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第03讲 用待定系数法确定二次函数表达式
第5章 二次函数
5.3用待定系数法确定二次函数表达式
课程标准 课标解读
1、能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2、经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式． 通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法；能灵活的根据条件恰当地选择解析式
知识点 用待定系数法求二次函数解析式
1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
（1）一般式：（a，b，c为常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a，h，k为常数，a≠0）；
（3）交点式：（，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）．
2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
【微点拨】
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数的解析式为．
【即学即练1】
1．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
【即学即练2】
2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
考法 待定系数法求二次函数解析式
【典例】
3．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．
(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为 ；
(2)已知二次函数的顶点在y轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；
(3)已知二次函数的顶点在x轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ；
(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ；
(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ；
(6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则二次函数的解析式为 ；
(7)将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 ．
题组A 基础过关练
4．若y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝4，则当x＝﹣3时，y的值为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．﹣5
5．已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（ ）
A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2
6．若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
7．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线经过点，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）
A． B． C． D．
9．已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则 ．
10．抛物线经过点，那么这个抛物线的开口向 ．
11．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝ ，b＝ ，c＝ ．
12．写出顶点坐标为（2，1），开口方向与抛物线y＝﹣x2的开口方向相反、形状相同的抛物线解析式为 ．
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
题组B 能力提升练
14．将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5
15．二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（ ）
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 -2 …
A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．当时， D．的最大值为
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
17．已知二次函数的图象与x轴交于与两点，与y轴交于点C，若点P在该抛物线的对称轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
18．抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线；
②；
③时，；
④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．如图是二次函数的图像，该函数的最小值是 ．
20．已知点在函数的图象上，则a等于 ．
21．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表． 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；④3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有 ．（填正确结论的序号）
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题组C 培优拔尖练
24．二次函数图象经过点，，，其中．以下选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
25．已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．已知二次函数的图象经过，两点，则关于该二次函数图象的对称轴，描述正确的是（ ）
A．只能是 B．可能在的右侧
C．可能是 D．可能在y轴右侧且在的左侧
27．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
… t m n …
且当时，其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
28．如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线（）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①； ②抛物线与x轴的另一个交点是（，0）；③方程有两个相等的实数根；④当时，有；⑤若，且；则．则命题正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
29．平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为 ．
30．如图，抛物线 与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B(-1，0)， C(3，0)，连接AC，将线段AC 向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为 ．
31．在平面直角坐标系中，已知抛物线恰好经过和两点．
（1）求a的值 ；
（2）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值 ．
32．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，顶点为点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)将抛物线向下平移个单位长度，点的对应点为，连接，，若，求的值．
33．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差；
(3)若一次函数y=（2－m）x+2－m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<334．如图抛物线(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，若点A坐标为(﹣2,0)，点C坐标为(0,4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请用尺规在图1中作出这样的点P，并直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
35．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
(3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
2．B
【分析】将点代入函数解析式求解即可得．
【详解】解：把代入
可得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
3．(1)y＝
(2)y＝
(3)y＝
(4)y＝
(5)y＝
(6)y＝
(7)
【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝，把点(2，－4)代入求得a的值，即可得到答案；
（2）设二次函数的解析式为y＝，把点(1，4)代入求得a的值，即可得到答案；
（3）设二次函数的解析式为y＝，把点(1，－4)代入求得a的值，即可得到答案；
（4）设二次函数的解析式为y＝，把点(0，3)代入求得a的值，即可得到答案；
（5）设二次函数的解析式为y＝，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得到方程组，解方程组即可得到答案；
（6）先求出点C的坐标为（0，2），设二次函数的解析式为y＝，根据已知的条件得到方程组，解方程组即可得到答案；
