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第02讲 二次函数的图像和性质
第5章 二次函数
5.2二次函数的图像和性质
课程标准 课标解读
1、会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念； 2、会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； 3、通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 4、经历探索与的图象及性质紧密联系的过程， 1、掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，2、掌握二次函数图像平移的规律。 3、会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)、的图象． 4、掌握抛物线与图象之间的关系； 5、熟练掌握函数、的有关性质，并能用性质解决一些实际问题；
知识点01 二次函数y=ax2（a≠0）的图像及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
【微点拨】二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0
【微点拨】
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同；
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴；
│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴。
【即学即练1】
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小
知识点02 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y轴 y轴
函数变化 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当时， 当时，
2.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
【微点拨】
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
【即学即练2】
2．已知，点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
知识点03 函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
【微点拨】
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
【即学即练3】
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
知识点04 二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【微点拨】
⑴沿轴平移:向上（下）平移m个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，
或）
【即学即练4】
4．抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度
B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度
C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度
D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度
知识点05 二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【微点拨】
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【即学即练5】
5．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
知识点06 二次函数的图像及性质
1.二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
【即学即练6】
6．已知二次函数的图像如图所示，有下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考法01 二次函数的最值
【典例1】
7．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ）．
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
考法02 二次函数的平移
【典例2】
8．在平面直角坐标系中，若抛物线经一次变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位
考法03 二次函数的图像与各项系数符号的关系
【典例3】
9．二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）； （2）； （3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题组A 基础过关练
10．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
13．若点A（-3，y1）,B（，y2）,C（2，y3）在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
14．二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ）
A．向下，直线x=－3，(－3，1) B．向上，直线x=3，(3， 1)
C．向下，直线x=－3，(－3，－1) D．向上，直线x=3，(－3，1)
15．二次函数的顶点坐标为 ．
16．抛物线的图象上有两点，则b的值为 ．
17．已知点、在二次函数的图像上，则 （＞或＜或＝）．
18．已知函数，当时，y随x的增大而 （填写“增大”或“减小”）．
19．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
题组B 能力提升练
20．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22
C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2
21．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
22．函数y＝x＋2与y＝的图象交点横坐标可由方程x＋2＝求得，由此推断：方程m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（ ）
A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
23．二次函数的图象如图，则一次函数与反比例函数．在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
24．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为 ．
26．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为 ．
27．已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点．
（1）当P点最高时， ．
（2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则 ．
28．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；
29．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．
题组C 培优拔尖练
30．满足的所有实数对，使取最小值，此最小值为（ ）
A． B． C． D．
31．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
33．如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
34．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
35．设关于x的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是 ．
36．如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为 ．
37．已知二次函数，当时，函数有最大值，则 ．
38．如图，在抛物线（a >0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m>0），点M在y轴上，M的坐标为（0，1）．
（1）用含a、m的代数式表示= ．
（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y=对称时，为定值d，则d= ．
39．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
(1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）．
(2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据：，）
