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第04讲 直角三角形的边角关系单元复习
课程标准
1．了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数； 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习， 体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。
知识点01 锐角三角函数
1．正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：
(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.
(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.
(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.
注意：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成等.
2．锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
（1）函数值的取值范围
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
（2）锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
（3）30°、45°、60°角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
知识点02 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即
注意：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
知识点03 解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1．解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2．常见应用问题
(1)坡度：； 坡角：
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
特别提醒：
1．解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两边 两直角边(a，b) 由求∠A，∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A，∠B=90°－∠A，
一边 一 角 一直角边和一锐角 锐角、邻边(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，，
锐角、对边(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，，
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
题组A 基础过关练
1．下列三角函数的值是的是（ ）．
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的值为( )
A． B． C． D．
3．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在AC上取一点B，使∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°．要使A、C、E成一条直线，开挖点E与点D的距离是（ ）米．
A．500sin55° B．500cos55° C．500tan55° D．500cos35°
5．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且，，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
6．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是（　　　）．
A． B．
C． D．
7． ．
8．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 m．
9．计算：°+°
10．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，2小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：）
(1)求处距离小岛的距离（精确到海里）；
(2)为安全起见，渔船在处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？
题组B 能力提升练
11．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
13．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线，分别交、于点D、E，连接，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
15．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC＋PE的值最小，则这个最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
16．如图，在长方形ABCD中，，，点E在AB上，点F在BC上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
17．计算： ．
18．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°．已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计），则该公司的广告牌的高度为 米．（结果用根号表示）
19．计算：
(1) ；
(2) ．
20．如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）
题组C 培优拔尖练
21．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A． B．
C． D．
22．如图，点是斜边AB上的动点，点D、E分别在AC、BC边上，连结PD、PE，若，，，，则当取得最小值时AP的长是（ ）
A．18 B． C． D．
23．铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
24．在直角三角形ABC中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
25．如图，在中，，，于，平分，分别交、于、，为的中点，连接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
26．菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是AB，AD上的动点，且BE＝AF，连接EF，交AC于G，则下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③EF的最小值为2；④若BE＝1，则＝．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
27．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 ．
28．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼的高为24米，则办公楼的高度约是 米．（结果精确到0.1，参考数据：，，．）
29．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔120海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．
(1)问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
(2)假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．
①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由．
②如果海轮从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．（参考数据：，）
30．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
