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第05讲 用二次函数解决问题
第5章 二次函数
5.5用二次函数解决问题
课程标准 课标解读
1．能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2．经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 1．建立适当的将生活中呈抛物线建筑的有关问题数学化平面直角坐标系； 2．体验由函数图像确定函数关系，进而解决有关实际问题的过程和方法．
知识点01 列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
（1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）．
（2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
（3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
（4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题．
（5）检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
（6）写出答案．
【即学即练1】
1．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【即学即练2】
2．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价元，那么平均每天就可多售出件．若商场想平均每天盈利达元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？
知识点02 建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：
（1）恰当地建立直角坐标系；
（2）将已知条件转化为点的坐标；
（3）合理地设出所求函数关系式；
（4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
（5）利用关系式求解问题．
【微点拨】
（1）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义．
对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题．
【即学即练3】
3．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
(1)求落水点C、D之间的距离；
(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
【即学即练4】
4．王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度与水平距离之间的关系可以表示为，铅球从出手到落地的路线如图所示．

（1）求铅球出手点的离地面的高度为多少米；
（2）求铅球推出的水平距离是多少米？
考法01 图形问题
【典例1】
5．如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏40米，设AB长x米．
(1)BC的长为 　 　米（用含x的式子表示）；
(2)求这个花园的面积最大值．
考法02 拱桥问题
【典例2】
6．如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
考法03 销售问题
【典例3】
7．某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．
x/元 15 20 30 35
y/件 25 20 10 5
(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．
(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？
考法04 投球问题
【典例4】
8．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．
(1)小球从抛出到落地经过了多少秒？
(2)当小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
考法05 喷水问题
【典例5】
9．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
题组A 基础过关练
10．为响应国家的惠民政策，某种口罩原价每箱100元，经过两次降价后每箱81元．设平均每次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．81（1＋2x）＝ 100 B．100（1－2x）＝81
C．81（1＋x）＝100 D．100（1－x）＝81
11．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A．6米 B．10米 C．12米 D．15米
12．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（ ）
A．98m B．78.4m C．49m D．36.2m
13．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　　）
A． B． C． D．
14．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
15．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
16．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米．
17．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了 米．
18．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行 s后，才会停下来．
19．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，
销售单价x（元/千克） 56 65 75
销售量y（千克） 128 110 90
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
（3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围．
题组B 能力提升练
20．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　）
A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m
21．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
22．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
23．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2
C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2
24．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
25．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为 m．
26．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 ；自变量x的取值范围为 ．
27．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是 ．
28．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒
(1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为______元．
(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
29．北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高干52元．销售期间发现，当销售单价定为41元时，每天可售300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)填空：y与x之间的函数关系式是______________；自变量x的取值范围是____________．
