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第06讲 图上距离与实际距离
第6章图形的相似
6.1图上距离与实际距离
课程标准 课标解读
1．了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2．会运用比例线段解决简单的实际问题． 结合现实情境了解线段的比和成比例的线段；并理解并掌握比例的性质；
知识点 比例线段
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【即学即练1】
1．下列各组线段中，不成比例的是（　　　）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
2．已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段 ．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果，那么．
（2）合比性质：如果，那么；
【微点拨】
（1）两条线段的单位必须统一，若单位不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有单位；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
【即学即练3】
3．把ad＝bc写成比例式，不正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【即学即练4】
4．若，则的值为 ．
考法01 比例的性质
已知几个量的比值时，常用的解法是：设它们的比等于一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，然后消掉所设的未知数，即可求得所给代数式的值．
【典例1】
5．如果，则＝（　　）
A． B． C． D．
考法02 成比例线段
【典例2】
6．下列各组线段中，是成比例线段的是（　　）
A．1cm，3cm，4cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．3cm，5cm，9cm，13cm D．3cm，5cm，9cm，12cm
题组A 基础过关练
7．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．在比例尺为1：800000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是2.5cm，则这两市之间的实际距离为(　　)km．
A．20000000 B．200000 C．200 D．2000000
11．已知，那的值为 ．
12．已知，那么 ．
13．在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是2.6cm,则甲、乙两地的实际距离为 千米.
14．已知、、、是成比例线段，其中，，，则 ．
15．已知三个数、、，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数．
16．在某市城区地图(比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm，10 cm.
(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？你发现了什么？
题组B 能力提升练
17．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　）
A．17km B．34km C．170km D．340km
18．某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（ ）
A． B． C． D．
19．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．已知线段，则线段的比例中项为（ ）
A． B． C． D．
21．如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（　　）
A．± B． C． D．±
22．若，且，则等于（ ）
A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4
23．若＝，则＝ ．
24．已知，则
25．在比例尺为1：800000的盐城市地图上，大丰实验初中与滨海第一初级中学的图上距离为16cm，则实际距离为 km．
26．已知，则＝
题组C 培优拔尖练
27．下列各组中的四条线段不是成比例线段的是（　　）
A．a=1，b=1，c=1，d=1 B．a=1，b=2，c=2，d=4
C．a=1，b=3，c=2，d=4 D．a=2，b=1，c=8，d=4
28．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例的是（ ）．
A．1，2，3，4 B．6，5，10，15
C．3，2，6，4 D．15，3，4，10
29．若线段x是3和6的比例中项，则x的值为（ ）
A． B． C． D．3
30．4 与 9 的比例中项是（ ）
A．36 B．6 C．﹣6 D．±6
31．如果=，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
32．若＝，则＝ .
33．比例尺为1：9000的苏州市城区地图上，山塘街的长度约为40cm，它的实际长度约为 km．
34．线段c是线段a，b的比例中项，其中a=4，b=5，则c=
35．如果，那么＝ ．
36．在Rt△ABC中，斜边AB＝205，，试求AC，BC的值．
37．已知＝＝＝＝k，求 k值．
38．已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例；不相等即不成比例．
【详解】A 、从小到大排列，由于20×90＝30×60，所以成比例，不符合题意;
B 、从小到大排列，由于4×10≠6×8，所以不成比例，符合题意;
C 、从小到大排列，由于22×33=11×66，所以成比例，不符合题意;
D 、从小到大排列，由于4×4=2×8，所以成比例，不符合题意.
故选 B．
【点睛】本题考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，若最长和最短两条线段之积与另两条线段之积相等，则说明四条线段成比例．
2．
【分析】根据线段的比例中项的概念列方程求解即可．
【详解】解：因为：线段是线段，的比例中项，
所以：，
因为：线段，线段，
所以：， （负根不合题意舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是成比例线段中的比例中项，掌握比例中项的概念是解题关键．
3．C
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，对选项一一分析，得出正确答案．
【详解】解：A． ad=bc，故此选项正确，不符合题意；
B． ad=bc，故此选项正确，不符合题意；
C． ab=dc，故此选项错误，符合题意；
D． ad=bc，故此选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题的关键．
4．
【分析】由，设，然后再代入求解即可；
【详解】解：∵，设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的性质，设是解题关键．
5．C
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴a=b，
∴==．
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟记“两内项之积等于两外项之积”，并用b表示出a是解题的关键．
6．B
【分析】如果四条线段a,b,c,d满足，则四条线段a,b,c,d称为比例线段.
