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第06讲 二次函数的图象与性质
课程标准
1.会用描点法画出二次函数的图象．2.知道二次函数的图象是一条抛物线，掌握二次函数的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值． 3.知道系数a、b、c的作用，能够运用对称轴和顶点坐标公式解决实际问题．
知识点01 二次函数y=x2和y=-x2的图象的画法
画二次函数的图象，一般用描点法，分列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
（1）列表：先取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取点，因为关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y轴右侧点的纵坐标，对应写出左侧点的坐标即可，为了计算方便，横坐标一般取整数．
（2）描点：先将y轴右侧的点描出来，再按对称关系描出y轴左侧的对称点．
（3）连线：按照从左到右的顺序将这些点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到“两端”为止，而应到画成向两个方向延伸的形状．
提示：
（1）因为函数y=x2和y=-x2的自变量的取值范围是全体实数．所以画图象时应以原点（0，0）为对称中心取值．
（2）描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分，因为x可取一切实数，所以函数应是向两个方向无限延伸的．
知识点02 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
二次函数 y=x2 y=-x2
大致图象
图象形状 抛物线 抛物线
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（或直线x=0）
顶点坐标 原点（0，0）
增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小
最值 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最大值0
知识点03 二次函数y=ax2的图象与性质
1．二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，可类比用描点法画其图象．
2．二次函数y=ax2的性质：
二次函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0）
大致图象
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（或直线x=0）
顶点坐标 原点（0，0）
增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小
最值 当x=0时，y有最小值0 当x=0时，y有最大值0
知识点04 二次函数y=ax2+c的图象与性质
1．二次函数y=ax2的图象与性质
a的符号 a>0 a<0
大致图象 c>0
c<0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（或直线x=0）
顶点坐标 （0，c）
增减性 当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大 当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小
最值 当x=0时，y有最小值c 当x=0时，y有最大值c
2．二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系
(1）相同点：
①图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同，开口大小相同．
②都是轴对称图形，对称轴都是 y 轴．
③都在 x =0处取得最值．
④当 a >0时，图象开口向上，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而增大．当 a < 0时，图象开口向下，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而增大；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而减小．
(2）不同点：
①顶点坐标不同，分别是（0，c )，(0，0)．
②最值不同，分别是 y = c 和 y =0．
(3）联系：二次函数 y = ax2 的图象与 y = ax2+ c 的图象可以通过平移互相得到．具体如下：
①当 c >0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c ；
②当 c < 0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c ．
知识点05 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质
1．二次函数y=a（x-h）2的图象与性质
a的符号 a>0 a<0
大致图象 h>0
h<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h
顶点坐标 （h，0）
增减性 当xh时，y的值随x值的增大而增大 当xh时，y的值随x值的增大而减小
最值 当x=h时，y有最小值0 当x=h时，y有最大值0
2．二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的关系
（1）抛物线y=a（x-h）2与y=ax2的形状、开口方向相同，都是轴对称图形，只是位置不同．
（2）抛物线y=a（x-h）2可由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|个单位长度得到：
①当h>0时，抛物线 y = ax2 抛物线y=a（x-h）2；
②当h < 0时，抛物线 y = ax2 抛物线y=a（x-h）2．
知识点06 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
1．二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的关系
二次函数y=a(x-h) +k的图象可由二次函数y=ax2的图象平移得到，它们的形状相同，只是位置不同，把y=ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位长度,得到y=a(x-h) 的图象,再向上或向下平移 |k|个单位长度，即得到y=a(x-h) +k的图象．
具体方法如下所示：
2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
a的符号 a>0 a<0
大致图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h
顶点坐标 （h，k）
增减性 当xh时，y的值随x值的增大而增大 当xh时，y的值随x值的增大而减小
最值 当x=h时，y有最小值k 当x=h时，y有最大值k
知识点07 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1．二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标和对称轴
二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方转化为y=a(x-h) +k的形式：
所以二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线
2．二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法
画二次函数的图象常见方法有2种：五点法和平移法．
方法1：五点法
(1)通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式；
(2)确定抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴；
(3)以顶点为中心，左右对称各取两对值；
(4)用光滑的曲线将描出的点顺次连接起来．
方法2：平移法
利用平移法画二次函数y=ax2+bx+c的图象的一般步骤如下：
(1)通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，确定图象顶点坐标为(h，k)；
(2)画出二次函数y=ax2的图象；
(3)将二次函数y=ax2的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h,k)，平移后的图象即是二次函数y=ax2+bx+c的图象．
3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
a的符号 a>0 a<0
大致图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当x<时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y的值随x值的增大而增大 在对称轴的左侧，即当x<时，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y的值随x值的增大而减小
最值 抛物线有最低点，当时，y有最小值 抛物线有最高点，当时，y有最大值
4．抛物线的平移规律
左右平移，左加右减；上下平移，上加下减．
知识点08 二次函数图象特征与系数之间的关系
