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八年级数学下册同步精品讲义（北师大版）
专题5.1 认识分式
1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、无意义、分式值为零、分式值为正（负）、分式值为整数的条件；
2.了解分式的基本性质，掌握分式的约分、最简分式的概念。
知识点01 分式及相关概念
【知识点】
1.分式的定义：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。②整式B作为分母，则整式B0. ③只要最终能转化为形式即可.④B中若无字母，为整式.
2.分式的相关概念
1）分式有意义的条件：分母不为0，即B0
2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0
3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0
4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0
【知识拓展1】分式的概念
例1．（2022·湖南怀化·中考真题）
1．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【即学即练】
（2022·广西宁明·八年级期末）
2．代数式的家中来了几位客人：、、、、，其中属于分式家族成员的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识拓展2】分式有意义（无意义）
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）
3．当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【即学即练】
（2022·湖北黄冈·中考真题）
4．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
（2022·江苏丹阳·八年级期末）
5．若分式无意义，则x满足的条件为 ．
【知识拓展3】分式值为零
例3．（2022秋·广西玉林·八年级期末）
6．当分式的值为0时，x的值为 ．
【即学即练3】
（2022·广西·中考真题）
7．当 时，分式的值为零．
（2022·浙江湖州·中考真题）
8．当a＝1时，分式的值是 ．
【知识拓展4】分式值为正（负）
例4．（2022·福建南靖·八年级期中）
9．若的值为正数，则x的取值范围为 ．
【即学即练】
（2022·江苏沛县·八年级月考）
10．已知分式的值是正数，那么的取值范围是 ．
（2022·全国）
11．若代数式的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展5】分式值为整数
例5．（2022·安徽九年级专题练习）
12．若分式的值为正整数，则整数a的值有(　　)
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
【即学即练】
（2022·江苏高邮·八年级期末）
13．若分式值为整数，则满足条件的整数的值为 ．
知识点02 分式的基本性质
【知识点】
1.分式的基本性质
1）分数的性质（特点）如下：
①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）.
2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）：
①分式分母也不能为零；②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即：
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
2. 分式的约分
1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）.
注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。
2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
【知识拓展1】分式的基本性质1
例1．（2022·广东·一模）
14．如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【即学即练】
（2022·上海·七年级校考阶段练习）
15．若分式中的和都扩大到10和10，则分式的值扩大 倍
【知识拓展2】分式的基本性质2
例2．（2022·江苏淮安·八年级校考期中）
16．下列式子从左至右变形不正确的是（　　）
A．= B．=
C．=- D．=
【即学即练】
（2022·山西·二模）
17．下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识拓展3】分式的约分
例3．（2022·海南海口·八年级期末）
18．约分的结果是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）
19．把分式约分得到的结果是 ．
【知识拓展4】最简分式
例4．（2022·江苏徐州·）
20．下列分式中，最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练4】
（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）
21．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
（2022春·广东深圳·八年级校考期末）
22．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）
23．在，，，，中，其中是分式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（2022春·山东济南·八年级校考阶段练习）
24．若分式的值为零，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
25．下列分式中，无论x取什么值，一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
（2022秋·北京·八年级北京四中校考阶段练习）
26．下列属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）
27．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）
28．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
（2022春·海南儋州·八年级校考阶段练习）
29．约分= ．
（2022·宁夏银川·八年级统考期末）
30．若分式无意义，则x的取值是 ．
（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）
31．当x＝3时，分式的值等于 ．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
32．求满足下列条件的的值
（1）分式的值为 （2）分式的值为负数
（2023·全国·九年级专题练习）
33．约分：
① ；②；③
④；⑤；⑥
题组B 能力提升练
（2022·安徽·九年级专题练习）
34．下列关于分式的说法，错误的是(　　)
A．当x>-2时，分式的值一定为负数
B．当x=0时，分式没有意义
C．当x<-2时，分式的值一定为正数
D．当x=-2时，分式的值为0
（2023·河南·中考模拟）
35．下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0
（2023·绵阳市·中考模拟）
36．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数
C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，无意义
（2021·广西百色·中考真题）
37．当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
（2022·河北·三模）
38．下列各式从左到右的变形中，不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022·浙江·一模）
39．若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变
（2023·河北滦州·一模）
40．下列分式化简结果为的是（　　）
A． B． C． D．
（2022·上海崇明·二模）
41．化简：＝ ．
（2022春·浙江湖州·九年级专题练习）
42．若x＝5y（xy≠0），则＝ ．
（2022秋·河北承德·八年级统考期末）
43．已知分式①当x= 时分式无意义；
②当x 分式值为正数．
（2022秋·江苏·八年级专题练习）
44．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第个等式，并证明．
题组C 培优拔尖练
（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）
45．不论取何值，下列代数式的值不可能为0的是( )
A． B． C． D．
（2022·内蒙古·八年级统考期末）
46．下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·八年级江苏统考课时练习）
47．下列说法正确的是（ ）．
A．不是分式 B．无论取何值，分式总有意义
C．分式的值可以等于零 D．是分式
（2021春·江苏·八年级专题练习）
48．已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（ ）．
A．109 B．218 C．326 D．436
（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）
49．把下列分式中字母x，y的值都扩大2023倍，结果保持不变的分式是（　　）
A． B． C． D．
（2022秋·江苏八年级期中）
50．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　）
A． B． C． D．
（2022·山东聊城·八年级校考阶段练习）
51．已知a2﹣3a+1＝0，则分式的值是 ．
（2022·上海徐汇·七年级校考阶段练习）
52．用中的任意两个代数式组成的一个分式：
（2022·江苏扬州·八年级统考期末）
53．若分式值为整数，则满足条件的整数的值为 ．
（2022·江西·八年级期中）
54．已知，则 .