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
题组C 培优拔尖练
30．如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
31．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么等于（ ）
A． B． C． D．
32．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
33．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（　　　）
A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s
C．小球抛出3s时，速度为0 D．当s时，小球的高度m
34．如图，抛物线y＝2x2﹣8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
35．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．

36．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上，点与点重合，让沿方向运动，当点与点重合时停止运动．运动中两个图形重叠部分的面积与的长度之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ．
37．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
38．综合与实践：无盖正三棱柱
任务一：如图1，一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．
任务二：如图2是边长为6的正方形ABCD，以正方形的边AB为边，在正方形内作正三角形ABE，连接DE，CE．
(1)请在图1的正三角形纸板中，画出示意图，其中视线表示剪切线，虚线表示折痕；
(2)当所做的无盖盒子的侧面积最大时，其底面积为多少？
(3)证明DE＝CE，并计算DE的长；
(4)如图3，底面边长为6，高为1的无盖三棱柱盒子的平面图正好在矩形MNPQ中，直接写出矩形MNPQ的面积．
39．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，搭围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为AE）的矩形，内部分成两个区，M区为登记区，N区为检测区，入口通道在BC边上，两区通道在CD边上，出口通道在EF边上，通道宽均为1米．
(1)若设，则BF可表示为______；
(2)问所围成矩形ABFE的面积能否达到96平方米？如果能，求出AB的长；如果不能，说明理由；
(3)检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩大，问现有的33米隔离带，能否围出147平方米的面积？如果能，请说明理由；如果不能，在搭围方法不变的情况下，则至少需要增加多少米隔离带，恰好能围成147平方米？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
【分析】设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．
2．商场每天盈利达1200元，每件衬衫应降价20元；每件衬衫应降价元，此时最大利润是元．
【分析】（1）设每件衬衫应降价元，根据每件衬衫的利润、销售量、总利润的关系可得一元二次方程，求解即可得；
（2）设商场获得的总利润为y元，可得y与x的函数关系式，然后化为顶点式，即可得出最大利润．
【详解】解：（1）设每件衬衫应降价元，
由题意得：，
即，
，
，
解得：或，
为了减少库存，
∴，
每件衬衫应降价元；
（2）设商场获得的总利润为元，由题意得：
，
，
当时，有最大值，最大值为，
每件衬衫应降价元，此时最大利润是元．
【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出方程，确定函数解析式是解题关键．
3．(1)22米
(2)雕塑EF的高为米
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
（2）代入x＝10求出y值即可．
【详解】（1）解：当y＝0时，，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，
当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标．
4．（1）米 （2）米
【分析】（1）根据铅球落出手时，水平距离，求的值即可
（2）根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可
【详解】解：（1）令，则，
所以求铅球出手点的离地面的高度为米．
（2）令函数式中，y=0，，
所以
所以
解得（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
5．(1)（40-2x）
(2)200平方米
【分析】（1）由AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米可得答案；
（2）根据矩形的面积公式得出y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意知AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米，
所以BC的长为（40-2x）米，
故答案为：（40-2x）；
（2）解：设这个花园的面积为y 平方米，由题意得：
y=x（40-2x）
=-2x2+40x
=-2（x-10）2+200，
∵-2＜0，
∴当x=10时，y取得最大值，最大值为200，
答：这个花园的面积最大值为200平方米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为，再把点A（-2，-2）代入，即可求解；
（2）根据题意可得水面AB下降1米，到CD处时，点D的纵坐标为-3，把y=-3代入，可得到水面的宽度，即可求解；
（3）根据题意可得当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，把y=-1代入，可得到水面的宽度，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，
∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．
∴点A（-2，-2），B（2，-2），
把点A（-2，-2）代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
（2）解：∵水面AB下降1米，到CD处，
∴点D的纵坐标为-3，
当y=-3时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度增加米；
（3）解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，
当y=-1时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度减少米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
7．(1)y是x的一次函数，
(2)产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元
【分析】（1）先根据表中数据判断出y是x的一次函数，再用待定系数法求出函数解析式；
（2）设所获利润为W元，根据销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价-成本，得出日销售量y是销售价x的一次函数；所获利润W为二次函数，再运用二次函数的性质，利用配方法可求最大利润．
【详解】（1）解：由表中数据可知，y是x的一次函数．
设此一次函数关系式为，
则，
解得，，
故一次函数的关系式为；
（2）解：设所获利润为W元，
则
，
所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的实际运用，注意求最大值的方法和二次函数的性质．
8．(1)6秒
(2)3s；45m
【分析】（1）当小球的高度是0m时，代入关系式得，，解方程即可；
（2）把函数关系式变形为顶点式，即可解决．
【详解】（1）解：当时，
由题意得：
解得，（舍去），，
答：小球从抛出到落地经过了6秒；
（2）解：.
