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第01讲 锐角三角函数和特殊角
课程标准
1.理解锐角三角形（正切、正弦、余弦）的意义，会表述正切（正弦、余弦）与梯子倾斜程度的关系．2.能够运用tanA，sinA和cosA表示直角三角形中两边的比． 3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算． 4.知道坡度的意义，并能进行简单的计算． 5.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值． 6.理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”． 7.利用特殊角的三角函数值解决简单的问题．
知识点01 锐角的正切
1.正切的定义
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的对边a与邻边b的比便随之确定，这个比叫做的正切值．记作tanA，即tanA＝．
2.注意事项
（1）tanA是一个完整的符号，它表示的正切，不能写成．
①对于用一个大写英文字母或希腊字母，等表示的角，表示正切时习惯省去角的符号“”，如tanA，tan等．
②对于用三个大写英文字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如tan，tan等．
（2）tanA没有单位，它的值只与的大小有关，与所在的直角三角形的边长无关．
（3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示．
提示：
①锐角A的大小确定之后，它所在的直角三角形的对边与邻边之比也随之确定，即锐角的正切值的大小只与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关．
②对于锐角A来说，的取值范围是，的值随锐角A的增大而增大．
知识点02 坡度与坡角
1.定义
如图所示，我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示．把坡面与水平面的夹角称为坡角．
2.两者之间的关系
坡度是坡角的正切值，即．
知识点03 锐角的正弦、余弦
1.正弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的对边a与斜边c的比便随之确定，这个比叫做的正弦．记作sinA，即sinA＝．
2.余弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的邻边b与斜边c的比便随之确定，这个比叫做的余弦．记作cosA，即cosA＝．
注意：
（1）正弦、余弦的定义与正切一样，是在直角三角形中对其锐角定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，是一个数值，没有单位，其大小与角的大小有关，与所在的直角三角形的三条边长无关．
（2）对于用一个希腊字母或一个大写英文字母表示的角，角的符号“”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如sinABC，sin1.
（3）sin，cos都是一个完整的符号，不能把sin写成sin，离开了的sin是没有意义的．
（4）sin A表示sinA·sinA＝（sinA）2，不能写成sinA2；cos2A表示cosA·cosA＝（cosA）2，不能写成cos A2.
知识点04 锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦和正切都是的三角函数．当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化．
（2）同角的正弦、余弦之间的关系（平方关系）：．
（3）同角的正弦、余弦与正切之间的关系（商的关系）：．
（4）互余两角的三角函数之间的关系：锐角A，B，且，则，，．
知识点05 梯子的倾斜程度与三角函数的关系
如图所示，若AB表示倾斜靠墙的梯子，则梯子的倾斜程度与它的倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡．
tan的值越大，梯子越陡；
sin的值越大，梯子越陡；
cos的值越小，梯子越陡．
知识点06 ，，角的三角函数值
1.图示记忆法
根据正弦、余弦和正切的定义，结合下图，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值．
2.表格记忆法
角 sin cos tan
1
提示：锐角三角函数值的增减变化
（1）当角度在~之间变化时，正弦值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小；正切值随角度的增大而增大．
（2）当锐角时，；
当锐角时，；
当锐角时，．
知识点07 特殊角的三角函数值的实际应用
利用三角函数解应用题的一般步骤：
（1）根据实际问题，构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型；
（2）利用三角函数的定义表示题目中相关的量；
（3）找出各个量之间的关系；
（4）利用已知量与未知量的关系求出未知量；
（5）作答．
考法01 利用锐角三角函数求线段长或面积
【典例1】
1．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（　　）
A．msin40° B．mcos40° C． D．
【即学即练】
2．已知在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
3．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
4．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
考法02 求锐角三角函数值
【典例3】
5．在中，，的余弦是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
6．在Rt△ABC中，，，，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
7．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，以下正确的是（ ）
A． B． C． D．
考法03 应用坡度解决实际问题
【典例5】
9．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）

A．2m B．4m C．4m D．6m
【即学即练】
10．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则AB的长为（ ）
A．米 B．米 C．18米 D．21米
【典例6】
11．如图，在山坡上种树，坡度，则相邻两树的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
12．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
考法04 特殊角的三角函数值
【典例7】
13．计算·tan 60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
【即学即练】
14．4cos60°的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【典例8】
15．在Rt中，∠C＝90°，∠B＝60°，那么sinA+cosB的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【即学即练】
16．已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°
题组A 基础过关练
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．对角线长为的正方形，边长是多少（　　）
A． B． C． D．
20．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
21．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．1
