资源简介

第03讲 三角函数的应用及利用三角函数测高
课程标准
1.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，发展数学应用意识及解决实际问题的能力。2.把直角三角形的边角关系与实际问题联系起来，在解决实际问题时，养成“先画图，再求解”的习惯。 3.能够设计活动方案、自制测倾器和运用侧倾器进行实地测量以及撰写活动报告。 4.能够对所得的数据进行分析，能够对侧倾器进行调整及对测量结果进行矫正，从而得出符号实际的结果。 5.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。
知识点01 三角函数的应用
1．直角三角形知识解决实际问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型。
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形。
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解。
知识点02 有关概念
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示。
坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式。
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图。
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°。
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。
注意：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图。
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解。
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解。
知识点03 测量倾斜角
测量倾斜角可以用侧倾器。简单的侧倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如下图所示）。
1．简易测倾器的制作方法
简单的测倾器可以自己制作。用木板做一个半圆刻度盘，用螺栓、螺母把它的直径的中心和一根长木杆连在一起,并在半圆圆心挂一铅垂线，沿直径的两端做一水平顶线。当木杆与地面垂直时，通过顶线的视线是水平的，此时的铅垂线位置作为零刻度线，即可制作出一个简易的测倾器，如图①所示。
2．使用测倾器测量倾斜角的步骤
①如图①所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。
②如图②所示，转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数。
③根据同角的余角相等可知，所测倾斜角(即仰角AOM)等于铅垂线所指的度数,读出铅垂线所指的度数，即为AOM的度数。
知识点04 测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底面之间的距离。
测量步骤 ①在测点安置侧倾器；②测量物体顶端相对于测点的仰角； ③测量测点到物体的水平距离； ④量出侧倾器的高度。
示意图 物体的高度为MN，测点为A，过点C作于点E
测量数据 ①测得M的仰角；②测点A到物体的水平距离； ③侧倾器的高度。
计算关系 由示意图知，，。在中，，则， ，即物体的高度为。
知识点05 测量底部不可以到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。
测量步骤（如下图所示，测量物体MN的高度）：
（1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角；
（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得) ，测得此时M的仰角；
（3）量出测倾器的高度AC= BD =a，以及测点A，B之间的距离 AB = b。
结果的计算过程:
由上图知E，D，C三点在同一直线上，且，则四边形BDEC和四边形ACEN都是矩形，。
在中，，则。
在中，，则。
由，得，
即物体MN的高度为。
题组A 基础过关练
1．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1，是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成，如图2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是（ ）
A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm
3．如图，在坡角为的山坡上A、B、C处栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树的坡面上的距离BC为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（ ）
A． B． C． D．
5．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（　　）
A． B． C． D．
6．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（　　）
A．2km B．3km C．km D．3km
7．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ ，堤坝高BC＝50m，则AB＝ m．
8．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为 米．
9．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）
10．如图，甲 乙两楼相距，甲楼高，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为，乙楼有多高？（结果精确到）
题组B 能力提升练
11．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（ ）
A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.8
12．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米
13．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
14．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=（　　）米．
A．250 B．500 C．250 D．500
16．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
17．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为 .
18．如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为 ．
19．某学校九年级的学生去参加社会实践，在风景区看到一棵古松，不知这棵古松有多高，下面是他们的一段对话：
甲：我站在此处看树顶仰角为45°.
乙：我站在此处看树顶仰角为30°.
甲：我们的身高都是1.5m．
乙：我们俩相距20m．
请你根据两位同学的对话，计算这棵古松DE的高度．（结果保留根号）．
20．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）
（1）求点到点的水平距离的长；
（2）求楼的高度．
题组C 培优拔尖练
21．小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD．他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，坡度为i＝1：，则标语牌CD的长为（ ）m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.8
22．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）
A．200米 B．200米 C．220米 D．100米
23．如图，在中，BC=6，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当的面积为48时，AD的长为（ ）．
A． B． C． D．
24．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（ ）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
25．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为( )

A．120m B．60m C．60m D．120m
26．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是，向前走到达点，测得杆顶端点和杆底端点的仰角分别是和．则该电线杆的高度是 （结果可保留根号）．
28．如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔项部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 m（，，结果保留一位小数）．
29．2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离.