40．如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A点B点的左边），与轴交于点．直线与抛物线交于A、D两点，与轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式与、两点坐标；
(2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
(3)若点是轴上的点，且，求点的坐标．
41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；
(3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
【详解】解：抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．D
【分析】先求出抛物线的对称轴，抛物线y=3x2-2的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系．
【详解】解：∵当a＜-1时，a-1＜a＜a+1＜0，
而抛物线y=3x2-2的对称轴为直线x=0，开口向上，
∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
3．B
【分析】根据抛物线的顶点式，直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的顶点坐标是(3,4)，
故选：B．
【点睛】本题考查根据抛物线解析式，确定顶点坐标，熟练掌握y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解题的关键．
4．A
【分析】根据二次函数图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线 可由抛物线 右移个单位长度，再下移个单位长度得到，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
5．B
【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为，
∴，
即
∴，
当m=1时，抛物线为．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标为．
6．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为，得2a=-b，
∴a、b异号，即b＞0，
又∵c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
∵抛物线与x轴的交点可以看出，当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，即b＞a+c，
故②错误；
∵对称轴，得2a=-b，
∴4a+2b+c=-2b+2b+c=c，
又∵c＞0，
∴4a+2b+c＞0，
故③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b 2 -4ac＞0，
故④正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数关系式，确定对称轴和顶点坐标，画出草图，即可得出答案．
【详解】∵二次函数的对称轴是，顶点坐标是（2，-2），画出草图，如图所示，
∴当时，y有最小值-2，
当时，y有最大值7．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，主要是二次函数的最值问题，数形结合是本题的关键．
8．B
【分析】先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．
【详解】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．
y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．
所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
9．A
【分析】由对称轴为直线x=2，可得b=-4a，当x=2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点（-1，0），可得a-b+c=0，c=-5a；再由a＜0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
【详解】解：∵对称轴为直线x=2，
∴-=2，
∴b=-4a，
∴b+4a=0，
∴（1）正确；
∵经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=b-a=-4a-a=-5a，
∴4a+c-2b=4a-5a+8a=7a，
∵a＜0，
∴4a+c-2b＜0，
∴4a+c＜2b，
∴（2）不正确；
∵5a+3c=5a-15a=-10a＞0，
∴（3）正确；
∵|-2-2|=4，|-2|=，|-2|=，
∴y1＜y2＜y3，
∴（4）不正确；
当x=2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
∴（5）不正确；
综上所述：（1）（3）正确，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
10．D
【分析】将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．
【详解】解：将点（m，3）代入中得，
，
故代数式的值为3，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．
11．B
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x-k）2+h中，其顶点坐标为（k，h）．
12．D
【分析】根据二次函数图象平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【详解】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，
得到的抛物线相应的函数表达式为：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
13．B
【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．
【详解】解：对称轴为直线x＝ ，
∵，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，
x＞1时，y随x的增大而就减小，
C（2，y3）关于直线的对称点是（0，y3），
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．
14．B
【分析】根据二次函数顶点式的特征和性质即可作答．
【详解】二次函数，对称轴为：直线x=h；顶点坐标为：（h，k）
∵a=2>0，
∴开口向上，
∵h=3，k=1，
∴对称轴为：直线x=3；顶点坐标为：（3，1），
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的图象和性质，熟练地掌握顶点式的特征是解题的关键．二次函数，对称轴为：直线x=h；顶点坐标为：（h，k），当a>0时，开口向上，否则开口向下．
15．(-2，-3)
【分析】根据二次根式的顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为(-2，-3) ．
故答案为：(-2，-3) ．
【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握的顶点坐标为(h，k)为解题关键．
16．
【分析】根据二次函数的图象与性质和二次函数的对称性可知，A、B两点纵坐标相等，则A和B关于对称轴对称．二次函数的对称轴为，所以，最后解出答案即可．
【详解】A和B都在二次函数y=的图象上，且纵坐标相等，
点A和B关于对称轴对称，
，
解得．
故答案为-6．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
17．
【分析】分别计算出自变量和对应的函数值即可得到与的大小关系．
【详解】解：∵点、在二次函数的图像上，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上的点的坐标满足其解析式．
18．减小
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵该函数的对称轴为直线x=1，a=－1＜0，
∴当时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题考查二次函数的增减性，掌握二次函数的性质是解答的关键．
19．（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．
【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
，
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．
20．B
【分析】先根据抛物线解析式判断出抛物线在当－1≤x≤1的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝－3（x－2）2＋5，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，a=-3＜0 ，即抛物线开口向下
∴当-1≤x≤1，y随着x的增大而增大
∵-1＜1，
∴当x=1时，y有最大值2，当x=-1时，y有最小值-22．
