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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题6.2 平行四边形的判定
1.掌握平行四边形的判定定理；
2.会应用平行四边形的判定定理解决相关的几何证明和计算问题；
知识点01 平行四边形的判定定理
【知识点】
平行四边形的判定，主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC．
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD＝BC，AB＝DC．
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD＝BC；AB∥DC且AB＝DC．
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD＝∠BCD且∠ABC＝∠ADC．
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO＝CO且BO＝DO．
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形．若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的．
【知识拓展1】平行四边形的判定
例1.（2022·广东·八年级课时练习）
1．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
【即学即练】
（2022·山东·八年级期末）
2．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
（2023春·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校联考期中）
3．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【知识拓展2】判断能否构成平行四边形
例2.（2022·湖北远安·八年级期末）
4．如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠DAC=∠BCA B．AB=CD，∠ABO=∠CDO
C．AC=2AO，BD=2BO D．AO=BO，CO=DO
【即学即练】
（2023春·湖北荆州·八年级统考期中）
5．如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．，
（2023春·浙江温州·八年级校考期中）
6．如图，四边形的对角线交于点，下列不能判定其为平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
【知识拓展3】添加一个条件成为平行四边形
例3.（2023春·北京东城·八年级校考期中）
7．如图，在中，对角线与相交于点O，E、F是对角线上的点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022·绵阳市八年级专题练习）
8．如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）
9．如图， 中，，为锐角．要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有（ ）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙
【知识拓展4】证明四边形是平行四边形
例4.（2022·广东惠城·八年级期末）
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，点D从点C出发沿CA方向以cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤60）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【即学即练】
（2022·山西八年级专题练习）
11．如图，在平行四边形ABCD中，点F是边AD的中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E，连接AC，DE．求证：
(1)；
(2)四边形ACDE是平行四边形．
【知识拓展5】利用平行四边形的性质与判定求解
例5.（2022·吉林长春市·八年级月考）
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，交于点O．
(1)求证：与互相平分；
(2)若，求的长．
【即学即练】
（2022·广东·八年级期中）
13．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　）
A．5 B．2 C．2 D．3
【知识拓展6】利用平行四边形的性质与判定证明
例6.（2022·辽宁旅顺口·八年级期中）
14．如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．
（1）探究与的数量关系，并证明；
（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．
【即学即练】
（2022·上海九年级专题练习）
15．已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．
（1）求证：∥；
（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．
题组A 基础过关练
（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）
16．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
（2022·上海九年级专题练习）
17．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
（2022·重庆江北区·字水中学九年级月考）
18．下列命题是假命题的是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别互补的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2023春·西藏·八年级校考期中）
19．在平面直角坐标系中，点，，，点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标 ．
（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）
20．如图，在中，点E在上，点F在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若为的平分线，且，，求的周长．
（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）
21．如图，在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为点E，F．
(1)求证：．
(2)连接和，判断四边形的形状，并说明理由．
（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）
22．如图所示，点E是的边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)连接、，则四边形 （填“是”或“不是”）平行四边形．
（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）
23．已知：如图，在中，，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)四边形是平行四边形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
（2023春·浙江·八年级专题练习）
24．如图，在矩形中，点E为的中点，延长，交于点F，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若为的角平分线，，求四边形的周长．
（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）
25．如图，在平行四边形中，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，．求四边形的面积．
（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）
26．如图，在四边形中，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接相交于点O，，则的周长等于_________．
题组B 能力提升练
（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）
27．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
（2022·山东·八年级）
28．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（　　）
A．若AO＝OC，则ABCD是平行四边形
B．若AC＝BD，则ABCD是平行四边形
C．若AO＝BO，CO＝DO，则ABCD是平行四边形
D．若AO＝OC，BO＝OD，则ABCD是平行四边形
（2022·山东·宁津县八年级期末）
29．如图，在中，点，分别在边，上．若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中．那么不能使四边形是平行四边形的条件是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·八年级单元测试）
30．如图，在平行四边形中，，，与交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）
31．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是 ．
（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）
32．在中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动．点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当时，运动时间 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
（2022·北京·人大附中八年级阶段练习）
