均正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
45．D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
46．5
【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：，即，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
47．
【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．
【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，
∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，
根据题意可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
48．m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
49．
【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．
【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x．甲、乙两山需红枫数量、．
∴，
∴，
故丙山的红枫数量为，
设香樟和红枫价格分别为、．
∴，
∴，
∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．
50．
【分析】先方程两边同时乘以，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
解出：，
当时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
51．摩托车的速度为40千米/时
【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，
依题意，得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，
答：摩托车的速度为40千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
52．(1)100米
(2)90米
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，
则有
解得
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
（2）∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米
则有
解得
经检验，是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．
53．B
【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论.
【详解】解：
去分母得:
移项得:
∴
∵分式方程的解为非负数，
∴
∴，且a≠3
∵三角形的三边为:5，7，a，
∴
∴，
又∵a≠3，且为整数，
∴a可取4，5，6，和为15.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式（组）解集，求出不等式（组）的整数解.
54．2或
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得．
【详解】解：去分母，得：，
整理，得：，
当时，分式方程无解，
当时，若，则，即；
若，则（无解）；
综上所述，或，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，或者得到的整式方程无解．
55．m＞1且m≠3
【分析】方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【详解】解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，
解得，
∵分式方程解为正数
∴且x-1≠0，
即m＞1且，
∴m＞1且m≠3，
故答案为：m＞1且m≠3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．
56．
【分析】先根据新定义的运算得到分式方程，然后根据解分式方程的方法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
去分母得：，
移项并合并同类项得：，
解得：，经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是根据新定义的运算得到分式方程．
57．x=n+4或x=n+5
【分析】根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．
【详解】解：，解得：或；
，解得：或；
，解得：或；
得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，
根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5
故答案为：x=n+4或x=n+5
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．
58．1500
【分析】甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），根据“刚好在事先预计的时间到达该小区”，结合函数图象列出方程，可以分别求得甲乙的速度和甲到达公司的时间，进而求得甲到小区时，乙距公司的路程．
【详解】设甲开始的速度为a（m/min），则甲后来的速度为2a（m/min），
由题意可得，
解得，a＝500，
设乙的速度为b（m/min），由甲乙相遇知，
∴b＝1000，
∴甲乙相遇时乙距公司的路程为：（9﹣）×1000＝3000，
甲到达小区的时间为：＝12（min），
∴甲到小区时，乙距公司的路程为：3000﹣1000××（12﹣9）＝1500（m），
故答案为：1500．
【点睛】本题考查了函数图像的识别，分式方程，根据题目中的等量关系列出正确的方程是本题的关键．
59．(1)3
(2)7.5
【分析】（1）利用路程=速度×时间可求出这条路的长度；
（2）设每a米种一棵树，则另一计划每2a米种一棵树，根据需种树的棵数=路的长度÷树间距结合另一方案路的每一侧都减少400棵树，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】（1）这段路长约60×=3（千米）．
故答案为：3．
（2）由题意可得．
解方程得．
经检验，满足方程且符合题意．
答：的值是7.5．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
60．（1）1600，2000；（2）有7种，当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元；（3）当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当k=50时，每种进货方案的总利润都一样．
【分析】（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为(x+400)元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，表示出总利润y=﹣50x+15000，根据题意得：求出x的取值范围，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；
（3）当电冰箱出厂价下调k(0＜k＜100)元时，则利润y=( k﹣50)x+15000，分两种情况讨论：当k﹣50＞0；当k﹣50＜0；利用一次函数的性质，即可解答．
【详解】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为(x+400)元，根据题意得：
，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元；
（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，
则y=(2100﹣2000)x+(1750﹣1600)( 100﹣x)=﹣50x+15000，且，
解得：，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；
∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元；
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k(0＜k＜100)元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润y=(2100﹣2000+k)x+(1750﹣1600)( 100﹣x)= (k﹣50)x+15000，
当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，
∵，
∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
当k﹣50=0，即k=50时，y=15000，此时每种进货方案的总利润都一样．
答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当k=50时，每种进货方案的总利润都一样．
【点睛】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．根据找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
61．（1）12 （2）选择方案③最节省工程款，理由见解析
【分析】（1）设该工程的规定时间为x天，根据题意列出方程求解即可．
（2）根据已知算出各方案的价钱，再根据题意进行选择．
【详解】（1）设该工程的规定时间为x天，则甲队需要天，乙队需要天完成，由题意得
解得
经检验，是方程的根
答：学校规定的期限是12天．
（2）选择方案③最节省工程款
由于不耽误工程，故方案②舍去，只能选择方案①和方案③
方案①：总费用（万元）
方案③：总费用（万元）
∵
∴选择方案③最节省工程款．
【点睛】本题考查了分式方程的工程问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
62．（1）该商家第一批购进这种衬衫100件，第二批购进这种衬衫200件; （2）八折
【分析】（1）设该商家第一批购进这种衬衫x件，则第二批购进这种衬衫2x件，利用单价＝总价÷数量，结合第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出第一批购进这种衬衫的数量，再将其代入2x中即可求出第二批购进这种衬衫的数量；
（2）设最后剩余的20件衬衫打m折出售，利用总利润＝销售总价 进货成本，结合要使这两批衬衫全部售出后的总利润不少于4960元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出最后剩余的20件衬衫出售至多可打八折．
【详解】解：（1）设该商家第一批购进这种衬衫x件，则第二批购进这种衬衫2x件，
依题意得：，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×100＝200．
答：该商家第一批购进这种衬衫100件，第二批购进这种衬衫200件．
（2）设最后剩余的20件衬衫打m折出售，
依题意得：60×（100＋200 20）＋60××20 4000 8800≥4960，
解得：m≥8．
答：最后剩余的20件衬衫出售至多可打八折．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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