∵，
∴当时， ，
∴当小球的运动时间为3s时，小球运动的最大高度是45m．
【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的实际应用，配方法求二次函数最值，把函数式化为顶点式是解题关键．
9．(1)
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
10．D
【分析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列一元二次方程，解答本题的关键在于根据题目条件列出一元二次方程．
11．B
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题理解为当y=0时，求x的值即可；
【详解】铅球落地时高度为0，即当y=0时，
=0，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
所以该生此次实心球训练的成绩为10米，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中，函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
12．B
【分析】把t=4代入h＝gt2可得答案．
【详解】解：把t=4代入h＝gt2得，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意把t=4代入是解题关键
13．A
【分析】首先设抛物线解析式为y＝ax2，再得出抛物线上一点为（2，﹣2），进而求出a的值．
【详解】解：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y＝ax2，且抛物线过（2，﹣2）点，
故﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣0.5，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线的解析式是解题关键．
14．A
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【详解】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x），
由题意可知自变量的取值范围为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
15．2
【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
16．4
【分析】将一般式写成顶点式，求出顶点坐标即可得出结果．
【详解】∵，
∴顶点坐标是(2，4)，
∴最大高度是4米．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握求二次函数图象顶点坐标的方法．
17．45
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【详解】解：，
，
时，s取得最大值45，
汽车刹车后到停下来前进了45米，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了二次函数求最值的问题，根据已知利用配方法得出顶点式是解题关键．
18．26
【分析】当滑行距离最大时飞机才会停下来，所以把二次函数解析式配方即可．
【详解】∵，
∴当时，取得最大值338m，
即飞机着陆后滑行26s后，才会停下来.
故答案为：26
【点睛】本题考查了二次函数的应用，关键理解题意，飞机滑行距离最远时才会停下．
19．（1）；（2）2450元；（3）
【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
（3）求得W=2000时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥2000时x的取值范围，继而根据“单价不得高于90元/千克”，得出答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得：
解得：．
∴y与x的关系式为；
（2）由题意知：，
∴W与x的关系式为：，
∴，
∴当时，在内，W的值最大为2450元
（3）若公司想获得不低于2000元周利润，则，
解得，所以当时，，
又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，
∴销售单价范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数和二次函数的实际应用．根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，再运用二次函数性质解决问题是解题的关键．
20．C
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，
由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．
21．C
【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．
22．D
【分析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为和
∴抛物线的对称轴为：，
∵点，在抛物线上，且，
∴点比点到直线的距离要大，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征：二次函数图像上的点的坐标满足其解析式．理解和掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．C
【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答．
【详解】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键．
24．C
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
25．8
【分析】由目前桥下水面宽4m，求得对应y的值，再由水位下降1.5m，得到此时y的值，代入解析式即可求得x的值，即可求出水面的宽．
【详解】解：目前桥下水面宽4m，
即x=2时，
当水位下降1.5m，即
此时水面的宽为8m
故答案为：8．
【点睛】本题考查二次函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
26．
【分析】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围．
【详解】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：；
由题意可得：，
解得：．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是正确表示出长方形的长．
27．
【分析】n个球队都要与除自己之外的（n-1）球队个打一场，因此要打n（n-1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n-1），得出关系式．
【详解】解：m=n（n-1）=n2-n，
故答案为：m=n（n-1）=n2-n．
【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键．
28．(1)(20+2x)盒，(20-x) 元
(2)每盒售价应定为60元
(3)每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设每盒售价x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可求解；
（3）设日利润为，由（2）列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）设每盒售价降低x元，则日销量可表示为盒，每盒口罩的利润为（元）
故答案为：；
（2）设每盒售价x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据题意得，
解得
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x=60．
答：每件售价应定为60元；
（3）设日利润为，则
时，的最大值为 ，
即每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
29．(1)；