【详解】解：∵3×4≠1×6，∴选项A不成比例；
∵3×4，=2×6，∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，∴选项C不成比例；
∵3×12≠5×9，∴选项D不成比例
故选B．
【点睛】本题考查了比例线段的定义.
7．C
【分析】由，设 则再代入求值即可得到答案．
【详解】解： ，
设 则
故选：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决有关比例的问题是解题的关键．
8．A
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【详解】解：A．由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故A符合题意；
B．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；
C．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；
D．由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解答本题的关键．
9．B
【分析】由 等式的两边都除以，从而可得到答案．
【详解】解：
等式的两边都除以：，
故选B．
【点睛】本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．C
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离．列出比例式，求解即可得出两地的实际距离．
【详解】设这两市之间的实际距离为xcm，
则根据比例尺为1：8 000 00，列出比例式：
1：8 000 00＝2.5：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝200km
故选：C．
【点睛】本题考查了比例尺的意义，注意图上距离跟实际距离单位要统一．
11．
【分析】设x=3k，y=5k，其中(k≠0)，代入即可消去k即可求解．
【详解】解：由可知，设x=3k，y=5k，其中(k≠0)，
则x+y=8k，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质及运算，属于基础题．
12．
【分析】由，设，则，再把的值代入代数式即可得到答案．
【详解】解： ，
设，则，
，
故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数法解决比例的问题是解题的关键．
13．26
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离．
【详解】根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：A，B两地的实际距离为2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．
故答案为26．
【点睛】本题考查了线段的比．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
14．
【分析】根据比例线段的概念，列出比例式3：4=c：12，再进行计算即可．
【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
∵a=3cm，b=4cm，d=12cm，
∴3：4=c：12，
∴c=9cm，
故答案为；9cm．
【点睛】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
15．可以添加的数有：，，．
【分析】设添加的数为x，使2：4=8：x，或4：x=8：2或8：x=4：2，分别求出x的值．
【详解】设添加的数为，
当时，；
当时，；
当时，，
所以可以添加的数有：，，．
【点睛】考查了比例线段，本题解题关键是找出各种情况．设出要添加的数，使这四个数各自成比例，算出x的值．
16．（1）1440；900（2）成比例
【详解】试题分析：(1)、根据比例尺的比值关系得出实际距离；(2)、分别求出两地的图上距离之比和实际距离之比，从而得出答案．
试题解析：(1)、根据题意，得＝，＝.
因此，新安大街的实际长度是16×9000＝144 000(cm)＝1440 m，
光华大街的实际长度是10×9000＝90000(cm)＝900m；
(2)、新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10＝8∶5，
新安大街与光华大街的实际长度之比是1440∶900＝8∶5，
可以发现它们之间成比例．
17．C
【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解．
【详解】解：（厘米），
17000000厘米＝170千米，
答：上海到杭州的实际距离是170千米，
故选：C．
【点睛】本题考查比例尺—比例线段，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．B
【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可．
【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得：
1：x2＝1：9000000，
解得x1＝3000，x2＝ 3000（舍去）．
则该地图的比例尺是1：3000；
故选：B．
【点睛】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键．
19．C
【分析】由，可得：再代入代数式，约分后可得答案．
【详解】解： ，
故选：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
20．D
【详解】试题解析：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8，
∴x2=ab=32，∴x=±4，即a、b的比例中等于4．
故选D.