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，正确判断出抛物线的增减性是解题的关键．
21．C
【分析】根据顶点式：的顶点坐标为即可得出结论．
【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是求二次函数图象的顶点坐标，掌握二次函数顶点式中的顶点坐标是解决此题的关键．
22．A
【分析】由m3＋2m＋4＝0可变形为，因此作函数y=x2+2与函数y=-图象，观察交点横坐标即可得答案．
【详解】解：由m3＋2m＋4＝0可变形为：，
作函数y=x2+1与函数y=-图象如下：
根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-2故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题．
23．D
【分析】根据抛物线图象，得到，，，即可判断出答案．
【详解】解：根据抛物线图象，开口向上，即；与轴交于负半轴，故；对称轴在轴正半轴，即，所以；
∵中，，，∴排除A、B选项；
∵，，，∴，故排除C选项；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象及一次函数图象，熟练掌握函数图象和性质是本题的关键．
24．C
【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
25．(6，5)
【分析】根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线x=1对称，即可求解．
【详解】∵AB与x轴平行，
而点A，B均在抛物线上，
∴点A与点B关于直线x=1对称，
∵点A的坐标为，
∴B点坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键．
26．
【分析】画出函数图像，结合函数图像可得的值．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
如图：点关于轴的对称点为，
∵成立的值恰好有三个，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质．涉及顶点坐标，图像的对称变换等知识点。利用图像变换画出函数图像，数形结合解题是关键．
27． 1
【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，即可得到顶点，纵坐标化为的形式，即可得出结果；
（2）将代入得，，这时当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上，由于，函数有最小值8，故只有当时，函数取得最小值8，代入即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴顶点，
∵，
∴当时，取得最大值5，
∴当P点最高时，；
故答案为：1；
（2）当时，，
∵当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上，
又∵，函数有最小值8，
∴当时，函数取得最小值8，
∴
∴，（不合题意，舍去）
∴当时，函数有最小值8，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和最值的求法，求最值除了考虑开口方向还要考虑自变量的取值范围和对称轴的关系，这是解决本题的关键．
28．(1)x=1
(2)y=－x2+2x－1
【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式即可得到对称轴；
（2）根据顶点在x轴上，可得，求出a的值即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）由（1）可得，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得，=－1，
∵a<0，
∴a=－1，
∴抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
29．(1)抛物线的表达式为：y＝，点D（﹣2，4）
(2)矩形PEFG周长最大时，点P的横坐标为
(3)存在，AN＝1或
【分析】（1）抛物线的表达式为：y=-，即可求解；
（2）PE=，PG=2（-2-m）=-4-2m，矩形PEFG的周长=2（PE+PG），即可求解；
（3）分MN=DM、NM=DN、DN=DM，三种情况分别求解．
【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝＝，
则点D（﹣2，4）；
（2）设点P（m，），
则PE＝，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，
矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣4﹣2m）＝，
∵＜0，故当m＝时，矩形PEFG周长最大，
此时，点P的横坐标为；
（3）∵∠DMN＝∠DBA，
∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，
∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，
∴∠NMA＝∠MDB，
∴△BDM∽△AMN，，
而AB＝6，AD＝BD＝5，
①当MN＝DM时，
∴△BDM≌△AMN，
即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；
②当NM＝DN时，
则∠NDM＝∠NMD，
∴△AMD∽△ADB，
∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，
而，即＝，
解得：AN＝；
③当DN＝DM时，
∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，
∴∠DNM＞∠DMN，
∴DN≠DM；
故AN＝1或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
30．A
【分析】令=t，把进行变形整理得到，再求出，得出，求出t的解集即可解答．
【详解】解：先令=t，
则可变形为：
，
整理得，
则
即
由知
的解集为
故取最小值，此最小值为；
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程由两个相等的实数根；，方程没有实数根；同时运用了解决函数图像交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键．
31．B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数以及x＝ 1，x＝2时对应的y值的正负判断即可．
【详解】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且，则b＝－2a，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝ 4ac＞0，即＞4ac，②错误；
∵原点O关于x=1的对应点为（2，0），
∴x＝2时，y＜0，即4a＋2b＋c＜0，③错误；
∵x＝ 1时，y＞0，
∴a b＋c＞0，
把b＝ 2a代入得：3a＋c＞0，④正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
32．B
【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数，若即>0，则新的二次函数二次项系数要大于0，并且Δ<0，据此求解即可．
【详解】解：，
选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；
选项B：若，则，，则，故此选项符合题意；
选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；
同理选项D也不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
33．C
【分析】根据题意可知，，E（0，1），得出，再由阴影部分的面积为即可得解．
【详解】解：由题意可知，，，E（0，1），，
又AB轴，且过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，所以由
；
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，坐标系中三角形面积求法，利用点的坐标表示线段的长度是解题关键．
34．D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【详解】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．
35．a>0
【分析】解法一：根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜-1＜x2，即（x1+1）（x2+1）＜0，x1x2+（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围；
解法二：先分析出当，，原方程只有一个实数根，不符合题意，则，再由原方程得到，令，，然后分和两种情况画出两个函数的函数图象，利用两个函数的交点进行求解即可．
【详解】解方一：∵方程有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＞0，即，
∴，
∵，
∴
∴（x1+1）（x2+1）＜0即x1x2+（x1+x2）+1＜0，
∵，，
∴，
化简可得：,
当时，不等式组无解，
当，恒成立，
综上所述，，
故答案为：；
解法二：∵有两个不相等的实数根，
∴当，，原方程只有一个实数根，不符合题意，