33．已知点A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 ．
（2022·山东八年级阶段练习）
34．如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别在CD和BC的延长线上，，，则 ．
（2023春·北京顺义·八年级北京市顺义区仁和中学校考期中）
35．如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交边于点E，交边于点F．连接．
(1)依题意补全图形；
(2)①直接写出图中除外所有的平行四边形（可以标记字母）；
②选择①中的一个平行四边形加以证明．
（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）
36．已知，平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使，连接、、、．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，当时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形面积都等于三角形面积的．
（2022·山东烟台市·八年级期末）
37．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
（1）当点在边上时，如图①，求证：．
（2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？
（3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____（不需要证明）．
题组C 培优拔尖练
（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期中）
38．如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，在条件：①；②；③；④中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（2023春·全国·八年级专题练习）
39．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
（2023春·江西宜春·八年级统考期中）
40．如图，在 中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为 时，线段．
（2022·云南·昆明市九年级阶段练习）
41．如图，在中，与交于点，点在上，cm，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动；点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
（2022·江苏射阳·九年级阶段练习）
42．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．
（2022·黑龙江·哈尔滨九年级期末）
43．如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
（2022·浙江杭州市·八年级期中）
44．如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
（2023·河北承德·统考一模）
45．如图，在四边形中，，，．将沿剪下来，以为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，、与所在的直线的交点分别为、．
(1)求证：；
(2)当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积；
(3)在旋转过程中，若，如图3所示，求的长；
(4)在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．
（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考一模）
46．已知：如图1，四边形是平行四边形，E，F是对角线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，请直接写出图2中4个面积等于四边形面积的三角形．
（2022·山东章丘·八年级期末）
47．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)．
（1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形；
（3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．C
【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3．B
【分析】由作图可得，，，进而可得判定平行四边形的依据．
【详解】解：由作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，
∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．解题的关键在于理解作图过程．
4．D
【分析】A.证明，即可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断；
B.证明AB∥CD，即可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
C. 可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；
D. 条件不足无法判断；
【详解】∠DAC=∠BCA
，
四边形是平行四边形，
故A选项正确，不符合题意；
∠ABO=∠CDO
又 AB=CD，
四边形是平行四边形，
故B选项正确，不符合题意；
AC=2AO，BD=2BO
四边形是平行四边形，
故C选项正确，不符合题意；
D. 条件不足无法判断，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
5．D
【分析】利用平行四边形的定义及判定方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：∵，，而四边形的内角和为，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形；故A不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形；故B不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形；故C不符合题意；
∵，，
∴不能判定四边形是平行四边形；故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键．
6．D
【分析】根据平行四边形的判定方法求解．
【详解】解：A、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵
∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴不能判定四边形为平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
7．A
【分析】根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可得结论．
【详解】解：∵，
∴，，，，，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故B不符合题意；
∵，，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，而，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意；
当，而，，
∵，
∴，而，
此时不能得到：，，
∴添加不能判定四边形是平行四边形，故A符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键．
8．D
【分析】由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可证明，从而可判断，由结合已知条件可判断，由结合已知条件仍不能判定四边形为平行四边形，从而可得到答案．
【详解】解：A、∵∠ADE=∠E， ∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠B=∠E，
∴∠ADE=∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；
故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9．A
【分析】甲方案，连接交于点，证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出甲方案正确；
乙方案，先证明，再证明得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出乙方案正确；
丙方案，证明得出，，则，证出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出丙方案正确；
【详解】甲方案中，连接交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故甲方案正确；
乙方案中，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故乙方案正确；
丙方案中，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故丙方案正确；
故选A
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出DF，得到DF=AE，并由已知证得DF∥AE，则根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）利用①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．
【详解】（1）证明：∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，
∴AB＝BC＝60cm，∠C＝45°，
由题意得，CD＝t，AE＝t，
∵DF⊥BC，
∴DF＝CD＝t，∠CFD＝90°，
∴DF＝AE，DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：①当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝45°，
∴AD＝AE，
即60﹣t＝t，
