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第02讲 解直角三角形
课程标准
1.知道解直角三角形的概念。2.会用勾股定理和三角函数解直角三角形，并能解决简单的实际问题。 3.会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题。
知识点01 解直角三角形
1．解直角三角形的概念
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2．直角三角形中边角之间的关系
如图所示，在中，，为锐角，，他们所对的边分别为a，b，c，其中除直角
外，其余的5个元素之间有以下关系：
元素之间的关系 关系式
三边之间的关系 （勾股定理）
锐角之间的关系
边角之间的关系
除直角外再知道其中的两个元素（至少有一个元素是边），利用这些关系就可以求出其余的三个未知元素。
知识点02 解直角三角形的常见类型及方法
图示 已知条件 解法步骤
两边 （1）两直角边（a，b） 由，求;;
（2）一直角边和斜边（如（a，c）） 由，求;;
一边 一 锐 角 （3）一直角边和一锐角 锐角，邻边（如，b） ；；
锐角，对边（如，a） ；；
（4）斜边，锐角（如c，） ；；
注意：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算。
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边。
知识点03 求非直角三角形中的边和角
将非直角三角形问题转化为直角三角形问题，具体可以归纳为以下三种情况：
（1）作高，把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形；
（2）作高，把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形；
（3）连接对角线，把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形。
题组A 基础过关练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°， ， 则（ ）
A． B． C． D．
2．在 Rt△ABC 中， C 90 ， AB 5 ， AC 4 ．下列四个选项，正确的是（ ）
A．tan B B．cot B C．sin B D．cos B
3．在中，，，，则的（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．在△ABC中，AB=4，BC=5，sinB =，则△ABC的面积等于（　　）
A．15 B． C．6 D．
5．如图，一把梯子AB长4米，靠在垂直水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为，则梯子底端A到墙面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某校数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，该小组同学在河岸一边上选定一点A，再在河岸另一边选定点P和点B，使（河的两岸平行）.若利用测量工具测得为m米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．在ABC中，，，，那么的长为 ．
8．在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ．
9．在中，，求．
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
题组B 能力提升练
11．已知中，，，D是AC上一点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，，，则菱形的周长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
14．如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
16．在平面直角坐标系中，一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若，则点P的坐标可能是（　　）
A．（3，5） B．（5，3）
C．（3，4） D．（4，3）
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，则AB的长为 ．
18．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
19．一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米、斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．
20．如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
题组C 培优拔尖练
21．如图，等腰三角形ABC中，，，D为AC上一点，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B．3 C． D．4
23．在Rt△ABC中，，，若，则AB的长为（ ）．
A． B． C． D．
24．如图，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高为6m，为，改造后扶梯的坡比是，则改造后扶梯相比改造前增加的长度是（ 　 ）
A．6m B．m C．m D．m
25．如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．如图，在中，，．矩形的顶点、、分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
27．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝ ．
28．如图，在中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，，连接，，则 ．
29．如图，小丽在“五一”假期和父母一起去了神仙湖景区游玩，当小丽走到A处时发现在她东南方向的湖心岛上（C处）有一对漂亮的白鹭，为更好的观察和拍照，小丽沿着正东方向前进了200米到达B处，此时湖心岛位于小丽南偏西30°的方向上，问B处与湖心岛的距离是多少米？（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
30．如图，已知四边形中，，的延长线与的延长线交于点E．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．（计算过程和结果均保留根号）
考法01 解直角三角形
31．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，，，F是AD边的中点，cm，则BE的长为（ ）
A．6cm B．cm C．cm D．8cm
32．如图，在中，，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（ ）
A． B． C．3 D．2
33．如图，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且点C不在射线AD上．过点D作，垂足为E．则的值为（ ）．
A． B． C． D．
34．如图，在△ABC中，，，，点D是CB延长线上的一点，且，则tan∠DAC的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
考法02 解非直角三角形
35．在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里．
A． B． C． D．
36．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　）
A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）
C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）
37．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　）
A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米
38．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福土最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头项正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（　　）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）
A．301.3米 B．322.5米 C．350.2米 D．418.5米
考法03 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