字母 字母符号 图象特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b=0 对称轴为y轴（或直线x=0）
ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象经过原点
c>0 与y轴正半轴相关
c<0 与y轴负半轴相关
题组A 基础过关练
1．将二次函数y=(x 1)2+2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（）
A． B． C． D．
2．若点A（-3，y1）,B（，y2）,C（2，y3）在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ）
A．向下，直线x=－3，(－3，1) B．向上，直线x=3，(3， 1)
C．向下，直线x=－3，(－3，－1) D．向上，直线x=3，(－3，1)
4．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．顶点
B．抛物线向左平移个单位长度后得到
C．抛物线与轴的交点是
D．当时，随的增大而增大
5．二次函数的最小值是（ ）
A． B．3 C．4 D．5
6．抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2
7．二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是 (只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是 (只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是 (只填序号)．
8．抛物线y=(a 1)x2 2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
9．在同一平面直角坐标系中作出和的图象．
10．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)
题组B 能力提升练
11．已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）都是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3
12．二次函数的图象如图所示，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
14．将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得新抛物线的顶点是( )
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）
15．已知抛物线y=mx2+nx和直线y=mx+n在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．怎么样才能由的图像经过平移得到函数的图像呢？
小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度；
小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度．
对于上述两种说法，正确的是（ ）
A．小亮对 B．小丽对
C．小亮、小丽都对 D．小亮、小丽都不对
17．在平面直角坐标．若点A，B是抛物线上两点，若点A，B的坐标分别为则m n（填“＞”“＜”“＝”）
18．将抛物线y＝ax2＋bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是 ．
19．已知函数是二次函数．
(1)求m的值；
(2)用配方法确定该函数的顶点坐标和对称轴．
20．已知二次函数.
(1)将化成的形式；
(2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而减小．
题组C 培优拔尖练
21．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点纵坐标是－3 D．当时，函数值随值的增大而增大
22．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
23．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象与轴的交点坐标是
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当取和时，所得到的的值相同
D．当时，有最大值是
24．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．已知点，均在抛物线上，若，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
26．如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
27．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
28．已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于M，N两点（点M在点N左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点落在x轴上，点M平移后的对应点落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为 ．
29．已知二次函数y＝x2﹣3x+．
(1)请把二次函数的解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（直接写出结果），并写出图象的顶点坐标和对称轴；
(2)请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）．
30．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每干克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
考法01 二次函数y=ax2的图象与性质
31．已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ）
A． B． C． D．
33．已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
34．已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝(　　)
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
考法02 二次函数y=ax2+c的图象与性质
35．二次函数y＝-2 ＋1的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
36．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点
37．已知点（﹣4，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1，y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
38．已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考法03 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
39．抛物线的顶点是（ ）
A． B． C． D．
40．抛物线y＝（x 2）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
41．已知抛物线，其对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
42．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
考法04 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
43．画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x …… 1 2 3 4 5 ……
y …… 0 1 0 ﹣3 ﹣8 ……
关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
44．如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息：
①c＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③a＋b＋c＜0；
④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．
其中正确信息的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
45．若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时， B．当时，y有最大值
C．图像经过点 D．当时，
46．如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不能确定
考法05 二次函数图象特征与系数之间的关系
47．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是(　　)
A．abc<0 B．b=－4a C．4a+2b≥m(am+b) D．a－b＋c>0