解得，t＝30，
②当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝AD，
即t＝×（60﹣t），
解得，t＝40，
③当∠EFD=90°时，此种情况不存在．
综上所述，当t＝30秒或40秒时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
11．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）通过平行四边形的对边平行可以得到∠EAF＝∠CDF，通过点F是边AD的中点，可以得到AF＝DF，再加上一组对顶角相等，即可证得；
（2）通过可以得到AE＝DC，通过一组对边平行且相等即可证得四边形ACDE是平行四边形．
【详解】（1）解：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAF＝∠CDF，
∵点F是边AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFE和△DFC中，
，
∴△AFE≌△DFC（ASA）；
（2）∵△AFE≌△DFC，
∴AE＝DC，
∵AE∥DC，
∴四边形ACDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握它们各自的性质．
12．(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）连接，证明可得，再证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证；
（2）由，结合， 求解，再利用，根据勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
在与中， ，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．
13．D
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90 ，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60 ，
∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，
∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，
∴DE⊥BE，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．
14．（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见解析；（2）AF=EF+CE，理由见解析．
【分析】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论；
（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，
理由：设∠CAE=，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=45°+，
∵AC=AD，
∴∠DCA=∠ADC=45°+，
∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；
（2）AF=EF+CE，
理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，
∵CD∥AB，
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，
∴CE=EG，AE=BE，
又∵∠CEA=∠GEB=90°，
∴△CEA≌△GEB，
∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，
∴∠CAE=∠GBE，
∵∠GEB=90°，
∴∠AGB+∠GBE=90°，
∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠AGB，
∴AD∥BG，
∵DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AF=GF，
∵GF=EF+GE=EF+CE，
∴AF=EF+CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得CM=AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．
（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得△BCH是等腰三角形．
【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥且．
∵点、分别是边、的中点，
∴，．
∴．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形
∴∥．
（2）设BH与CN交于点E，
∵AM∥CN，BH⊥AM，
∴BH⊥CN，
∵N是AB的中点，
∴EN是△BAH的中位线，
∴BE=EH，
∴CN是BH的垂直平分线，
∴CH=CB，
∴△BCH是等腰三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
16．D
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．
【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
17．C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
18．C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，A是真命题；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B是真命题；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，C是假命题
对角线互相平分的四边形是平行四边形，D是真命题；
故选：C
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，熟练掌握平行四边形的判定是解本题的关键
19．或或
【分析】分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．
【详解】解：分三种情况：①为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为；
②为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为；
③为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标可能是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
20．(1)见详解
(2)16
【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质和可得，进而可得四边形是平行四边形．
（2）根据（1）可得，根据为的平分线，可得为等腰三角形，即可得出的值，即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
的周长为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
21．(1)证明见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而证明，即可证明；
（2）先证明，再由全等三角形的性质得到，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)是
【分析】（1）利用证明三角形全等即可；
（2）根据全等，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，点E是的边的中点，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）四边形是平行四边形；理由如下：
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关性质和判定方法，是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)是，见解析
【分析】（1）利用证明，即可证明；
（2）证明，由，推出，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由可证，可得，由平行四边形的判定可得结论；
（2）由角平分线的性质可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解；
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，掌握矩形的性质是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得，又，可得证四边形是平行四边形；
（2）和分别以和为底，则它们对应的高相同，因此根据底的关系，可得到和的面积关系，进而求出的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，平行四边形的面积．熟练运用平行四边形的相关知识是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，即可得到的周长．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
27．B
【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AF//CE，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
28．D
【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可.
【详解】解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形的对角线互相平分
∴D能判定ABCD是平行四边形．
若AO＝BO，CO＝DO，证明AC=BD，并不能证明四边形ABCD是平行四边形，故C错误，
若AO＝OC，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故A错误，
若AC＝BD，条件不足，无法明四边形ABCD是平行四边形，故B错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定条件.