30．如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．
(1)求点E到水平地面的距离；
(2)求楼房AB的高．
考法01 解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用
31．如图，在△AOB中，∠0＝90°．AP平分∠OAB．若△AOP～△BOA，OA＝2，则OP的长为（ ）
A． B． C．1 D．
32．如图，在正方形中，点G是上一点，且，连接交对角线于F点，过D点作交的延长线于点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，若AB=，则△ADC的周长等于（ ）
A．1 B． C．2 D．3
34．如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，则四边形PCDQ面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考法02 解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用
35．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点的距离是4米，折断部分与地面成的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
36．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，则体温检测有效识别区域段的长为（ ）
A．米 B．米 C．10米 D．米
37．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏东35° D．北偏东40°
38．如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼之间的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
考法03 利用三角函数测高
39．如图，已知点、点是同一幢楼上的两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．65°
40．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
41．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 ．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（）
A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
2．D
【分析】连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，根据锐角三角函数求出OF的长，进而得到EF的长．
【详解】如图，连接CD，过点O作OF⊥CD交于点F，延长FO交AB于点E，
∵,∠COD=60°，
∴△COD、△AOB为等边三角形，
∴∠COF=30°，
∴，
∴EF=2OF=60cm，
即点A到地面的距离为60cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键．
3．B
【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离BC即可．
【详解】解：如图，∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，
∵CD=5米，∠DCB=α．
∴BC==．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，正确掌握三角函数关系是解题关键．
4．A
【分析】根据坡度的定义结合特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】根据题意可知，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查坡度的定义和特殊角的三角函数值．理解坡度的定义是解题关键．
5．A
【详解】试题分析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距50海里，∴PA＝50，
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，
∴∠APB＝90°　BP＝60×＝40， ∴tan∠BAP=，故选A．
6．B
【详解】试题分析：过点C作CE⊥BD，则∠DCE=30°，根据CD=6km可得：CE=3km，故AB=CE=3km，故选B．
7．100
【详解】解：根据坡度可得：BC：AB=1：2，
∵BC=50m，
∴AB=100m．
故答案为：100．
【点睛】考点：三角函数的应用
8．120
【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
【详解】解：由题意可得：tan30°＝==，
解得：BD＝(米)，
tan60°＝==，
解得：DC＝(米)，
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝(米)
故答案为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
9．20米
【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．
【详解】延长EF交AB于点G，如图，
设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，
在Rt△BGE 中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= ，
在Rt△BAC 中CA=AB÷tan∠ACB=，
则CD=EG﹣AC= ，
解得：．
答：大树AB的高约为20米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．
10．
【分析】先根据题意作出示意图，然后在RT△ACE中，可得出CE的长度，继而可得出乙楼的高度．
【详解】解：由题意得：
∠CAE＝30°，AE＝BD＝30m，
在Rt△ACE中，CE＝AE tan∠CAE＝10m，
故可得乙楼的高度＝CE＋ED＝CE＋AB＝（40＋10）m≈．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出CE的长度，难度一般．
11．C
【分析】根据三角函数求出BC的长度，BC-AC即可得出 m的值．
【详解】CD=1米，CDB=a=60°，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练应用三角函数解直角三角形是解题的关键．
12．A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，根据解三角函数的定义，列出方程是解题关键．
13．A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
14．B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．
15．C
【详解】试题分析：设PC=x米，根据Rt△PBC的性质可得：BC=x米，根据Rt△PAC的性质可得：AC=x米，AB=AC-BC=x-x=500，解得：x=250米，故选C．
16．D
【详解】试题分析：过点A作AD⊥BC于D，由题意得AB=300，∠ABD＝30°，∴AD =150（km），
温州市点A受到台风严重影响设风台中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点
则在Rt△ADE中，AE＝200，AD＝150 ∴DE=50km， ∴EF=2DE=100km，
则t=100÷10=10h，故选D．
17．25
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【详解】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝502．
解得x＝25．
即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．
故答案为：25.
【点睛】考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．
18．
【分析】先在和中，求出、 ，再求长度之比即可．
【详解】解：在中，
∵，
即，
∴.