48．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
49．已知二次函数的图象如图，则下列结论：
（1）
（2）方程一定有两个不相等的实数根
（3）y随x的增大而增大
（4）一次函数的图象一定不过第二象限，
其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
50．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
考法06 二次函数图象的平移
51．将抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x＋2）2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x＋1）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣1）2＋3
52．将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是( )
A． B．
C． D．
53．在平面直角坐标系中，若抛物线经一次变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位
54．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
考法07 二次函数y=ax2+bx+c的最值
55．二次函数=+4+的最大值为3，则的值为（ ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
56．已知二次函数y=mx+2mx-1（m＞0）的最小值为-5，则m的值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
57．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ）．
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
58．已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由抛物线的图像平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案．
【详解】解：将二次函数y=(x 1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到：
y=(x 1)2+2+3，即：y=(x 1)2+5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线的图像的平移规律，掌握抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，是解题的关键．
2．B
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．
【详解】解：对称轴为直线x＝ ，
∵，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，
x＞1时，y随x的增大而就减小，
C（2，y3）关于直线的对称点是（0，y3），
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．
3．B
【分析】根据二次函数顶点式的特征和性质即可作答．
【详解】二次函数，对称轴为：直线x=h；顶点坐标为：（h，k）
∵a=2>0，
∴开口向上，
∵h=3，k=1，
∴对称轴为：直线x=3；顶点坐标为：（3，1），
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的图象和性质，熟练地掌握顶点式的特征是解题的关键．二次函数，对称轴为：直线x=h；顶点坐标为：（h，k），当a>0时，开口向上，否则开口向下．
4．C
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
【详解】A、，
抛物线的顶点，故错误，不符合题意，
B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，不符合题意，
C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，符合题意，
D、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质二次函数的图象与几何变换，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质和平移的规律．
5．A
【分析】先求得抛物线的顶点坐标，然后得到顶点到x轴的距离．
【详解】解：∵＝（x-2）2+1，
∴其图象开口向上，顶点为（2，1）．
∴函数的最小值为1．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键是会将函数的一般式化为顶点式得到顶点坐标．
6．B
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：对称轴为直线；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7． ②③ ①③⑤ ⑤⑥
【分析】因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断．
【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③．
（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤．
（3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且 h ，k 的值相同，故满足条件的函数为⑤和⑥．
故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，熟悉掌握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键．
8．a<1
【分析】根据题意列出不等式并解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=(a 1)x2 2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴a 1<0，
解得a<1，
故答案为：a<1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性．
9．作图见解析
【分析】用列表，描点，连线的方法，即可作出图象．
【详解】解：列表如下
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
…… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 ……
…… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 ……
描点：如图所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解题关键．
10．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案．
【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．
（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．
（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)
【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系．
11．A
【分析】先求得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，然后根据抛物线的对称性和增减性即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x+3，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，
∴点（1，y1）与点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣2对称，
∵﹣5＜﹣4＜﹣2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．D
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x=1时，函数值为负，求得a+b+c<0，从而求解．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，
∴，故A选项错误，不符合题意；
抛物线的对称轴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴，故C选项错误，不符合题意；
∵，
∴当时，，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．C
【分析】根据对称轴为x＝1可判断①；当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0即可判断②；根据开口方向，对称轴以及与y轴交点即可判断③，求出A点坐标，根据图象即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故选项①正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项③错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