（7）根据函数图象平移的规律即可得到答案．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y＝，
把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝；
故答案为：y＝
（2）解：设二次函数的解析式为y＝，
把点(1，4)代入得，4＝a＋2，
解得a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝；
故答案为：y＝
（3）解：设二次函数的解析式为y＝，
把点(1，－4)代入得，﹣4＝，
解得a＝﹣4，
∴二次函数的解析式为y＝,
即y＝；
故答案为：y＝
（4）解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，
∴可设二次函数的解析式为y＝，
把点(0，3)代入得，3＝，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝，
即y＝；
故答案为：y＝
（5）解：设二次函数的解析式为y＝，
把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝；
故答案为：y＝
（6）解：∵与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
设二次函数的解析式为y＝，
则，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝；
故答案为：y＝
（7）解：将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为，
即抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象平移的规律求二次函数的解析式，根据条件设出合适的函数解析式是解题的关键．
4．B
【分析】根据题意设y＝kx2（k≠0），将x＝2，y＝4代入函数解析式，列出关于系数k的方程，借助于方程即可求得k的值，求得解析式，然后代入x＝﹣3求得即可．
【详解】解：∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0）．
∵当x＝2时，y＝4，
∴4＝4k，
解得，k＝1，
∴该函数解析式为：y＝x2，
把x＝﹣3代入得，y＝9，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关键．
5．A
【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得：
，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
6．C
【分析】把（-2，-4）代入函数y=ax2中，即可求a．
【详解】解：把（-2，-4）代入函数y=ax2，得
4a=-4，
解得a=-1．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值．
7．B
【分析】根据顶点A的坐标设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，把B点的坐标代入，求出a即可．
【详解】解：∵抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），
∴设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，
把B点的坐标代入得：0=a（1-2）2+1，
解得：a=-1，
即抛物线的函数关系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3．
故选：B．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式，能熟记二次函数的三种形式的特点是解此题的关键．
8．B
【分析】将已知点的坐标代入确定抛物线的解析式，再计算出自变量为0时所对应的函数值即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴物线的解析式为：，
∵时，，
∴抛物线必经过的点是．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．-12
【分析】把点（3，a）代入解析式即可求得a的值．
【详解】解：∵点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，
∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12，
故答案为：-12．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
10．下
【分析】把点代入，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴ ，
∵ ，
∴这个抛物线的开口向下．
故答案为：下
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11． -2 -12 0
【分析】先根据抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同求出a的值，再由对称轴为直线x=-3求出b的值，根据抛物线过原点可求出c的值即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同，
∴a=-2，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-3，
∴-=-3，即-=-3，解得b=-12；
∵抛物线过原点，
∴c=0．
故答案为：-2，-12；0．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知抛物线的对称轴为直线x=-是解答此题的关键．
12．
【分析】可设抛物线的顶点式，再由开口方向可求得二次项系数，可求得答案．
【详解】解：∵顶点坐标为（2，1），
∴可设抛物线解析式为，
∵开口方向与抛物线的开口方向相反、形状相同，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求解二次函数解析式，解题的关键掌握二次函数的有关性质．
13．（1）；（2）直线
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．
14．D
【分析】先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
15．C
【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．
【详解】解：将点，，代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意；
∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
∵当时，；当时，，
又∵抛物线的对称轴为，
当时，，
又∵，
∴当时，，
∴C选项符合题意；
∵抛物线的解析式为，
∴当时，抛物线取得最大值，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式．
16．B
【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向不变，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(-2，1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．
【详解】∵，
∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(-2， 1)，此时抛物线的开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为，
化简后为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．
17．C
【分析】待定系数法求出二次函数的解析式，得到点C的坐标，由PA+PC=PB+PCBC，当P、B、C三点共线时，PA+PC最小，此时PA+PC=BC，勾股定理求出BC即可．
【详解】解：将点A、B代入，
得，解得，
∴，
当x=0时，y=-5，
∴C（0，-5），
∵AP=BP，
∴PA+PC=PB+PCBC，
当P、B、C三点共线时，PA+PC最小，此时PA+PC=BC，
∴PA+PC=，
故选：C．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，最短路径问题，勾股定理，熟记抛物线的对称性是解题的关键．
18．D
【分析】根据题意易得点A、B关于对称轴对称，则有抛物线的对称轴为直线，把点A代入抛物线解析式可判断②，然后由函数图形可判断③，进而把，点A（－1，0），点B（3，0）代入可求抛物线解析式，然后可得点C的坐标，最后可判断④．
【详解】解：由题意得：点A、B关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线，故①正确；
把点A（－1，0）代入解析式得：，故②正确；
由图象可知当时，，故③正确；
由，点A（－1，0），点B（3，0）可设二次函数解析式为，
∴，
∴当x=0时，则，
∴点，
把点B、C的坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质及一次函数是解题的关键．
19．
【分析】先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得．
【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点，
则，，
解得，
将代入得：，解得，
则二次函数的解析式为，
当时，，
即该函数的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键．
20．1
【分析】将点A（2，3）代入函数即可求出a的值．
【详解】解：将点A（2，3）代入函数中，得4a-2+1=3，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，正确理解函数图象上点的坐标符合解析式是解题的关键．
21．①④##④①
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误；再根据代自变量求函数值和一元二次方程的解法判定③④．
【详解】解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+3．
经检验，当x=3时，y=3满足函数关系式.
①ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，
∴结论①正确；
②∵y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x ）2，
∴当x时，y的值随x值的增大而减小，
∴结论②不正确；
③当x＝4时，y＝﹣42+3×4+3＝﹣1，
∴结论③不正确；
④ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x－3）＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴结论④正确；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
22．，
【分析】先将点A（3，0）代入求出关系式，由正方形的性质可知点D的纵坐标是3，即可求出点D的横坐标，可得答案．
【详解】将点A（3，0）代入，得
，
解得，
∴抛物线的关系式为．
∵四边形OABC是正方形，
∴CO=AO=3，
∴点D的纵坐标是3．
当y=3时，，
解得或（舍），
∴点D的横坐标是．
∵四边形EFBD是正方形，
∴，
∴点E的坐标是．
故答案为：．
【点睛】这是一道二次函数和正方形的综合问题，考查了正方形的性质，求二次函数关系式等．
23．(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝
(2)存在，P的坐标为（，﹣）
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得
【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：
解得：
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣
∴抛物线的对称轴为x＝ ．
（2）解：存在，理由如下：
连接PB
由抛物线的对称性得：PA＝PB
∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，
∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，
即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，
得，解得：，
即直线BC的解析式为y＝x﹣2．
令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，
即点P的坐标为（，﹣）．
∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．A
【分析】将（-2，4），（0，-2）代入解析式可得a与b的等量关系，将（2，m）代入解析式可得m与a的等量，由b≤0，m≥-2可求a的取值范围，进而求解．
【详解】解：将（-2，4），（0，-2）代入得
，
解得，
∴．
把（2，m）代入得．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，故选项B正确；
∵，
∴，故选项A错误；
∵，
∴，故选项C正确；
∵，
∴，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特点，掌握二次函数与方程的关系．
25．C
【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，
∵当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴令，则，
解得：，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
26．D
【分析】根据待定系数法，可以求得a与b的关系，即可求得对称轴的表达式，再逐项判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过，两点，
∴把，代入，可得，
解得，
∴对称轴为直线，
A．若取，则对称轴时直线，所以对称轴不只是直线，故A不正确；
B．因为，所以，所以对称轴一定在直线的右侧，故B不正确；
C．因为，所以，所以对称轴一定不是直线，故C不正确；
D．因为在y轴右侧，同时也可能在直线的左侧，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴．
27．C
【分析】利用待定系数法将点，代入解析式求出，，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断①结论；根据二次函数对称轴进而判断③结论；由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，再由判断④结论．
【详解】二次函数（a，b，c是常数，），
当时，，
当时，，
．
当时，其对应的函数值，
二次函数开口向下，．
，，，
．（①结论符合题意）
时，，
是关于x的方程的根．
对称轴，，（③结论不符合题意）
和3是关于x的方程的两个根．（②结论符合题意）
时，，
时，，
．
．（④结论不符合题意）
正确的结论有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质与图象的理解与综合运用能力．二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形．对称轴．二次项系数决定抛物线的开口方向与大小．如果，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．如果，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．灵活运用二次函数的性质与图象对每个结论依次分析是解本题的关键．
28．B
【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，和一次函数解析式，根据抛物线对称轴可判断①，利用抛物线的对称轴与x轴的一个交点可求另一交点可判断②，利用抛物线平移和顶点的位置可判断③，利用二次函数图像与一次函数的图象的位置比较大小，可判断④，根据可得出y1=y2，利用对称性与对称轴关系可判断⑤即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴，
把B点坐标代入得，
解得，
抛物线，
直线（）与抛物线交于A，B两点，
∴，
解得，
直线，
①∵对称轴为，则
故①正确；
②∵对称轴为直线，与轴的一个交点是，设另一交点为（m，0），
∴1-m=4-1，
∴m=-2，
与轴的另一个交点是，故②正确；
③∵把抛物线向下平移3个单位，得到，
∴顶点坐标变为，即抛物线与只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故③正确；
④当时，二次函数图像在一次函数图像的上方
∴，故④正确；
⑤若，即
即，
则关于函数的对称轴对称，
故，即，故⑤错误，
∴命题正确的有①②③④四个．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与的交点，以及函数图象上点的坐标特征，要求学生熟练掌握函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义及函数特征．
29．
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
∴OQ+PQ的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．
30．
【分析】根据抛物线 与x轴交于B、C两点，B(-1，0)， C(3，0)，
得到，，得到，推出A(0,3)，得到，设AC的解析式为y=kx+m，得到，推出y=-x+3，根据平移得到EF∥AC，EF=AC，推出四边形EACF是平行四边形，设EF的解析式为y=-x+n，根据，得到D(1,4)，推出4=-1+n，n=5，得到E(0,5)，推出AE=5-3=2，得到．
【详解】解：∵抛物线 与x轴交于B、C两点，B(-1，0)， C(3，0)，
∴，
解得，，
∴，
∴x=0时，y=3，
∴A(0,3)，
∴，