29．B
【分析】根据平行四边形的判定条件进行逐一判断即可得到答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；
∵BE=DF
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意；
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌CDF（SAS），
∴AE=CF，BE=DF，
∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形，故D不符合题意；
由AE=CF，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形AECF是平行四边形，故B符合题意，
故选B.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
30．C
【分析】根据平行四边形的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形、、、、、、、和都是平行四边形，共9个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
31．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【分析】根据题意可证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到．
【详解】解：蕴含的数学原理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”．
32．或8
【分析】由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则，
设运动时间为t秒，
当时，，，，，
∴，
解得：；
当时，，，，
∴，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分两种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．
33．(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)
【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标．
【详解】解：如图，
以BC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向左平移1个单位，B点对应的位置为（﹣2，3）就是第四个顶点D1；
以AB为对角线，将BC向下平移3个单位，再向右平移1个单位，B点对应的位置为（0，﹣3）就是第四个顶点D2；
以AC为对角线，将AB向上平移3个单位，再向右平移4个单位，C点对应的位置为（6，3）就是第四个顶点D3；
∴第四个顶点D的坐标为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），
故答案为：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．
【点睛】本题考查图形与坐标，平行四边形的判定与性质，平移的性质，掌握平行四边形的判定与性质，平移的性质是解题关键．
34．8
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=CD＝，， 过点E作EH⊥BF于H，证得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根据30度角的性质求出EF．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD，
∵，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=CD＝，，
过点E作EH⊥BF于H，
∵，
∴∠ECH=，
∴CH=EH，
∵，，
∴CH=EH=4，
∵∠EHF=90°，，
∴EF=2EH=8，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
35．(1)见解析；
(2)①图中平行四边形有：，，；②选择①中的加以证明，证明过程见解析．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）①根据条件分别写出图中平行四边形；②根据平行四边形的性质，判定，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如下图：
（2）①图中平行四边形有：，，，
②选择①中的加以证明：
∵四边形是平行四边形，O是BD的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
36．(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再根据补角的性质等量代换可得，可推出，由全等的性质得，，则，即可得证；
（2）由，，可得，进而由，，，等高，可得，，，的面积是面积的．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，，
，
又，
，
，，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，，，，理由如下：
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
37．）（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）结论：当点D在边BC的延长线上时，在图②中，，证明方法类似（1）；
（3）结论：当点D在边BC的反向延长线上时，在图③中，．证明方法类似（1）．
【详解】证明：（1）∵，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）．
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）
理由：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，
又∵∠AB=AC，
∴∠ABC=∠C
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
38．D
【分析】通过证明三角形全等，得出四边形的一组对边平行且相等，即可得出是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
①时，不能证明，
不能证明四边形是平行四边形；
②时，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形；
③时，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形；
④当时，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
39．D
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】解：只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
40．或或
【分析】由平行四边形的判定和性质可知当时，．再求出点P运动的时间为12秒，即可求出点Q可在间往返3次，即在这段时间内与有3次平行．设运动时间为t，分类讨论4次平行，分别用含t的代数式表示出和，再列出方程，解出t的值即可．
【详解】解：当时，．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∵点P运动的时间秒，
∴点Q运动的路程，
∴点Q可在间往返3次，
∴在这段时间内与有3次平行．
设运动时间为t，则，
分类讨论：①第一次平行：，，
∴，
解得：秒；
②第二次平行：，，
∴，
解得：秒；
③第三次平行：，，
∴，
解得：秒；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的实际应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
41．3秒或5秒##5秒或3秒
【分析】由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，可得，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴∠ADB＝∠MBC，
又∵∠FBM＝∠MBC
∴∠ADB＝∠FBM
∴BF＝DF＝12cm
∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，
∵点E是BC的中点
∴EC＝BC＝9cm，
∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形
∴PF＝EQ
∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9
∴t＝3或5
故答案为3或5秒
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及判定，利用方程思想解决问题是解本题的关键．
42．（1）见详解；（2）AD=3
【分析】（1）由题意易得AD∥EC，进而根据平行四边形的判定定理可求解；
（2）由题意易得EF=3，然后根据角平分线的性质定理可得EC=EF=3，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥EC，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，
∴BF＝4，
∵EF⊥AB，
∴由勾股定理可得：，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴EC=EF=3，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理，熟练掌握平行四边形的判定、勾股定理及角平分线的性质定理是解题的关键．
43．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先证明再证明可得从而有 于是可得结论；
（2）先证明再证明，从而可得结论.