14．A
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，
得：，
∴顶点坐标为（2，﹣3），
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了函数图像的平移，掌握函数图像的平移的规律 “左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
15．D
【分析】本题可先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．逐一排除．
【详解】解：A.由二次函数的图像可知m＜0，此时直线y＝mx+n应经过二、四象限，故可排除；
B.由二次函数的图像可知m＞0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＜0，此时直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，故可排除；
C.由二次函数的图像可知m＜0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＞0，此时直线y＝mx+n应经过一、二、四象限，故可排除；
D.观察二次函数的图像可知m＞0，n＜0，直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与二次函数图像，应该熟记一次函数y＝mx+n在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
16．B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；
小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x-6）2+7，则小丽说法正确；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17．＞
【分析】求出抛物线的对称轴，开口方向，然后根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：∵抛物线中，
a=－2＜0，，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=－1，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），且3＜4，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴是解题的关键．
18．2
【分析】根据二次函数向上平移的规律得出平移后的函数解析式，再将点（-2，5）代入即可求出结果．
【详解】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的平移、代数式的求值，掌握二次函数平移的规律是解题的关键．
19．(1)m＝－1
(2)顶点为，对称轴为直线x＝1
【分析】（1）根据二次函数表达式的性质：最高次为2次，且二次项系数不等于0即可求出m的值；
（2）用配方法将二次函数表达式改写成顶点式即可确定函数的顶点坐标和对称轴．
【详解】（1）由题意可知：，
解得：m＝－1
（2）
∴顶点为，对称轴为：直线x＝1
【点睛】本题主要考查了二次函数表达式的性质和用配方法将二次函数表达式改写成顶点式，熟练地根据顶点式写出二次函数的顶点坐标和对称轴是解题的关键．
20．(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标是
(3)＜2
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）利用描点法画出图象；再根据（1）中的二次函数解析式直接写出答案；
（3）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．
【详解】（1）解： y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
则该抛物线解析式是y=（x-2）2-1；
（2）解：列表，
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
描点，连线，
图象如图所示：
∵抛物线解析式是y=（x-2）2-1，
∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标是；
（3）解：由图象可知当＜2时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法，画二次函数的图象，二次函数的性质．属于基础题型，比较简单．
21．C
【分析】根据a=2>0，得出图象的开口向上，可判定A；将解析式化成顶点式为，可得出图象的对称轴是直线x=1，可判定B；由顶点式得出图象的顶点纵坐标是－3，可判定C；由抛物线图象的开口向上，对称轴是直线x=1，可得当时，函数值随值的增大而增大，可判定D．
【详解】解：A、∵，
∴a=2>0，
∴图象的开口向上，故本选项错误不符合题意；
B、∵，
∴图象的对称轴是直线x=1，故本选项错误不符合题意；
C、∵，
∴图象的顶点纵坐标是－3，故本选项正确符合题意；
D、∵，
∴a=2>0，
∴图象的开口向上，图象的对称轴是直线x=1，
∴当时，函数值随值的增大而增大，故本选项错误不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，主要考查学生的观察能力和理解能力，用了数形结合思想．
22．D
【分析】根据二次函数的图象可以得到、的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决．
【详解】解：由二次函数的图象可得，，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．
23．C
【分析】在中，令得，可判定A不符合题意；由，对称轴直线可判断B不符合题意；根据当时，；当时，，可判定C符合题意；由，根据函数性质可判定D不符合题意．
【详解】解：令，则，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故A不符合题意；
二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，随的增大而增大，
故B不符合题意；
当时，，当时，
故C符合题意；
二次函数的对称轴为，开口向上，
当时，有最小值，
故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握抛物线与轴交点、抛物线增减性及函数的最值等知识．
24．B
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2∴3＜x2＜4，①正确，
∵ = 1，
∴b=- 2а，
∴3a＋2b= 3a-4a= -a，
∵a＞0，
∴3a+2b<0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c∵a＞0，
∴b=-2a<0，
∴a＋c<0，
∴b2 -4ac > a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
25．B
【分析】可以运用“作差法”比较y1与y2的大小，y1与y2是自变量取x1、x2时，对应的函数值，代值后对式子因式分解，根据a取值范围判断结论的符号即可求解．
【详解】解：将x1代入抛物线，得y1=ax12-2ax1+4，将x2代入抛物线，得y2=ax22-2ax2+4，
y1-y2=a（x12-x22）-2a（x1-x2）
=a（x1-x2）（x1+x2）-2a（x1-x2）
=a（x1-x2）（x1+x2-2）
∵x1+x2=1+a，
∴y1-y2=a（x1-x2）（a-1），
∵，
∴x1-x2<0，
当a<0时，则a-1<0，
∴y1-y2<0；即y1当0∴y1-y2>0；即y1>y2；
当a>1时，则a-1>0，
∴y1-y2<0，即y1∴当a<0时，y1y2；当a>1时，y1故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，在比较大小时用作差法是常用的比较方法．
26．A
【分析】分点P在AB和BC上两种情况，分别求出MN和PF长，利用面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，当0≤x≤4时，点P在AB上，过点N作NE⊥AD于点E，设MN与PD交于点F，
∴NE=DC=AD，
则PD= ，
又∵MN垂直平分PD，
∴PF= ，
∴∠MDF+∠FMD=∠MNE+∠FME=90°，
∴∠MNE=∠PDA，
在△MNE和△PDA中，
∴△APD≌△EMN，
∴PD=MN= ，
∴y= ,
（2）如图，当4＜x≤8时，点P在BC上，
过点N作NE⊥CD于点E，设MN交PD于点F，
则PD= ,
∴PF
用（1）的方法得
MN,
y=，
故
故选择A．
【点睛】本题考查分段函数，解决问题的关键是根据点P的位置确定自变量的取值范围得出函数解析式．
27．
【分析】根据二次函数的性质利用对称轴构建不等式即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数的对称轴是，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，
∴m≥1．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质．
28．
【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出，，点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．