（2022·山东聊城·八年级统考期中）
55．约分：
(1)
(2)
(3)
（2022·湖北咸宁·八年级统考期中）
56．一瓶质量为a千克的饮料中，如果含有b千克的糖，则我们就称分式为这种饮料的“甜度”．同学们知道，橙汁饮料是用橙的果肉加工而成的，如果平均每个橙含糖a千克，可榨橙汁n千克．
（1）用100个橙制成A种橙汁，用1000个橙制成B种橙汁，这两种橙汁的“甜度”有什么关系，为什么？
（2）若在（1）中的两种橙汁中都加入1千克的糖，加糖后的两种橙汁的甜度各是多少？哪一种更甜？
（2022·四川成都·八年级统考期中）
57．已知，求：
（1）
（2）
（2022秋·广东汕头·八年级统考期末）
58．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
2．C
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，据此判断即可．
【详解】解：属于分式的有：、、，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟知定义是解本题的关键．
3．（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，．
【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可．
【详解】（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或．
（2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
（3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义．
（4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么．
4．
【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．
5．
【分析】根据分式无意义，分母等于0，列出等式，即可求解．
【详解】解：∵分式无意义，
∴x+3=0，
∴x=-3，
故答案是：x=-3
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式的分母等于0时分式无意义是解题的关键．
6．0
【分析】由题意得，，则，进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，，
则
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是掌握分式的值为零的条件．
7．0
【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．
8．2
【分析】直接把a的值代入计算即可．
【详解】解：当a=1时，
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
9．x>2
【分析】根据除法运算的符号法则：同号得正，异号得负，由分子为正，则分母也为正，可得关于x得不等式，解不等式即可.
【详解】∵，且2>0
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，分式的值，除法的符号法则等知识，根据除法的符号法则得到关于x的不等式是解题的关键．
10．x＞-4且x≠0
【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x+4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】解：∵＞0，
∴x+4＞0，x≠0，
∴x＞-4且x≠0．
故答案为：x＞-4且x≠0．
【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，注意此题中的x≠0．
11．B
【分析】由题意易得，则有，进而求解即可．
【详解】解：根据题意得，，即，解得．
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的值及不等式的求解，熟练掌握分式的值及不等式的求解是解题的关键．
12．B
【分析】分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数，据此即可求出a的值．
【详解】解：分式的值为正整数，且a为整数，
所以a+1=1或2或3或6．
则a=0或1或2或5．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的值．理解分式的值为正整数，则a+1的值是6的正整数约数是关键．
13．0或2
【分析】根据分式有意义的情况得出的范围，再根据分式的值为整数得出分母x-1=±1求解即可．
【详解】解：因为分式有意义，所以x-1≠0，即x≠1，
当分式值为整数时，
有x-1=±1，
解得x=0或x=2，
故答案为：0或2．
【点睛】本题考查分式的意义，分式的值，理解分式的值的意义是解决问题的关键．
14．A
【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得：
化简后的结果和原式相同，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
15．10
【分析】依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：根据题意，
；
∴分式的值扩大10倍．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
16．A
【分析】根据分式的基本性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、由分式的基本性质可知：≠，所以本选项符合题意；
B、=，变形正确，所以本选项不符合题意；
C、=－，变形正确，所以本选项不符合题意；
D、，变形正确，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
17．C
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；
B、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；
C、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；
D、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．
18．D
【分析】根据约分法则进行约分即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握约分法则是解本题的关键．
19．
【分析】分子分解因式，然后约分即可．
【详解】原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分，当分子与分母是多项式时，关键是把分子分母进行因式分解．
20．D
【分析】直接利用分式的基本性质，结合最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可．
【详解】A.，故原式不是最简分式，不合题意；
B.原式=，故原式不是最简分式，不合题意；
C.原式=，故原式不是最简分式，不合题意；
D. 是最简分式，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
21．B
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可得．
【详解】A、，此项不是最简分式，不符题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，此项不是最简分式，不符题意；
D、，此项不是最简分式，不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式，熟记定义是解题关键．
22．C
【分析】根据分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
23．B
【分析】根据分式的概念逐一进行判断即可得．
【详解】在，，，，中，其中是分式的有，，，
共3个，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
24．B
【分析】分式的值等于零，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意，得x2 9＝0，解得x=3或x=-3，
又因为x2-3x≠0，即x≠3且x≠0，