【详解】证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形BEDF是平行四边形.
（2）由（1）得：
四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形，
，
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练的运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是证明的关键，第（2）问先确定面积为平行四边形ABCD的的三角形是解题的关键.
44．（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
四边形为平行四边形．
（2），，
，
，
四边形为平行四边形．
上述结论成立，
由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出是等边三角形．
45．(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意可得，四边形是平行四边形，证明，即可得证；
（2）根据题意得到是等腰直角三角形，，根据旋转角为时，平分，设交于点，则是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）如图所示，将绕点逆时针旋转，使得点与点重合，点是点的对应点，则，连接，则，证明，则，设，则，在中，，勾股定理求得，即可求解；
（4）设，，同（3）的方法，在中，，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴四边形是平行四边形
∴
在中，
∴；
（2）解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴
∴旋转角为时，平分，
∴，
如图2，设交于点，
∴是等腰直角三角形，
∴重叠面积为
（3）解：如图所示，将绕点逆时针旋转，使得点与点重合，点是点的对应点，则，连接，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴；
（4）解：设，，
由（3）可得，则，
设，则，
∴，
在中，，
即，
解得：，
即，
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
46．(1)答案见详解
(2),,,
【分析】（1）根据题意，证明,可得,进而证明,证明且，即可解答．
（2）利用等底等高的三角形面积相等的性质即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
且，
,
，
，
即，
在与中，
，
，
，,
,
∴
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，,
在与中，
,
,
，
根据图形，以为底边上的高，以为底边上的高，以为底边上的高相等，
，
，
，
，
同理可得，，
．
故,,,是4个面积等于四边形面积的三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等底等高的三角形面积相等，熟练掌握相关概念是解题的关键．
47．(1) 存在点P的坐标，且P(0, )；(2)D运动2秒后四边形ABCD是平行四边形；(3) P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)．
【分析】(1)过A点作关于y轴的对称点M，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P，求出BM解析式，再令y=0进而求出P点坐标；
(2)只能是AC为一条对角线，BD为另一对角线，设D(m,0)，利用BD的中点与AC的中点为同一个点即可求解；
(3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，再分成①AB为对角线；②AP为对角线；③AQ为对角线共三种情况分别求解即可．
【详解】解：(1)过A点作关于y轴的对称点M(-1，1)，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P，
如下图所示：
设直线BM的解析式为y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)，
，解之得，
∴直线BM解析式为，
令x=0，解得y=，
∴存在点P的坐标，且P(0, )，
故答案为：存在点P的坐标，使得PA+PB最小，此时P点坐标为(0, )；
(2)当四边形ABCD是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD，
设D(m,0)，由中点坐标公式可知：
线段AC的中点坐标为，即，
线段BD的中点坐标为，即，
又线段AC与BD中点为同一个点，
∴，解得，
故四边形ABCD是平行四边形，D点的坐标为(2,0)，又速度为1个单位每秒，
∴经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：2秒；
(3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)，
情况①：AB为对角线时，另一对角线为PQ，
线段AB的中点坐标为，线段PQ的中点坐标为，
又线段AB和线段PQ的中点为同一个点，
∴，解得，故此时P(4,0)，Q(0,3)；
情况②：AQ为对角线时，另一对角线为BP，
线段AQ的中点坐标为，线段BP的中点坐标为，
又线段AQ和线段BP的中点为同一个点，
∴，解得，故此时P(-2,0)，Q(0,1)；
情况③：AP为对角线时，另一对角线为BQ，
线段AP的中点坐标为，线段BQ的中点坐标为，
又线段AQ和线段BP的中点为同一个点，
∴，解得，故此时P(2,0)，Q(0,-1)；
综上所述，P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定、平行四边形的存在性问题等，熟练掌握判定法则及平行四边形的性质是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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