【详解】解：当，则，
，
解得：，，
，，
，
点坐标为：，
平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，
抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移2个单位长度即可，
平移后的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．
29．(1)y＝（x 3）2 2，顶点坐标为（3， 2），对称轴为直线x＝3；
(2)见解析
【分析】（1）利用配方法得到y＝（x 3）2 2，然后根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标、对称轴；
（2）求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标，结合抛物线的顶点坐标，描点后画出二次函数的图象即可．
【详解】（1）解：∵y＝x2 3x＋＝（x 3）2 2，
∴抛物线的顶点坐标为（3， 2），对称轴为直线x＝3；
（2）当y＝0时，即x2 3x＋＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0），
当x＝0时，y＝，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，），
又∵抛物线的顶点坐标为（3， 2），
∴函数图象如图，
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，正确求出二次函数顶点坐标是解题关键．
30．(1)
(2)该产品销售价定为每千克元时，每天销售利润最大，最大销售利润元
(3)该农户想要每天获得元的销售利润，销售价应定为每千克元
【分析】（1）根据题中“该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：”和利润=销售价-成本，即可得出w与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）可得w与x之间的函数关系式为，因为二次函数的二次项系数，所以抛物线开口向下，函数值最大，即可得出相应的结果．
（3）根据题意，可得且，再根据（1）中的解析式，得到一元二次方程，解出即可得到结果．
（1）
解：由题意得：
，
故与的函数关系式为：．
（2）
，
∵，
∴抛物线开口向下，函数值最大，
∴当时，有最大值，最大值为．
答：该产品销售价定为每千克元时，每天销售利润最大，最大销售利润元．
（3）
当时，可得方程，
解得，．
∵，
∴不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得元的销售利润，销售价应定为每千克元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用问题，解本题的关键在根据题意得出二次函数关系式．
31．D
【分析】根据函数的性质解答．
【详解】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，
∴a-1>0，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质：当a>0时，开口向上，对称轴是y轴，对称轴左小右大；当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，对称轴左大右小，熟记性质并应用是解题的关键．
32．C
【分析】由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，然后根据二次函数的对称性可直接进行排除选项．
【详解】解：由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，
∵二次函数图像过点，
∴点关于y轴对称的点为，
∴点必在二次函数的图像上；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
33．A
【分析】根据次数为2可列方程，再根据函数增减性确定m值．
【详解】解：根据题意可知，，
解得，，
∵二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜-2，
综上，m=，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和增减性，解题关键是根据二次函数的定义列方程，依据增减性确定二次项系数的符号．
34．A
【分析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．
【详解】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，明确相关定义、性质，是解题的关键．
35．D
【分析】根据二次函数的图像与性质，求解即可．
【详解】解：二次函数
，开口向下
对称轴为，
顶点坐标为，
根据图像可得，D选项符合，
故选D，
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
36．B
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可.
【详解】解：∵，a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵当时，函数的最大值是，
∴故B正确；
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴故C错误；
∵ =，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴故D错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．
37．B
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=0，然后比较两个点离直线x=0的远近得到y1、y2的大小关系．
【详解】∵二次函数的解析式为y=x2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵（-4，y1）、B（2，y2），
∴点（-4，y1）离直线x=0远，点（2，y2）离直线x=0近，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
38．A
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，根据各点到对称轴距离的大小求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，离对称轴越近函数值越小，
∵
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
39．D
【分析】直接根据抛物线的顶点式得出抛物线的顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线
∴抛物线的顶点是(0，2)，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线y=a(x-h)2+k的图象性质，熟练掌握抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)是解题的关键．
40．A
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【详解】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
41．B
【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
42．D
【分析】根据抛物线的性质由a=5得到图象开口向下，当x=0时，可求图像与y轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为（4，1），对称轴为直线x=4，从而可判断抛物线增减性．
【详解】解：对于二次函数的图象，
A、当x=0时，y=81，
∴图像与y轴交点坐标为（0，81），A选项说法不正确；
B、抛物线对称轴为直线x=4，B选项说法不正确
C、抛物线顶点坐标为（4，1），C选项说法不正确
D、∵a=5＜0，
∴图像开口向下，
当时，随的增大而增大，D选项说法正确
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像性质，掌握相关性质利用数形结合思想解题是关键．
43．C
【分析】先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y=0时，x=1或x=3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x=2，则求出y= 3时的自变量的值．
【详解】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y=0时，x=1或x=3，
∴函数图象的对称轴为直线x=2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x=2，
当x=4时，y= 3，
∴x=0时，y= 3，故③正确，符合题意；
∴正确的选项有②③，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
44．D
【分析】由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由图象可得x=1时y＞0可判断③，根据（-5，m）、（1，n）与对称轴的距离可判断④．