考法01 锐角三角函数
31．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
32．已知，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
34．如图，在中，点D在上，，垂足为C，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
考法02 特殊角三角函数值的计算
35．式子的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．
36．（ ）
A．1 B．3 C． D．
37．sin240°+cos240°的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．2
38．的值等于（　　）
A． B． C． D．1
考法03 解直角三角形
39．如图，已知A、C两点的距离为5米，，则树高BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
40．如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A，B，C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（ ）
A． B． C． D．
41．如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的心角为，若斜面坡度为，则斜面的长是（ ）米．
A． B． C． D．
42．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
考法04 三角函数的应用
43．如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
44．如图，△ABC中，CD⊥AB，∠A=45°，∠B=60°，，则BC的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
45．如图，在中，，垂足为D，E为边的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
46．如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】A、＝，符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、＝，不符合题意；
D、＝，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．C
【分析】根据正弦的定义解得即可．
【详解】解：．
故选：C
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边比值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键．
3．D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
4．B
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠E=90°，再根据锐角三角函数值求出答案．
【详解】∵∠ABD=145°，∠D=55°，
∴∠AED=145°-55°=90°．
在Rt△BDE中，BD=500米，得，
即DE=500cos55°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，确定直角三角形是解题的关键．
5．C
【分析】利用特殊角的三角函数值得出∠A及∠C的度数，继而可判断△ABC的形状．
【详解】解：由题意得，，，
故∠A=60°，∠C=60°，
故可得∠B=60°，
故△ABC是等边三角形．
故选：C．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值，难度一般．
6．A
【分析】根据俯角的定义（在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角）来进行判断．
【详解】根据题意，得示意图
，与选项A相符．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用之俯角类问题，正确理解俯角的定义是解题的关键．
7．0
【分析】首先计算零指数幂，然后计算减法，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
8．50
【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝，
∴，
∵BC＝30m，
∴，
解得：AB=50m，
即迎水坡面AB的长度为50m．
故答案为：50
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
9．
【分析】根据二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂计算即可．
【详解】原式=
=，
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，掌握（a≠0）是解题的关键．
10．(1)22.6海里
(2)能安全通过．
【分析】（1）根据方向角的定义得出∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，在两个直角三角形中，由直角三角形的边角关系可求出CM，进而求出BC；
（2）求出点C到BE的距离CN的值，比较得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
由题意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，
∵∠CBD＝45°，
∴CM＝BM，
在Rt△CAM中，
∵tan∠ACM＝，
∴tan70°＝，
解得CM≈16，
在Rt△BCM中，
BC＝CM＝16≈22.6（海里），
答：B处距离小岛C的距离约为22.6海里；
（2）解：在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，
∴CN＝BC sin∠CBN
≈16×0.94
≈21.2（海里），
∵21.2＞20，
∴能安全通过，
答：能安全通过．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
11．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：∵sinα＝，
∴∠α=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12．A
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
13．C
【分析】由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，AE=CE，DE是的高，根据锐角三角函数得，即可得，过点B作，交AC于点F，根据锐角三角函数得，即可得，用的面积减去的面积即可得．
【详解】解：由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，DE是的高，CD=DA=，
∴，
∴，
如图所示，过点B作，交AC于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点并能想到用的面积减去的面积即可得的面积．
14．D
【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．
【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，
∵将沿折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=EF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故选 D
【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．
15．A
【分析】根据菱形的性质得A、C关于BD对称，连接AE交BD于P，则PE＋PC＝PE＋AP＝AE，当AE⊥BC时，AE取得最小值，根据角之间的关系得∠ABC＝60°，利用正弦函数即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连接AE交BD于P，
则PE＋PC＝PE＋AP＝AE，当AE⊥BC时，AE取得最小值，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正弦函数，解题的关键是能够知道当AE⊥BC时，AE取得最小值，．
16．B