39．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为37°，建筑物底端的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到米，参考数据：，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
40．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．3
41．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
42．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B．＋1 C． D．＋1
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，
∵
设BC=3x，则AC=4x，
根据勾股定理可得：
，
故选：B
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
2．C
【分析】由勾股定理求得BC的长，进而可求得相应的三角函数值，进而判断各个选项的正误得到答案．
【详解】解：如图：
∵C 90 ， AB 5 ， AC 4
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．D
【分析】由，，可利用锐角三角函数求出AC边的长，再利用勾股定理，即可求出BC的长．
【详解】解：如图，
在中，，
，
，
在中，．
故选D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数解直角三角形以及勾股定理．
4．D
【分析】作BC边上的高AD，由sinB =，即可求出AD的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，作BC边上的高AD，
∵sinB =，即，
∴，
∴AD=3，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形．正确画出图形，根据正弦值求出底边BC上的高是解题关键．
5．A
【分析】根据三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴cosa=，∴AC=4cosa米，
故选： A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握余弦三角函数的概念是解题关键．
6．C
【分析】在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝m米，∠PBA＝α，
∴PA＝PB tanα＝mtanα（米），
∴小河宽度PA为mtanα米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．6
【分析】根据解三角形可直接进行求解．
【详解】解：∵在ABC中，，，，
∴；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
8．
【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，即，
解得，
则的面积是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键．
9．
【分析】根据∠A的正切值和BC的长度求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法．
10．（1）12；（2）
【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；
（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．
【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．
11．B
【分析】根据求得BC=2DC，再在Rt△DCB中，运用勾股定理求得，即可作答．
【详解】∵∠C=90°，∠A=∠CBD，
∴，
∵，
∴，
∴BC=2DC，
∴在Rt△DCB中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角的三角函数、勾股定理等知识，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
12．D
【分析】先解直角求出AD，再在直角中应用勾股定理即可求出AB．
【详解】解：∵，
∴，
∵直角中，，
∴，
∴直角中，由勾股定理可得，．
故选D．
【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．
13．A
【分析】如图所示，连接BD，利用菱形的性质得到AC⊥BD，然后解直角△OAB求出AB的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，
∴AB=BC=CD=AD，O为BD中点，且AC⊥BD，
∵∠BAC=30°，
∴，
∴菱形的周长为AB+BC+CD+AD=8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟知菱形的性质是解题的关键．
14．B
【分析】根据矩形的性质求出AB的长和∠DAB的度数，然后利用tan∠ADB=即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD=1，
在Rt△ABD中，
tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及锐角三角函数，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
15．C
【分析】根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出．
【详解】是菱形，E为AD的中点，
，．
是直角三角形，．
，，
，．
，即，
，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．
16．D
【分析】过点P作PB⊥x轴于点B，构建直角△POB，利用余弦函数的定义可得点P的坐标．
【详解】解：过点P作PB⊥x轴于点B，
∵cosα＝，
∴可假设OB＝4，则OP＝5，
∴PB＝，
∴点P的坐标可能是（4，3）．
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形性质、锐角三角函数的概念．在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
17．6
【分析】根据已知可得∠A＝30°，从而得∠ABC＝60°，然后利用角平分线的性质求出∠DBC＝30°，进而在Rt△BDC中，求出BC，最后求出AB即可．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanA，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC＝30°，
在Rt△BDC中，CD，
∴tan30°，
∴BC3，
∴AB＝2BC＝6，
∴AB的长为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．
【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
19．9.0米
【分析】延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，根据直角三角形的性质求出CE，根据余弦的定义求出EF，根据题意求出DE，进而求出BD，计算即可．
【详解】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，
在Rt△CEF中，∠CEF=90°，∠CFE=30°，CF=5，
∴CE=2.5（米），EF=5cos30°=（米），
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，
∴，
∴DE=2.5CE=（米），
∴BD=BF+EF+DE=12++6.25=18.25+（米），
，
，
∴AB=BD÷2.5=（18.25+）≈9.0（米），
答：这棵树的高度约为9.0米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线、得到AB的影长．
20．(1)25
(2)
【分析】（1）根据三角函数求出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长即可；
（2）先运用勾股定理求出BC，再由于D为AB上的中点可得AD=BD=CD=25，设DE=x、EB=y，利用勾股定理列方程组即可求出x的值，最后运用正弦的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，
∴cosA=，解得：AB=50.
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD==25．
（2）解：在Rt△ABC中，.