在中，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正弦函数的定义及其应用．
19．（m）
【分析】先在Rt△DBC中，∠DBC=45°，可得，再在Rt△ADC中，∠DAC=30°，可得，即有，再根据，即可求解．
【详解】根据题意有：∠DCA=90°，∠DAC=30°，∠DBC=45°，AB=20m，CE=1.5m，
∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，
∴，
∵在Rt△ADC中，∠DAC=30°，
∴，
∴，
∵AB=20，
∴，
∴，
∵CE=1.5m，
∴（m），
即古松的高度DE为m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义是解答本题的基础．
20．（1）米；（2）楼的高度为米．
【分析】（1）由的坡度，可得 设 则 由勾股定理可得 再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过作于 先证明四边形是矩形，可得 设 证明 可得 由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
【详解】解：（1） 的坡度，
设 则
（2）如图，过作于
四边形是矩形，
设
由
解得：
经检验：符合题意，
所以：建筑物的高为：米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．
21．D
【分析】根据斜坡AB的坡度为i＝1：，可得AE：BE＝1：，AE＝5，BE＝5，再根据锐角三角函数即可求出CD的长．
【详解】解：如图，
根据题意可知：
斜坡AB的坡度为i＝1：，
即AE：BE＝1：，
∵AB＝10，
∴AE＝5，BE＝5，
∴AC＝BE＝5，
在Rt△ACD中，∠DAC＝42°，
∴CD＝AC tan42°≈5×0.90≈7.8（m）．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
22．D
【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．
【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，
∴BD＝CD＝100米，
∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，
∴AC＝2×100＝200米，
∴AD＝＝100米，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，
故选D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．B
【详解】解：在△ABC中，BC=6，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，
当△ABC的面积为48时，，
即×6·AD=48，
∴AD=16，
故选：B．
24．C
【详解】解：过点A作AE⊥CD，则DE=AB=50m，AE=BD=100m，
则CE=CD-DE=，
∴tan∠CAE=，
∴∠CAE=30°，即楼顶望塔顶的仰角为30°，
故选C．
25．B
【分析】根据题意作出图形，即求的长，求得∠BAC＝30°，进而解即可求解．
【详解】如图，

∵底部是边长为120m的正方形，
∴BC＝×120＝60m，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝＝120m，
∴AC＝＝m．
答：这个金字塔原来有米高．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
26．D
【分析】要使△ABC的面积S=BC h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=AD BC= 2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
27．
【分析】延长交直线于点，设米，在和中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在中，利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
【详解】延长交直线于点，设米，
在中，
∵，
∴米，
在中，
∵，米，
∴米．
∵米，
∴，
∴米，
∴米．
在中，
∵，，
∴米，
∴米．
【点睛】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是解本题的关键．
28．56.8
【分析】在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠30°=AH=BD，在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠45°=BD，根据DH=CD-CH=BD-BD，可得BD-BD=24，即可求出BD，则问题得解．
【详解】如图，
根据题意可知四边形ABDH是矩形，AB=DH=24m，AH=BD，∠AHC=∠BDC=90°，
在Rt△ACH中，CH=AH×tan∠CAH=AH×tan∠30°=AH=BD，
在Rt△BDC中，CD=BD×tan∠CBD=BD×tan∠45°=BD，
∵DH=CD-CH=BD-BD，
∴BD-BD=24，
∴BD=，
∴CD=（m），
故答案为：56.8．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的含义．
29．
【详解】分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=AD=700，DE=AE=700，则BE=300，所以DF=300，BF=700，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．
详解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，
在Rt△ADE中，AE=AD=×1400=700，
DE=AE=700，
∴BE=AB-AE=1000-700=300，
∴DF=300，BF=700，
在Rt△CDF中，CF=DF=×300=100，
∴BC=700+100=800．
答：选手飞行的水平距离BC为800m．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
30．(1)8米
(2)48米
【分析】（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，根据CD的坡度为i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：EF∶CF∶CE＝1∶2∶，可得EF=8米，CF=16米；
（2）过E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH的长，进而可得AB的长．
【详解】（1）解：过点E作EF⊥BC的延长线于F．
在Rt△CEF中，
∵CD的坡度i＝EF∶CF＝1∶2，
∴占（份），
∴EF∶CF∶CE＝1∶2∶，
∵CE＝8米，
∴EF＝8米，CF＝16米
∴点E到水平地面的距离为8米．