22．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（ ）
A． B． C． D．
23．比较大小： （选填“＞”、“＝”或“＜”）．
24．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC= m
25．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
26．如图，在中，，，．求的三个三角函数值．
题组B 能力提升练
27．在中，，则= ( )
A． B． C． D．
28．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．2
29．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
30．图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
31．如图，在中，，，以为斜边向外作，、分别为、的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B． C．8 D．
33．计算： ．
34．如图，在矩形中，为上的点，，，则 ．
35．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
36．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
题组C 培优拔尖练
37．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（　　）
A． B． C． D．
38．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
39．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ）
A．2 B． C． D．
40．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（ ）
A． B． C． D．2
41．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
42．如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上 B．A地在B地的南偏西30°方向上
C． D．
43．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为 ．
44．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是 ．
45．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．
(1)如图，当为锐角时，
①求证：；
②如果，求的正切值；
(2)如果，，求的面积．
46．在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，tan∠ACB=，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，且∠CED=∠CDF．
(1)如图1，如果点F与点B重合，则∠AFD的余弦值=______；
(2)如图2，若四边形ABCD的周长是16，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x取值范围；
②若BF:FA=1:2，求△CDE的面积．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键．
2．A
【分析】先根据正弦函数的定义和题意列出sin=，然后计算即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴sin=，即AB=．
故选A．
【点睛】本题考查了正弦函数的定义，根据正弦函数的定义正确列式成为解答本题的关键．
3．A
【分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由锐角三角函数可求BD＝a，CE＝a，由面积公式可求a的值，即可求解．
【详解】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F，
∵AB＝2AC，
设AC＝a，则AB＝2a，
∴BC＝＝a，
∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，
∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，
∴∠DEA＝∠DFA，
∴DF＝DE＝a，
又∵∠DAE＝90°，
∴AF＝AE＝a＝AC，
∴∠ECF＝90°，
∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，
∴＝，
∴CE＝a，
∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，
∴CF＝a，
∴CD＝DF﹣CF＝a，
∴BD＝BC+DC＝a，
∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用参数解决问题是本题的关键．
4．D
【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可．
【详解】在中，，，，
以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．C
【分析】根据角的余弦可进行求解．
【详解】解：在中，，则；
故选C．
【点睛】本题主要考查角的余弦，熟练掌握求一个角的余弦是解题的关键．
6．A
【分析】如图，由勾股定理得，求出的值，根据计算可得结果．
【详解】解：如图
∵，，
∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，余弦．解题的关键在于正确的计算．
7．A
【分析】利用直角三角形中某锐角的正弦值为其对边与斜边的比值可以，，再代值计算即可．
【详解】∵，，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟悉掌握锐角三角函数的计算公式是解题的关键．
8．C
【分析】根据勾股定理求出AB，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，
根据勾股定理AB=，
∴cosA=，选项A不正确；
sinA＝，选项B不正确；
tanA＝，选项C正确；
cosB＝，选项D不正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
9．C
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【详解】∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，即，
解得，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝=4（m），
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意可以求得AC的长，再根据勾股定理即可求得AB的长，本题得以解决．
【详解】解：∵BC=9米，迎水坡AB的坡比为1：，
∴，
解得，AC=9，
∴AB==18，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．
11．C
【分析】利用垂直距离与水平宽度的比为1：2，再利用勾股定理计算即可．
【详解】∵坡度为，即
设
∴，
∴,
∴
故选C．
【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
12．A
【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可．
【详解】
tanα=0.5==，
∵AB=4m，
∴AC=0.75×4=3m，
由勾股定理知：面相邻两株数间的坡面距离BC===5m.
故选A.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，需要和其他知识点连在一起共同把握.
13．D
【详解】试题解析：原式
故选D.