又∵AD=BD=CD=25，设DE=x，EB=y，则
在Rt△BDE中，①，
在Rt△BCE中，②，
联立①②，解得x=7
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，根据勾股定理列方程求解是解答本题的关键
21．A
【分析】如图：过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形ABC，得出∠A=45°，从而得到 DEA为等腰直角三角形，求出AE=ADsin45°=2 ，在求出∠DBE=30°，所以在Rt DBE中得到BD=4，在Rt DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
【详解】如图：过点D作DE⊥AB于点E，
∵等腰三角形ABC，，，
∴∠A=45°，
因为DE⊥AB，
∴∠DEA=90°
∴∠EDA=∠DAE=45°，
∴ DEA为等腰直角三角形，
在Rt ABC中，∵AD=2
∴AE=ADsin45°=2
∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=45°-15°=30°
∴在Rt DBE中BD=2DE=2×2=4，
在Rt DBC中，设BC=x，则CD=x-2 由勾股定理可得，
，
∴ ，
解得：（舍去） ，
所以sin∠BDC= ，
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数．解题的关键是正确作出辅助线，构造好直角三角形，再解直角三角形．
22．B
【分析】当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，
∵AB=AC，
∴BD=DC=BC=1，
∵AE=BC，
∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，
∴AD=2，则CE=AD=2，
当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，
当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．
∵BC=2，CE=2，
由勾股定理得BE=4，
cos∠EBC=，即，
∴BF=8，
∴CF=BF-BC=6,
∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，
∴MN=CF=3，
∴点M的运动路径长为3，
故选：B．
【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
23．A
【分析】根据题意，利用三角函数中涉及的边角关系得出等式，求解即可．
【详解】解：如图所示，在Rt△ABC中，，，
若，则根据
∴，
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数求线段长，根据题意作出直角三角形，结合已知角度、已知边长和所求边长，找准三角函数关系是解决问题的关键．
24．D
【分析】根据Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，AB=6，得到，根据，BD=2AB=12，得到，推出．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴，
∵AB=6，
∴，
∵,
∴BD=2AB=12，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义及计算方法．
25．D
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确．
【详解】解：∵旋转得到，
∴，
∵为正方形，，，在同一直线上，
∴，
∴，故①正确；
∵旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
设正方形边长为a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正确；
过点E作交FD于点M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
26．C
【分析】过点作，垂足为，根据已知可得，再根据矩形的性质可证一线三等角模型相似三角形，从而可得，然后设，，，，利用勾股定理可得，，再在中，利用锐角三角函数的定义表示出，从而根据，可得，最后根据矩形的面积公式进行计算可得矩形的面积，从而利用二次函数的最值进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
矩形的面积
，
当时，矩形的面积最大值为：，
故选：C ．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，等腰直角三角形，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．##
【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠BAC=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，∠B的正切即可得出答案．
【详解】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，如图所示：
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC＝180°-120°=60°，
∴cos60°＝，sin 60°＝，
∵AB＝3，AC＝2，
∴AD＝AC·cos 60°＝2×＝1，
CD＝AC·sin 60°＝2×＝，
，
在Rt△BCD中，tanB＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三角形中，如果不是直角三角形就要通过添加辅助线来完成．
28．
【分析】在此题中，没有直角三角形，因此我们要想办法将6和1转移到同一个直角三角形中求解．在△AEF中，当∠EFA=90°时，可证DE=EF，要求DE，只需求出EF即可．
【详解】
以A为圆心，AB长为半径画弧，交BD与点F，连接EF
∠BAE=∠B+∠ACB，∠ACB=120°
∠BAE=∠B+120°
∠D+∠B+120°=210°，即∠D+∠B=90°
AB=AF
∠D+∠AFB=90°
令∠EFA=90°，
则∠AFB+∠AFD=90°
∠D=∠AFD
DE=EF
在Rt△EFA中，由勾股定理可得EF===
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．此题中，没有直角三角形，构建直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键．
29．146.4米
【分析】分别过点A，B作AB的垂线AD、BE，过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据∠DAC=45°，∠EBC=30°，得到∠CAB=45°，∠CBA=60°，设BC=x米，根据∠CBA=60°，得到∠BCF=90°－∠CBA=90°－60°=30°，推出，根据∠CAB=45°，得到AF=CF=，根据AB=200米，AF+BF=AB，得到，得到x=≈200（1.732－1）=146.4（米）．
【详解】解：分别过点A，B作AB的垂线AD、BE，过点C作CF⊥AB，垂足为F
依题意可知∠DAC=45°，∠EBC=30°，
∴∠CAB=45°，∠CBA=60°，
设BC=x米，在Rt△BCF中，∵∠CBA=60°，
∴∠BCF=90°－∠CBA=90°－60°=30°，
∴，
在Rt△ACF中，∵∠CAB=45°
∴AF=CF=，
∵AB=200米，AF+BF=AB，
∴，
∴x=≈200（1.732－1）=146.4（米）.