所以x＝-3．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
25．C
【分析】根据分式有意义，分母不等于零即可求解．
【详解】解：A、当x+1=0，即x=-1时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意；
B、当x=0时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意；
C、中，无论x为何值，分母x2+1≠0，所以该分式有意义；故本选项符合题意；
D、当x=±1时，分式的分母为零，所以该分式无意义；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的添加是分母不为零是解题的关键．
26．C
【分析】根据最简分式的概念逐项分析即可．
【详解】A、，故错误；
B、，故错误；
C、是最简分式，故正确；
D、，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查最简分式的概念，理解概念是解题关键．
27．D
【分析】根据分式的基本性质进行化简计算，逐个判断．
【详解】解：A. ，故此选项错误；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，正确
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质进行化简是本题的解题关键．
28．B
【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，
得，
可见新分式扩大为原来的2倍．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．要注意：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
29．
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以相同因式时分式的值不变即可解题．
【详解】解：，(分子分母同时除以)．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分，属于简单题，熟悉分式的性质是解题关键．约分的方法是：若分子分母都是单项式，则直接求取分子分母的公因式再化简；若分子或分母是多项式，需要将分子分母因式分解后求取分子分母的公因式再化简．
30．
【分析】根据分母等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得
1-2x=0，
∴x=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
31．3
【分析】直接把代入分式求值即可．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
32．（1）（2）
【分析】（1）若x为0，不成立，即分两种情况，x大于和小于0的情况，去绝对值，然后列等式计算.(2)分式的分子恒不大于0，分母恒大于等于1，故分子不能为0，计算得出.
【详解】解：（1）当x＞0时，=—1，得x=4，当x＜0时，=—1，得x=-4.
（2）根据分析，-x2=0，x=0，得解x≠0.
【点睛】本题考查分式中未知数的取值，解题的关键根据条件和分式定义求解.
33．① ② ③ ④ ⑤ ⑥5.
【分析】根据分式的基本性质进行约分即可.
【详解】解：①
②
③
④
⑤
⑥
【点睛】考查约分的相关知识:定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分; 约分的步骤主要是:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.
34．A
【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．
【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；
B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；
C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；
D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式无意义的条件，以及分式的值为正数或负数的条件．正确掌握相关性质是解题的关键．
35．C
【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.
【详解】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.
36．B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【详解】解：A、当x＝2时，分母x 2＝0，分式无意义，故A错误；
B、分母中x2＋3≥3，因而第二个式子一定成立，故B正确；
C、当x＋1＝1或 1时，的值是整数，故C错误；
D、不是分式，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
37．A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中
原式
故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
38．D
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．
39．B
【分析】根据分式的加法进行计算，再把同时扩大2倍，观察分式值变化即可．
【详解】解：，同时扩大2倍得，
分式的值是原来的，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分．
40．C
【分析】根据分式的化简逐个判断即可.
【详解】A.，故选项A错误；
B.，故选项B错误；
C.，故选项C正确；
D.=，故选项D错误；
故选：C.
【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
41．
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
42．11
【分析】将x＝5y代入，根据比例的性质即可求解．
【详解】解：x＝5y（xy≠0），
，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了利用比例的性质求分式的值，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
43． 2
【分析】分式无意义：分母为0；分式是值为正数：分子与分母同号．
【详解】解：要使无意义，则，解得；
要使的值为正数，则，解得；
故答案为：；．
【点睛】本题考查分式无意义以及为正数的条件，掌握分式无意义以及正数的条件是解题的关键．
44．(1)
(2)第个等式为，证明见解析
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出代数式然后证明即可．
【详解】（1）解：根据已知规律，第5个等式为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，第个等式为，
证明：右边
=左边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
45．B
【分析】分别找出各式的值为0时的值，由此即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项不符题意；
B、分式的分子为，则的值不可能为0，此项符合题意；
C、当时，，则此项不符题意；
D、当时，，则此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为零，解题的关键是掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．
46．D
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案．
【详解】解：选项A：；
选项B：；
选项C：；
选项D:∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是分式有意义的条件，通过举反例也可排除不正确的选项．
47．B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，若分式的值为0，则分母不为0，分子为0．据些逐一分析即可.