(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大．最大利润是2280元
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
【详解】（1）解：根据题意得：y=300-10（x-41）=-10x+710，
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+710（44≤x≤52）；
故答案为：y=-10x+710；44≤x≤52；
（2）解：根据题意得：w=（-10x+710）（x-40）=-10x2+1110x-28400=-10（x-55.5）2+2402.5，
∵-10＜0，
∴当x＜55.5时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x=52时，
w有最大值，最大值为-10×（52-55.5）2+2402.5=2280，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2280元．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
30．B
【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
，，
∴，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
31．C
【分析】第档次产品比最低档次产品提高了个档次，则数量在60的基础上减少了，每件产品利润在8的基础上增加，据此可求出总利润关系，求出最值即可．
【详解】解：设总利润为y元，
∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，
∴每天利润为，
∴当时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．
32．B
【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，
，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，
，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，
，
,
当x=3，y=1，当3结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．
33．A
【分析】选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断．
【详解】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A错误；
B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；
C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；
D、设函数解析式为，将（0，0）代入得：
，
解得，
∴函数解析式为，
∴当t＝1.5s时，，
∴选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
34．B
【分析】根据图象可以判断当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，求出两个临界值即可．
【详解】由y＝2x2﹣8x+6可知，令y＝0，即2x2﹣8x+6＝0，
解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移两个单位得到C2，
则C2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6（3≤x≤5），
由图象知当直线y＝﹣x+m在过B和与C2相切之间时与两个抛物线有三个不同的交点，
∴①当y＝﹣x+m与C2相切时，
令y＝﹣x+m＝2（x﹣2）2﹣8（x﹣2）+6，
即2x2﹣15x+30﹣m＝0，
∴△＝8m﹣15＝0，解得m=，
②当y＝﹣x+m'过点B时，
即0＝﹣3+m'，解得m'＝3，
综上，当时，直线y＝﹣x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选B．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
35．121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
36．
【分析】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，结合三角形面积公式解答．
【详解】解：是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形
是等腰直角三角形
由题意可知，AM=MR=x，
故答案为：，．
【点睛】本题以动态的形式考查了二次函数的应用，涉及三角形和正方形形重叠部分的面积、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
37．(1)
(2)13
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，
38．(1)见解析
(2)底面积为
(3)证明见解析；DE
(4)36
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）设OK＝x，则OA＝2x，AKx，进而可得KH＝6﹣2x，由题意知，无盖盒子的侧面积为，当x时，纸盒侧面积最大，进而计算即可；
（3）根据正方形和等边三角形的性质证明△DAE≌△CBE，作DF⊥AE于F，进而根据含30°的直角三角形的性质并结合勾股定理进行计算即可；
（4）作EK⊥PQ于F，交MN于T，根据30°的直角三角形的性质并结合矩形的面积公式即可求解．
【详解】（1）如图所示：
（2）设OK＝x，则OA＝2x，AKx，
∴KH＝6﹣2x，
由题意知，无盖盒子的侧面积为，
当x时，纸盒侧面积最大，此时OQ＝KH＝3，
∴底面积为；
（3）∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝AB＝AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠EAB＝∠EBA＝60°，
∴∠DAE＝∠EBC，
∴在△DAE和△CBE中，
∵
∴△DAE≌△CBE(SAS)，
∴DE＝CE，
作DF⊥AE于F，
∵AD＝6，∠DAF＝30°，
∴DF＝3，AF＝3，
∴EF＝6﹣3，
在Rt△DEF中，由勾股定理得，DE；
（4）如图，作EK⊥PQ于F，交MN于T，
在Rt△EFG中，EG＝1，∠EGF＝30°，
∴EF，FG，
在Rt△PGH中，GH＝6，∠PHG＝30°，
∴PG＝3，PH＝EK＝3，
∴FT＝EF+EK+KT，PQ＝2PF＝6，
∴矩形MNPQ的面积为MN×PN＝．
【点睛】本题考查了尺规作图、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、含30°的直角三角形的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用．
39．(1)米
(2)能，当AB＝4米或8米时，所围成的矩形ABFE的面积能达到96平方米
(3)不能，至少需要再增加6米隔离带，才能搭围成147平方米的矩形
【分析】（1）根据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
（3）根据二次函数的性质求出面积的最大值，进而可以解决问题．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
米，
则可表示为：，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
，
，
或，
长为4米或8米；
（3）解：根据题意得：矩形的面积，
当时，矩形的面积有最大值，最大值，
不可能围出的面积；
当米，米时，矩形的面积平方米，
只需隔离带（米，
需增加隔离带（米．
答：不可能围出的面积；至少需增加隔离带6米，恰好能围成147平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，矩形的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
答案第1页，共2页
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