∴，
∵，
∴，
∴，
令，，
∴的顶点坐标为（-1，0），
如图1所示，当时，由函数图象可知，此时两个交点不满足；
如图2所示，当时，由函数图象可知，此时两个交点满足，
综上所述，，
故答案为：；
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，将二者结合是解题常用的方法．
36．
【分析】由抛物线的解析式求得、、的坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，根据轴对称的性质得出，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点和点两点，
∴当时，，解得或1，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把的坐标代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
解
得或，
∴点的坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的逆定理等，证得是解题的关键．
37．
【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图像对称轴是直线，
当时，当时，该函数取到最大值，
∵当时，函数有最大值，
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当时，当时，该函数取到最小值，
当时，
当时，，
当时，，
根据二次函数对称的性质可知：当时，函数有最大值，
又∵当时，函数有最大值，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，本题采用了分类讨论的思想方法．解答的关键是明确题意，得到关于的方程．
38． 15am2
【分析】（1）把P、Q的坐标分别代入y＝ax2﹣4，求得y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4，即可得到|y1﹣y2|＝15m2a．
（2）根据待定系数法求得直线PM的解析式，然后半轴x＝m代入求得对应的函数值，直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，即可得出 +（am2﹣4）＝2×（﹣1），解得am2＝ ，由（1）可知，|y1﹣y2|＝15m2a，即可得出d＝ ．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4（a＞0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m＞0），
∴y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4，
∴|y1﹣y2|＝|15m2a|，
∵a＞0，m＞0，
∴|y1﹣y2|＝15m2a．
故答案为：15m2a．
（2）设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵点P的坐标为（4m，16am2﹣4），M（0，﹣1），
∴ ，
解得 ，
∴直线PM为y＝x﹣1，
当x＝m时，y＝ m﹣1＝，
∵直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，
∴+（am2﹣4）＝2×（﹣1），
∴am2＝，
∵|y1﹣y2|为定值d，|y1﹣y2|＝15m2a，
∴d＝ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，根据题意得到关于am2的方程是解题的关键．
39．(1)（8≤x≤40）
(2)的横坐标为22.5，成绩未达标
(3)①a与成反比例函数关系，，验证见解析；②当m/s时，运动员的成绩恰能达标
【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．
【详解】（1）解：由图2可知：，
设CE：，
将代入，
得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．
（2）当时，，由题意得，
解得
∴的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与成反比例函数关系．
∴设
将（100，0.250）代入得解得，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得
由得，
又∵，
∴，
∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题．
40．(1)抛物线的解析式为：，A点坐标为（-2,0），B点坐标为（6,0）
(2)的面积最大值为，P
(3)Q的坐标为（0，）或（0，-9）
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）求出直线的解析式，过点P作PK∥y轴交AD于点K，设P，则K，可知，所以PK的值最大时，的面积最大，求出PK最大值即可；
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，则T（-5,6），设DT交y轴于点Q，则，作点T关于AD的对称点（1，-6），设与y轴交于点，则，分别求出直线DT，直线的解析式即可解决问题．
【详解】（1）解：将D点坐标代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴A点坐标为（-2,0），B点坐标为（6,0）；
（2）设直线的解析式为：，
∵直线经过A（-2，0），D（4，3），
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K，
设P，则K，
∵，
∴PK的值最大时，的面积最大，
∵PK=，
∵<0，
∴m=1时，PK的值最大，最大值为，此时的面积最大值为，P；
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AT，
则T（-5，6），
设DT交y轴于点Q，则，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为：，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点（1，-6），
则直线的解析式为：，
设与y轴交于点，则，
∴（0，-9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，-9）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角 形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
41．(1)yx2+x+3
(2)点E的坐标为(3,)
(3)存在，点N的坐标为(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)
【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式；
（2）根据四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线，使该方程判别式为0即可求得E的坐标；
（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线BC的解析式为y3，
∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，
∴点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3)；
∵A(﹣2,0)，
∴代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：yx2+x+3．
（2）解：∵ADBC，
∴设直线AD的表达式为：yx+m，
将A(﹣2，0)代入直线AD即可求得：m＝﹣1，
∴直线AD：yx﹣1，
设过点E与直线BC平行的直线：yx+n，
∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，
∴令yx+nx2+x+3，
化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，
由Δ＝36﹣4(4n﹣12)＝0得：n，
∴方程①的解为：x1＝x2＝3，
∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为(3,)．
（3）解：存在，理由：
①当AE是平行四边形的对角线时，
∵y(x+2)2+(x+2)+3x2+4，
∴新抛物线的表达式为：yx2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点A、E的坐标分别为(﹣2,0)、(3,)，
∴AE中点的坐标为(,)，
设点M(2,t)，点N(s,t2+4)，
则由中点公式得：，，
解得：s＝﹣2，t＝2(负值舍去)，
∴N(﹣2,2)；
②当AE是平行四边形的边时，
设M(2,t')，点N(s',t'2+4)，
则s'﹣2＝5，解得s'＝7，N(7,﹣2)，
s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N(﹣3,﹣2)，
综上，点N的坐标为：(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中(3)问要注意分类求解，避免遗漏．
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答案第1页，共2页

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