（2）作EH⊥AB于点H，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴四边形BFEH为矩形；
∴BH＝EF＝8（米），HE＝BF
∵BC＝24（米），CF＝16（米），
∴HE＝BF＝BC＋CF＝24＋16＝40（米）
在Rt△AHE中，
∵∠HAE＝90°－45°＝45°，
∴AH＝HE＝40（米），
∴AB＝AH＋HB＝48（米）．
∴楼房AB的高为48米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
31．D
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠OAP=∠OBA，从角平分线定义可得∠OAP=∠BAP，再根据∠O＝90°可得∠OAP=∠BAP=∠OBA=30°，最后可求得OP的长．
【详解】解：∵△AOP∽△BOA，
∴∠OAP=∠OBA，
∵AP平分∠OAB，
∴∠OAP=∠BAP，
∴∠OAP=∠BAP=∠OBA，
∵∠O＝90°，
∴∠OAP+∠BAP+∠OBA=90°，
∴∠OAP=∠BAP=∠OBA=30°，
∴在Rt△AOP中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了解直角三角形．
32．D
【分析】过点作的垂线交的延长线于点，根据正方形的性质求得，根据，求得，从而求得，然后根据相似三角形的性质求得， 在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，
四边形是正方形
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
中，．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
33．D
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，然后求出∠B+∠C=90°，根据翻折的性质可得∠C=∠ADC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，证得△ADC是等边三角形，再求解即可．
【详解】解：∵AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠B+∠C=90°，
由翻折的性质得，∠C=∠ADC，
由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠B+2∠B=90°，
解得∠B=30°，则∠C=∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，
∴AC= AB tan30°=1，
∴△ADC的周长等于3，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，特殊角的三角函数值等，熟记各性质是解题的关键．
34．C
【分析】设BP=x（x≥0），过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，利用正弦三角函数求得S△PBC ，S△ADQ，当两三角形的面积和最小时，四边形的面积最大，根据x≥0即可判断；
【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，设BP=x（x≥0），则AQ=3--x=-x，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，
∴，，，
∴S△PBC=，
S△ADQ，
S△ABC=，
S△PBC+S△ADQ=≥（x=0时，有最小值），
∴四边形PCDQ面积≤-=，
故选： C．
【点睛】，本题考查了正弦三角函数，等边三角形的性质，根据面积关系正确作出辅助线是解题关键．
35．B
【分析】通过解直角三角形即可求得．
【详解】解：在中，，
故原来这棵树的高度为：(米)，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．
36．B
【分析】先证明，在中， 米，，由即可求解．
【详解】解：由题意可知，米，，，
∴（米），，
∴，
在中，米，，
∴（米），
∴（米）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及解直角三角形的应用，掌握特殊角的三角函数是解题的关键．
37．C
【分析】连接BC，由锐角三角函数定义得AC=PA= km，则AC=AB，再由等腰三角形的性质得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=km，
∴∠BAC=180°—∠PAC—∠BAE=180°—30°—40°=110°，
∵cos∠PAC==cos30°= ，
∴AC=PA=×10= km，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=×（180°—∠BAC）=×（180°—110°）=35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC的长是解题的关键．
38．A
【分析】在直角三角形ACD中，利用tan30°求得BD；在直角三角形ADB中，利用tan60°求得DB，根据BC=BD+CD计算即可．
【详解】在直角三角形ACD中，∵tan30°=，
∴BD=AD tan30°=30=10；
在直角三角形ADB中，∵tan60°=，
∴CD=AD tan60°=30×=30；
∴BC=BD+CD=30+10=40，
故选A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握解直角三角形的基本要领，熟记特殊角的三角函数值，并灵活进行变形计算是解题的关键．
39．B
【分析】如图，标注字母，由题意得： 证明 再利用 从而可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，由题意得：
故选：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
40．C
【分析】如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案．
【详解】解：如图，由题意得：
在中，
在中，
设 则
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键．
41．C
【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．
【详解】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．
∵在Rt△BCF中，=，
∴设BF=k，则CF=k，BC=2k．
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF=，
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+，
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，
∴AH=tan37°×（40+）≈37.785（米），
∵BH=BF-FH，
∴BH=6-1.5=4.5．
∵AB=AH-HB，
∴AB=37.785-4.5≈33.3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