设AC的解析式为y=kx+m，
则，
∴，
∴y=-x+3，
由平移知，EF∥AC，EF=AC，
∴四边形EACF是平行四边形，
设EF的解析式为y=-x+n，
∵，
∴D(1,4)，
∴4=-1+n，n=5，
∴E(0,5)，
∴AE=5-3=2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数，平移，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，平移的性质，平行四边形的判定和性质．
31． -1
【分析】（1）将A，C两点的坐标代入，即可求解；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1，设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为z=．化成顶点式，利用二次函数的性质，可知此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为．
【详解】（1）将A，C两点的坐标代入，
得
解得：，；
故a的值为-1
故答案为：-1．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1，
设平移后所得抛物线对应的表达式为，
∵顶点在直线上，
∴．
令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．
设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z
∵z=，
∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目比较难．
32．(1)，
(2)或
【分析】（1）先求出点B，点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式，可得点的坐标；
（2）求得平移后的解析式为，可得平移后的抛物线的顶点为D（2，1 m），进一步求得抛物线对称轴与直线AB的交点，然后根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：在直线y＝x 3中，
令x＝0，则y＝ 3；
令y＝0，则x＝3，
∴点B（3，0），点A（0， 3），
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴C（2，1）；
（2）将抛物线向下平移m个单位长度得到，
∴平移后的抛物线的顶点为D（2，1 m），
把x＝2代入y＝x 3得y＝ 1，
∴直线AB与抛物线对称轴的交点为（2， 1），
∵＝2，
∴|1 m＋1|×3＝2，
∴m＝或，
即m的值为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与几何变换，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积等知识，求得抛物线的解析式是解题的关键．
33．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点，利用待定系数法即可得；
（2）将二次函数的解析式化成顶点式为，再利用二次函数的增减性求解即可得；
（3）先联立两个函数的解析式、结合求出的值，再根据建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则该二次函数的解析式为．
（2）解：将二次函数化成顶点式为，
则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
所以当时，取得最小值，最小值为，
当时，，
当时，，
所以在内，的最大值为4，
所以的最大值与最小值的差为．
（3）解：联立得：，
解得，
两函数图象的交点的横坐标分别为和，且，
，
，
解得．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
34．(1)
(2)(3,8)或(3,﹣5)或(3,5)
(3)当t＝4时，四边形CDBF的最大面积为26，此时E(4,2)
【分析】(1)将点A(﹣2,0)，C(0,4)代入y＝a+x+c中，即可求解；
(2)分两种情况讨论：当CD＝CP时，坐标为(3,8)；当CD＝DP时，坐标为(3,﹣5)或(3,5)；
(3)求出直线BC的解析式，设E(t,﹣t+4)，则F(t，﹣+t+4)，则，＝10，可求，当t＝4时，四边形CDBF的最大面积为26，此时E(4,2)．
【详解】（1）解：将点A(﹣2,0)，C(0,4)代入y＝a+x+c中，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
理由如下：
∵＝，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴D(3,0)，
∵点C坐标为(0,4)，
∴CD＝5，
当CD＝CP时，坐标为(3,8)；
当CD＝DP时，坐标为(3,﹣5)或(3,5)；
综上所述：P点坐标为(3,8)或(3,﹣5)或(3,5)；
（3）解：如图，
令y＝0，则，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B(8，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
设E(t，﹣t+4)，则F(t，﹣+t+4)，
∴EF＝﹣+t+4+t﹣4＝﹣+2t，
∴S△BCF＝×8×(﹣+2t)＝﹣+8t，
＝×(8﹣3)×4＝10，
∴，
∴当t＝4时，四边形CDBF的最大面积为26，
此时E(4，2)．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，用分割法求四边形的面积，分类讨论是解题的关键．
35．(1)；
(2)P（ 3， 7）；
(3)的坐标为或．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0， 4），再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；
（3）当在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知，求出直线BC的解析式，可设E（t，），在中，，则，在Rt△BHE中，由勾股定理得，求出t的值即可求坐标；当在第二象限时，轴，可得四边形是平行四边形，则，由折叠的性质可判断平行四边形是菱形，再由BE＝OB，可得
，求出t的值即可求坐标．
【详解】（1）将A（ 1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）令y＝0，则，
解得x＝ 1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0， 4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x 4，
联立方程组，
解得或，
∴P（ 3， 7）；
（3）如图1，当在第一象限时，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
∴，
设E（t，），，
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0， 4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线与直线BP相交所成锐角为45°，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴；
如图2，当在第二象限，时，
∵∠ABP＝45°，
∴轴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴平行四边形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
综上所述：的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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