14．B
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
15．A
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A=30°，将三角函数值代入计算即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
则sinA+cosB＝+＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16．D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
17．D
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据tanB＝ 即可解答．
【详解】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝．
∴tanB＝．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理及锐角三角函数的定义，即在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
18．C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
19．D
【详解】画出图形，利用等腰三角形的性质和三角函数即可得答案．
解：如图：正方形中，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质，等腰三角形的性质和三角函数等知识．解题的关键理解和掌握正方形的性质．
20．D
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
21．A
【分析】利用60°的三角函数值解决问题．
【详解】解：∵∠C＝90°，sinA，
∴∠A＝60°，
∴cosA＝cos60°．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
22．B
【分析】过点A作，从而构造直角三角形，应用三角函数即可得出AB．
【详解】如图，过点A作于C，
在中，，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了锐角三角函数，解题的关键是构造直角三角形得出边角关系．
23．＜
【分析】根据特殊角锐角三角函数值计算，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴．
故答案为：＜
【点睛】本题主要考查了求特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
24．50
【分析】根据正切三角函数计算求值即可．
【详解】解：由题意作图如下，
Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，
∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了正切三角函数，掌握正切的概念是解题关键．
25．（1）；（2）；（3）．
【分析】直接将特殊角的三角函数值代入，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握 的三角函数值是解题的关键．
26．，，
【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可；
【详解】中，，，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．
27．A
【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图，
在Rt△ABC中，，
则 ．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理解三角形、锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
28．A
【分析】直接利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，
∴设BC=x，则AC=2x，
则
故选A
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握直角三角形的边角之间的关系是解题关键．
29．D
【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC．
【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24，
，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键．
30．C
【分析】连接，由已知得到，再得出与的关系，由三角函数关系求得CF、BF的值，通过，用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：连接，
∵是斜边上的中线，
∵（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴，
又∵，
在△ABC中，，
在△AEC中，，
∴，
，
，设，
则，即，
解得（负值舍掉），
，
∴是的垂直平分线， ∴，
，
，
故选：C．
【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．
31．A
【分析】先在Rt△ABC中，根据余弦求出AC，然后在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD，最后根据三角形中位线定理即可求出EF的值．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵、分别为、的中点，
∴是三角形的中位线，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确求出AC，CD的值是解题的关键．
32．C
【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、三角函数、分式方程的性质，得，再根据等腰三角形和三角函数的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∴
∴
∵CD＝4
∴
∴
经检验，是的解
∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
经检验，是的解
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
33．##
【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
34．##
【详解】解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．
35．(1)
(2)的余弦为
【分析】（1）利用正切函数求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中点F，利用梯形中位线定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，
∴=，即=，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=；
（2）解：取CD的中点F，连接EF，
∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
即的余弦为．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
36．(1)1.2或3
(2)存在，或4
【分析】（1）当APQ为直角三角形时，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，AP=AQ，求出t=1.2秒；当∠AQP=90°时，∠APQ=30°，AQ=AP，求得t=3秒；
（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可写出（6-）●=，求得t=3-；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF=，即可写出（6-）●=，求得t=4．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，
当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，
当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，
所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）存在
①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，
∴sinA=，即sin60°==，
∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，
由（6-）●=，得（不合题意，舍去），；
②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，
在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，
∴sinB=，即sin60°==，
∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，
由（6-）●=得
因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．
37．C