【详解】解：A、是分式，故A错误；
B、只有当分式的分母不为0时分式才有意义，在分式中，
∵x2≥0，∴3x2+1≠0，无论x取何值分式分母都不为0．分式有意义，故B正确；
C、分式的分子不为0，所以它的值不可能等于零，故C错误；
D、 不是字母，所以不是分式，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的概念及分式有无意义的条件，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
48．A
【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．
【详解】解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，
∴在中，b＝10，a＝102－1＝99，
∴a＋b＝109，
故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．
49．A
【分析】利用分数的基本性质将都扩大倍，对各项进行判断即可得到正确选项．
【详解】解：项∵，∴分式的值不变，故项符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意；
项∵，∴分式的值发生变化，故项不符合题意．
故选
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
50．A
【分析】根据题意中“和谐分式”的的定义判断即可．
【详解】解：A、，故A为“和谐分式”；
B、，原式的分子与分母都不能因式分解，故B不是“和谐分式”；
C、，故C不是“和谐分式”；
D、，故D不是“和谐分式”；
故选：A．
【点睛】本题主要考查约分，根据题意正确理解“和谐分式”的定义是解题的关键．
51．3
【分析】将a2﹣3a+1＝0，变形为，代入分式根据分式的性质即可求得分式的值
【详解】解：∵a2﹣3a+1＝0，
∴
故答案为：3
【点睛】本题考查了分式的性质，得到是解题的关键．
52．
【分析】根据分式的定义，只要把b或x2+1写在分母上即可.
【详解】如：.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
53．0或2
【分析】根据分式有意义的情况得出的范围，再根据分式的值为整数得出分母x-1=±1求解即可．
【详解】解：因为分式有意义，所以x-1≠0，即x≠1，
当分式值为整数时，
有x-1=±1，
解得x=0或x=2，
故答案为：0或2．
【点睛】本题考查分式的意义，分式的值，理解分式的值的意义是解决问题的关键．
54．
【分析】先根据绝对值的非负性求出a和b的值，代入代数式中根据分数的性质对原式进行变形即可求出答案.
【详解】∵，
所以，
∴a=1，b=2，
∴原式=
=
=
=
【点睛】本题考查非负数的性质，绝对值.本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分数的等量变形.
55．(1)
(2)m
(3)
【分析】（1）首先确定分子分母的公因式，然后再约掉分子分母的公因式即可；
（2）把分子分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可；
（3）首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．
【详解】（1）
＝
=
（2）
＝
=m；
（3）
＝
=．
【点睛】此题主要考查了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式．
56．（1）这两种橙汁的“甜度”相同；（2）A种橙汁的甜度：，B种橙汁的甜度：，加糖后的A种橙汁更甜．
【分析】（1）根据已知得出A，B两种橙汁的甜度，进而得出这两种橙汁的“甜度”关系；
（2）根据在（1）中的两种橙汁中都加入1千克的糖，得出两种橙汁的甜度，进而得出大小关系．
【详解】解：（1）由题意得： 100个橙共含糖千克，可榨橙汁共千克，
故甜度为：=，
1000个橙共含糖千克，可榨橙汁共千克，
故甜度为：=，
故这两种橙汁的“甜度”相同；
（2）A种橙汁的甜度：，B种橙汁的甜度：，
此时，，且=，
故＞．
答：A种橙汁的甜度：，B种橙汁的甜度：，两种橙汁中都加入1千克的糖，加糖后的A种橙汁更甜．
【点睛】本题主要考查了分式的应用，分式的值，根据已知得出两种橙汁的甜度是解题的关键．
57．（1）7；（2）.
【分析】（1）由可知：，，两边同时除以得，，即；
（2）由得，，则由可求得结果．
【详解】解：（1）由可知：，
∴，两边同时除以得，
∴，即，
∴；
（2）∵；
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】完全平方公式的变形运用和分式基本性质的运用．
58．（1） （2）；证明见解析
【分析】（1）观察前几个等式即可写出第7个等式；
（2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第n个等式，并进行证明．
【详解】解：观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，
（1）第7个等式：；
故答案为：；
（2）第n个等式：
证明：∵等式右边
∴左边＝右边
∴猜想得证．
故答案为：
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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