【详解】解：∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，②正确．
由图象可得x=1时y＞0，
∴a+b+c＞0，③错误．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），
∴n＞m，④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
45．D
【分析】观察图象可知抛物线开口方向，根据图象经过，可得抛物线对称轴为直线，进而求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，经过点，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴当时，，A选项正确，不符合题意．
当时y有最大值，B选项正确，不符合题意．
∵图象经过，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线经过点，C选项正确，不符合题意．
当或时，，选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据函数图象找出对称轴、判断开口方向和增减性是解题的关键．
46．B
【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根据顶点在第四象限，即可求出a的取值范围，则P的取值范围可求．
【详解】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，
∴有，且显然a≠0，
∴a-b=1，c=-1，
将抛物线配成顶点式：，
∴顶点坐标为：，
∵抛物线顶点坐标在第四象限，
∴，
∵a-b=1，
∴，
解得：，
∵P=2a-b，a-b=1，
∴P=2a-b=a+a-b=a+1，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的a的取值范围是解答本题的关键．
47．D
【分析】先根据抛物线的开口向下可知a<0，与y轴的交点在y轴的负半轴可知c<0，由抛物线的对称轴x=2可得出a、b的关系，再对四个选项进行逐一分析．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即
∴4a+b=0，故B正确，不符合题意；；
∴，
∴abc<0，故A正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，a＜0，
∴当时，取得最大值为
对于任意实数，
∴4a+2b+c≥m(am+b)+ c
∴4a+2b≥m(am+b)，
故C正确，不符合题意；
当x=﹣1时，抛物线与y轴的交点在x轴上，即a﹣b+c=0，故D错误， 符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数y= +bx+c(a≠0)的图象，当a<0时，抛物线向下开口，当a与b同号时(即ab>0，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．
48．C
【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵ ，
∴，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
49．B
【分析】根据x=-1时，y>0，即可判断①；二次函数的图象与横轴有两个交点，再结合二次函数与一元二次方程的关系可判断②；根据二次函数的性质与图象可判断③；由函数的对称轴为，，则 ，再由函数图象与纵轴交点位置得出c的正负，结合一次函数即可判断④
【详解】根据图象，x=-1时，y>0
即故①正确
∵二次函数的图象与横轴有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故②正确
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故③错误
∵函数的对称轴为，
∴
函数图象与纵轴交点在横轴的下方
∴c<0
∴bc>0
∴函数的图象一定过第二象限，故④错误
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点性质与一元二次方程的解的应用．
50．C
【分析】A选项将ax2＋2ax b＞kx c，移项可得，ax2＋2ax＋c＞kx＋b，根据图象求解判断为对；
B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2＋2ax b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对；
C选项抛物线的对称轴是直线x＝＝ 1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝ 1对称的点是（ 2，c），但是，所以，y1＞c，可判断为错；
D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对．
【详解】解：A.对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，有图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，故A正确；
B.当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），
∴当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，故B正确；
C.在抛物线中，由对称轴公式可知，抛物线的对称轴是x＝＝﹣1，
∴在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），
∵﹣2＜﹣＜﹣1，
∴y1＞c，故C错误；
D.∵抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，
∴k＜0，b＜0，
∴﹣ac+bk＞0，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数关系以及结合不等式运算是解决问题的关键．
51．A
【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度得y＝﹣3(x+2)2＋1，
抛物线y＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y＝﹣3(x＋2)2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
52．D
【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案．
【详解】解：将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是，即．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
53．B
【分析】先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．
【详解】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．
y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．
所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
54．D
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到的．
【详解】抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线的顶点坐标为（1，-2）
将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象平移规律，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键．
55．B
【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法，用公式法比较简单．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+4x＋a的最大值是3，
∴a＜0，
y最大值＝，解得a＝ 1或a＝4（舍去）．
故选：B．
【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
56．D
【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
【详解】解：，，
抛物线开口向上，函数最小值为，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
57．D
【分析】根据二次函数关系式，确定对称轴和顶点坐标，画出草图，即可得出答案．
【详解】∵二次函数的对称轴是，顶点坐标是（2，-2），画出草图，如图所示，
∴当时，y有最小值-2，
当时，y有最大值7．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，主要是二次函数的最值问题，数形结合是本题的关键．
58．A
【分析】把二次函数解析式整理成顶点式，然后在根据二次函数的最值问题解答．
【详解】∵
∴这个二次函数的开口向上，对称轴
∴在的取值范围内，当时，有最小值；
当时，有最大值．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把二次函数解析式转化为顶点式是解本题的关键．
答案第1页，共2页
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