【分析】连接EF，求证△DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以，即可求解．
【详解】解：连接EF，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，
在Rt△ADE中，AD=3，AE=2，
∴，
∵AB=5，
∴BE=AB-AE=3，
∵CF=1，
∴BF=BC-CF=2，
在Rt△EBF中，
∴，
∴EF=DE
在Rt△CDF中，
∴，
∵26=13+13，即：，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDF=∠DFE=45°，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出△DEF是等腰直角三角形是解题的关键．
17．
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值计算即可求解．
【详解】解：原式＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的混合运算，牢记特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
18．（29-）
【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长；根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
【详解】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF=，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=8，AF=，
∴BG=AF+AE=21+，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=21+，
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=21，
∴DE=AE=，
∴CD=CG+GE-DE=21++8-=29-，
∴该公司的广告牌的高度为（29-）米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
19．(1)2
(2)
【分析】（1）先根据特殊角锐角三角函数值化简，再合并，即可求解；
（2）先根据特殊角锐角三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂化简，再合并，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数的混合运算，二次根数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．这条江的宽度AB约为732米
【分析】在和中，利用锐角三角函数，用表示出的长，然后计算出AB的长；
【详解】解：如图，∵，
∴，
在中，∵，
∴米，
在中，∵，
∴（米），
∴（米） ，
答：这条江的宽度AB约为732米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含表示出的长．
21．D
【分析】如图，连接EF，先证明 再求解 可得 再求解 可得为等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位线的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接EF，
∵正方形ABCD的面积为3，
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∵分别为的中点，
故选D
【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线的性质，求解是解本题的关键．
22．B
【分析】如图，连接DE，过D作于 延长至 使 连接QE，交AB于P，则 此时最短，证明 可得 由 再求解AG，再证明是的中位线，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接DE，过D作于 延长至 使 连接QE，交AB于P，则 此时最短，
∵
是的中位线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出正确的辅助线是解本题的关键．
23．D
【分析】解Rt△ADB，求出AB=米，再解Rt△BEC，求出CE即可．
【详解】解：由题意，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠ABD=α，
∴sinα=
∴AB=米，
∴BC=（3-）米，
在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∠EBC=α，
∴sinα=，
∴CE=（3-）sinα=（3 sinα-0.5）（米），
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
24．A
【分析】由勾股定理求出AB=2，再由三角函数的意义求出进一步可得出结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴
又，
∴
∴
∴，
故选：A
【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确求得AC的长是解题关键．
25．B
【分析】作交AB于点H，利用角平分线的性质得到CE=EH，，设AC=3，BC=4，得到AB，设CE=EH=x，利用等面积法求x的值；证为等腰三角形，得到，利用勾股定理求AE，利用等面积法求CG，再分别利用勾股定理即可求得EG和AG的长，即可求出比值．
【详解】解：如图，作交AB于点H，
∵平分，，，
∴CE=EH，，
∵，，设AC=3，BC=4，
∴，
设CE=EH=x，
∴，即，
∴，解得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰三角形，
又为的中点，
∴，
在中，，
，即，
∴，解得，
∴在中，，
∴在中，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、三角函数和等面积法求线段的长．在不同的直角三角形中利用勾股定理和等面积法求线段的长是本题解题的关键．
26．B
【分析】根据菱形的性质以及∠B=60°，先证明△ABC、△ACD是等边三角形，再根据BE=AF，AC=BC，∠CAD=∠B=60°，即可得△BEC≌△AFC，进而可得∠FCE=∠ACB，根据∠ACB=60°，可得∠FCE=60°，即有△FCE是等边三角形，在△FCE是等边三角形中，要求EF最小，即是求FC最小，根据垂线段最短即可知当FC⊥AD时，FC最小，再通过解直角三角形即可求出FC，过E点作，交BC于点M，根据，有，即可求出EM，继续根据，得，则问题得解．
【详解】在菱形ABCD中，有AB=BC=CD=DA=4，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB，
∵∠B=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∴结合AB=BC，可得△ABC是等边三角形，
同理可得△ACD是等边三角形，
∴AB=BC=CD=DA=AC，∠CAD=∠B=60°，
∵BE=AF，AC=BC，∠CAD=∠B=60°，
∴△BEC≌△AFC，即①正确；
∴EC=FC，∠FCA=∠ECB，
∴∠FCE=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠ACB，
∵在等边△ACB中，∠ACB=60°，
∴∠FCE=60°，
∴△FCE是等边三角形，故②正确，
∵△FCE是等边三角形，
∴要求EF最小，即是求FC最小，
∴当FC⊥AD时，FC最小，
∵在等边△ACD中，FC⊥AD，∠D=60°，
∴FC=DC×sin∠D=4×sin60°=，故③正确，
过E点作，交BC于点M，如图，
∵BE=AF，BE=1，AB=4=BC，
∴AF=1，AE=AB-BE=4-1=3，
∵，
∴，即，即有EM=3，
∵，
∴，即，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂线段最短、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识，充分利用含60°角的菱形的性质是解答本题的关键．
27．-1
【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，
∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，
∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．
28．10.4