21．C
【详解】根据题意，可知，即，当a＝3，b＝2时，，解得．故选C．
22．B
【分析】根据比例的基本性质，若b2=ac，则b：c可求．
【详解】∵a：b=3：2，且b2=ac，
∴b：c=a：b=3：2．
故选B．
【点睛】根据比例的基本性质进行比例式和等积式的互相转换，并能够熟练应用．
23．﹣
【分析】先根据多项式除以单项式法则进行计算，再求出答案即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，将分式化简是解题的关键．
24．
【分析】设，再将分别用的代数式表示，再代入约去即可求解．
【详解】解：设，
则，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
25．128
【分析】根据比例尺直角计算即可．
【详解】解：设实际距离为xcm，
∵比例尺为1：800000，
∴16：x=1：800000
x=12800000
12800000cm=128km；
故答案为：128．
【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是明确比例尺的意义，注意单位转换．
26．##0.75
【分析】设可得 再代入求解即可．
【详解】解：设
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，设再分别表示x，y，z是解本题的关键．
27．C
【分析】如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，我们就说这四条线段叫做成比例线段．
【详解】∵1×1=3×2，故选项A中的四条线段成比例，
∵1×4=2×2，故选项B中的四条线段成比例，
∵1×4≠2×3，故选项C中的四条线段不成比例，
∵2×4=1×8，故选项D中的四条线段不成比例，
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是比例线段的概念，解题关键是注意相乘的时候，让最大的和最小的相乘，剩下的两条再相乘，看它们的积是否相等．
28．C
【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．
【详解】A、1×4≠2×3，故本选项错误；
B、5×15≠6×10，故本选项错误；
C、2×6=3×4，故选项正确；
D、3×15≠4×10，故选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
29．A
【分析】根据线段比例中项的概念，可得x2=3×6=18，依此即可求解．
【详解】∵线段的长x是3和6的比例中项，
∴x2=3×6=18，
∵线段是正数，
∴x=3 ．
故选A．
【点睛】此题考查了比例中项的定义．此题比较简单，注意掌握比例中项的定义是解此题的关键．
30．D
【分析】设它们的比例中项是 x，根据比例的基本性质得出 x2＝4×9，再进行计算即可．
【详解】设它们的比例中项是x，则 x2＝4×9，
x＝±6．
故选D．
【点睛】本题考查了比例中项的概念，用到的知识点是比例线段的概念、比例基本性质，关键是根据有关定义和性质列出方程．
31．B
【分析】根据比例的性质用x表示y，代入计算即可．
【详解】解：∵x：y=4：3，
∴x=y，
∴==，
故答案为B．
【点睛】本题考查的是比例的性质，根据比例的性质用一个字母表示另一个字母是解题的关键．
32．
【分析】由＝，根据比例的性质可得：3(2m﹣n)＝n，则可求得m＝n，继而求得答案.
【详解】解：∵＝
∴3(2m﹣n)＝n，
∴6m﹣3n＝n，
解得：m＝n，
∴＝.
故答案为：.
【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例的性质特点.
33．0.36．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【详解】解：设它的实际长度为x厘米，则：
1：9000＝40：x，
解得x＝360000．
360000厘米＝3.6km．
故答案是：3.6．
【点睛】考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．
34．
【分析】根据比例中项的定义可得c2=ab，从而易求c．
【详解】∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=4，b=5，
∴c2=20，
∴c=2（负数舍去），
故答案是2.
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
35．
【分析】设，然后根据比例的性质解三元一次方程组，最后将a、b的值代入所求解答即可．
【详解】设，则，
解得，
∴．
【点睛】本题集中考查了比例的基本性质、代数式求值及三元一次方程组的解法．
36．AC=45，BC=200．
【分析】根据可设AC=9x，BC=40x，根据勾股定理列出方程求得x的值，即可得AC、BC的值．
【详解】解：设AC=9x，BC=40x，
根据勾股定理可得，
即，
解得x=5．
∴AC=45，BC=200．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据勾股定理列出等式进行求解．
37．或﹣2．
【分析】依据等比性质可得，=k，分两种情况讨论，即可得到k的值．
【详解】∵，
∴由等比性质可得，=k，
当a+b+c+d≠0时，k==；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=-a，
∴k=；
综上所述，k的值为或-2．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
38．（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析.
【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；
（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长；
（3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．
【详解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，
∴a：b＝30：60＝1：2；
（2）∵线段 a、b、c、d 是成比例线段，
∴，
∵c＝12dm＝120cm，
∴，
∴d＝240cm；
（3）是，理由：
b2＝3600，ac＝30×120＝3600，
∴b2＝ac，
∴b是a和c的比例中项．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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