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，所以CD＝2．在Rt△CED中求出sin∠DCE的值．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝5．
根据旋转性质可得AE＝5，AD＝3，DE＝4，
∴CD＝5﹣3＝2，
∴CE2，
在Rt△CED中，sin∠ECD，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，属于基础题，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
38．D
【分析】根据网格的特点找到格点，使得，则，构造，即可求解．
【详解】如图，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，
．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键．
39．A
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可．
【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，
∴大正方形的面积为5，
∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，
设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，
===2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
40．D
【分析】连接CF，延长ED交CF于点T，过点G作GH⊥DE于H，过点D作DP⊥AC于P,设AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，首先证明tan∠CET＝，再证明DT＝TC，推出∠GDH＝∠CDT＝45°，构建方程求出a，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接CF，延长ED交CF于点T，过点G作GH⊥DE于H，过点D作DP⊥AC于P,
∵EC＝5AE，
∴可以假设AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，
∵∠DPC＝∠A＝90°，
∴DP//AB，
∵BD＝CD，
∴AP＝PC＝3a，PE＝2a，
∵tan∠ACB＝，
∴PD＝a，
∴tan∠CET＝，
∵EC＝5a，
∴CT＝a，ET＝2a，
∵DE＝a，
∴DT＝CT＝a，
∴∠TDC＝∠TCD＝45°，
由翻折的性质可知DC＝DF，∠DEP＝∠DEG，
∴tan∠DEG＝tan∠DEP＝，
∵EG＝，
∴GH＝，EH＝，
∵∠GDH＝∠CDT＝45°，
∴GH＝DH＝，
∴DE＝a＝，
∴a＝，
∵DF＝CD＝a＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查正切、勾股定理、翻折的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
41．D
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，设AB=AC=x，则AD=x-2，根据等腰Rt△ABC中，，得到∠C=45°，根据BD为△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，运用∠C的正弦即可求得．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，
设AB=AC=x，则AD=x-2，
∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，
∴∠C=（180°-∠A）=45°，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE=AD=x-2，
∵，
∴，
∴，即．
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．
42．D
【分析】根据平行线的性质及方向角的概念、特殊角的三角函数值逐项判定即可．
【详解】解：如图所示：
由题意可知，∠BAD=60°，∠CBP=50°，
∴∠BCE=∠CBP=50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠ABP=60°，
∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；
∵∠ACB=90°-∠BCE=40°，故C错误．
∵∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴sin∠BAC=，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形-方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
43．或或
【分析】解答时，分BE=PE，PB=PE和BP=BE三种情况求解即可．
【详解】解：当BE=PE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，
∴PE=BE=BPsin45°=，EQ=CQ=ECsin45°=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当PB=PE时，
根据前面计算，得到BH=PH=3，
∴BH=HE=3，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，
∴CQ=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当BP=BE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，
∴PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=，
综上所述AQ的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
44．16
【分析】连接EF交CD于O，先证明四边形CFDE为菱形，从而求出CO的长度，然后根据余弦定义求出CE即可得出答案．
【详解】解：连接EF交CD于O，如图：
∵DEAC，DFBC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DEAC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四边形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，
在Rt△COE中，
CE＝＝＝4，
∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，余弦的定义等知识，解题的关键是判断出四边形CEDF为菱形．
45．(1)①见解析；②2
(2)或
【分析】（1）①由题可知，即可证明，之后证明即可；
②设，则，，根据可得，故在中，可求；
（2）设，即可证得，根据，可得
根据与，可得到，之后分为锐角与钝角两种情况讨论即可．
【详解】（1）（1）①证明：，，
，
，，且，
，
，
，
，
；
②由题意知：设，则，，
，
，
，，
，
在中，
；
（2）解： 设，
，
，，
，，
，
且，
在Rt△BDQ中根据勾股定理可得，，
，
1°当为锐角时，
，
，解得；
∴，
，
；
2°当为钝角时，
，
，解得，
∴，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的相似的判定与性质、解直角三角形，解一元二次方程、三角形的面积，根据题目条件分类讨论是解题的关键．
46．(1)
(2)①y=-x+(5＜x≤)；②△CDE的面积是或．
【分析】（1）设AB=3k，则AC=4k，由勾股定理求出BC=5k，由四边形ABCD的周长求出k=1，求出AM的长，则可得出答案；
（2）①证明△CDE∽△DAF，由相似三角形的性质以及题意得出AD=BC=5，DE=x-5，DC=AB=3，AF=3-y，由比例线段可得出答案；
②分两种情况：当点F在边AB上，当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，
∵AC⊥CD，
∴∠DCA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CAB=∠DCA=90°，
∵tan∠ACB=，即，
设AB=3k，则AC=4k，AM=2k，
∴FM==k，
∴cos∠AFD==；
故答案为：；
（2）①解：∵CD∥AB，
∴∠EDC=∠FAD，∠CDF=∠AFD，
∵∠CED=∠CDF，
∴∠CED=∠AFD，
∴△CDE∽△DAF，
∴，
由题意，得AD=BC=5，DE=x-5，DC=AB=3，AF=3-y，
∴，
∴y=-x+，
自变量x取值范围：5＜x≤；
②解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，
∴，
①当点F在边AB上，
∵BF：FA=1：2，AB=3，
∴AF=2，
由题意，得S△DAF=AF AC，
∵AC=4，
∴S△DAF=AF AC=×2×4=4，
∴，
∴S△CDE=；
②当点F在AB的延长线上，
∵BF：FA=1：2，AB=3，
∴AF=6，
由题意，得S△DAF=AF AC，
∴S△DAF=AF AC=12，
∴，
∴S△CDE=．
综上所述，△CDE的面积是或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
答案第1页，共2页
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