【分析】由题意可知AB=24米，∠BDA=53°，因为tan∠BDA=，可求出AD，又由tan30°= ，可求出CD，即得到答案．
【详解】解：由题意可知AB=24米，∠BDA=53°，
∴tan∠BDA=，
∴（米）．
∵tan∠CAD=tan30°= ，
∴（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
故答案为：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
29．(1)约84.8海里；
(2)①海轮到达处没有触礁的危险，理由见解析；②有触礁的危险．
【分析】（1）过作交于点，求出，得海里，再证明是等腰直角三角形，得海里即可；
（2）①求出的长，即可；②过点作交于，求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：过点作交于点．
由题意可知，海里，，．
．
（海里），
在中，，
是等腰直角三角形，
（海里）（海里）．
答：处距离灯塔约84海里．
（2）解：①海轮到达处没有触礁的危险，理由如下：
由题意知：海里，海里，
海里海里海里，
海轮到达处没有触礁的危险．
②过点作交于，交延长线于点，
则，
，
，
海轮从处继续向正北方向航行，有触礁的危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形求解．
30．(1)75；60
(2)米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；
（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；
（3）作于点G，交于点F，证明即可．
【详解】（1）过点A作于点E，
由题意得：
∴
（2）由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
（3）作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
31．C
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
AB2=22+22=8，AC2=12+12=2，BC2=12+32=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故D不符合题意；
，故C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
32．C
【分析】由勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinA、tanA、tanB、cosB即可．
【详解】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，
tanA＝，
tanB＝，
cosB＝＝，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了求锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
33．B
【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，
∴AD=2，BD=4，
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
34．D
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可得出，根据勾股定理得出，求出，，由平行线的性质得出，再根据即可求出答案．
【详解】解：延长，过点作于点，
∵，，
∴，CD//BE，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及平行线的判定与性质等知识点，作垂线构造直角三角形是解题的关键．
35．A
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
=0
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
36．D
【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
=
故选D.
【点睛】此题考查实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握实数的混合运算.
37．C
【分析】根据平方关系：sin2A+cos2A=1即可求解．
【详解】sin240+cos240=1.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握同角三角函数的关系.
38．B
【分析】根据sin60°以及tan45°的值求解即可.
【详解】sin60°＝，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝.故选B.
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
39．C
【分析】根据tanα=，变形计算即可．
【详解】解：∵tanα=，AC=5，
∴BC=(米)，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形函数的应用，熟练掌握正切的定义和变形计算是解题的关键．
40．B
【分析】分别在与中表示出与的长，由建立等量关系，列方程求解．
【详解】解：在中，；
在中，．
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的简单应用，根据题目所给信息列出等量关系是解题的关键．
41．B
【分析】过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，求得，解直角三角形即可得到结论．
【详解】如图所示：过点作于点，
斜面坡度为，
，
在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，
，
，
，
，
，
解得：，
故AB，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确得出是解题关键．
42．B
【分析】作交的延长线于，设，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：作交的延长线于，
设，
，
，
，
，
则，
解得，
答：这段河的宽约为米．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
43．D
【分析】先根据三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长．
【详解】解：△ABC中，，，，
，
，
，
，
，，
， ，
，
，
，
又，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．
44．D
【分析】在Rt△ACD中，解直角三角形求出，在Rt△BCD中，解直角三角形求出BC．
【详解】∵CD⊥AB，
∴，
在Rt△ACD中，∠A=45°，，
∴，即，
∴，
在Rt△BCD中，∠B=60°，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
45．B
【分析】根据题意得出BC=2，由勾股定理逆定理确定 ABC为直角三角形，∠ACB=90°，结合图形得出∠ACD=∠B，利用等面积法求出，再由正弦值即可确定角的度数．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=EC=，
∴BC=2，
∵，
∴ ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
∴∠ACD=∠B=30°，
故选：B．
【点睛】题目主要考查直角三角形的性质，勾股定理逆定理，求出三角形正弦值确定角度等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
46．B
【分析】利用翻折的性质，以及外角定理证得∠AEB=∠ECF，进行角度转换即可求出结果．
【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，，
∴BE＝CE=，
∴AE= ，
由翻折变换的性质得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠ECF，
∴=，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角函数，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出∠AEB=∠ECF是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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