答：B处与湖心岛的距离约是146.4米．
【点睛】本题主要考查了方位角，解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握方位角的定义和表示方法，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的三边关系，解一元一次方程．
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；
（2）根据三角函数的性质求出AE，DE即可求解．
【详解】（1）（1）∵，，AB=6，，
∴，，
∵∠CDE=90°，CD=4，，，
∴CE=8，
∴BC=BE﹣CE=；
（2）∵，，
∴，
∵
∴，
∴
解得，
．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．
31．A
【分析】EF是直角三角形斜边中线可得AD，解Rt△AED可得AE，再解Rt△ABE即可求得BE．
【详解】解：∵
F是AD的中点，（cm），
∴（cm），
∵，
∴（cm），
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
在Rt△ABE中，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，掌握余弦三角函数的定义是解题关键．
32．B
【分析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，求得AD，进而可求出AE．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴∠A=30°，
∴AE=
∵AB=6，
∴AD=AB=3，
∴AE=
故选：B．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
33．C
【分析】由题意可作出图形，然后易得，，则有，进而根据勾股定理可得，最后问题可求解．
【详解】解：由题意可得如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质及三角函数是解题的关键．
34．A
【分析】通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值．
【详解】解：在中，，，
，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键．
35．B
【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．
【详解】解：作于点，
甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，
，，
，
乙货船从港沿西北方向出发，
，
，
，
答：港与港相距海里，
故选：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口.
36．B
【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，表示出A的坐标即可．
【详解】
解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，
∴AD=csinα，OD=ccosα，
则A的坐标为（ccosα，csinα），
故选B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
37．D
【分析】在Rt△BCF中，根据BC的坡度i＝1：，求得∠CBF＝30°，根据三角函数的定义得到CF＝1300，BF＝1300，根据矩形的性质得到DE＝BF＝1300，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：，
∴∠CBF＝30°，
∵BC＝2600，
∴CF＝1300，BF＝1300，
∵CD⊥AD于点D，BF⊥CD，BE⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DE＝BF＝1300，
∵AE＝1000米，
∴AD＝AE+DE＝1000+1300，
∵∠CAD＝37°，
∴CD＝AD tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75，
∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米，
答：BE的高度为1136.8米．
故选：D．
【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义．
38．B
【分析】根据已知角的三角函数构造直角三角形即可求解．
【详解】如图所示：
延长AC和FE交于点G，过点B作BM⊥FE于点M，作DH⊥AG于点H，
得矩形ABMG、DHEG，
设DH＝x，则HC＝2x，
BM＝AG＝160+120+2x＝280+2x．
EG＝DH＝x，
∵∠FAG＝45°，∠FGA＝90°，∴∠AFG＝45°，
∴FG＝AG，
EF＝FG﹣EG＝AG﹣EG＝280+2x﹣x＝280+x，
∴FM＝FG﹣MG＝280+2x﹣146＝134+2x，
在Rt△FBM中，tan31°＝，
即＝0.6，
解得x＝42.5，则EF＝280+x＝322.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解决本题的关键是添加适当的辅助线构造直角三角形．
39．C
【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．
【详解】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，
∵沿着坡度为的斜坡AB步行26米到达点B处，
∴，
∴AN=2.4BN，
∴BN2+（2.4BN）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM==11.6，
∵∠DCM=37°，
∴DM=CM·tan37°=8.7，
∴DE=ME+DM=11.6+8.7≈26.7（米），
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．
40．C
【分析】过点N作CD的垂线交于点E，根据对折和平分线可以得到，再利用三角函数可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的长．
【详解】解：如图，过点N作CD的垂线交于点E
由折叠可知：
，，
∵AN平分
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴在中，由勾股定理可得：
故选：C
【点睛】本题考查了折叠的性质、解直角三角形以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
41．C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
42．C
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋AD＝1＋．
即AD＝1．
∴S△ABC＝×BC×AD
＝（1＋）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
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