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第01讲 二次函数
第5章 二次函数
5.1二次函数
课程标准：
1.理解二次函数的概念．
2.学会列二次函数表达式，了解如何根据实际问题确定二次函数中自变量的取值范围．
课标解读：
1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数概念和意义．
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数．
知识点01 二次函数的概念
二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常数）的函数是二次函数．
若b＝0，则y＝ax2＋c； 若c＝0，则y＝ax2＋bx； 若b＝c＝0，则y＝ax2．
如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当a＝0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．
【即学即练1】
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1
【即学即练2】
2．二次函数中，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．一切实数
考法01 列二次函数关系式
【典例1】
3．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（　　）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考法02 根据二次函数的定义求参数
【典例2】
4．已知二次函数y ax2 2ax 3a2 3（其中x是自变量），当x 2时，y随x的增大而增大，且3 x 0时，y的最大值为9，则a的值为（ ）．
A．1或 B．或 C． D．1
题组A 基础过关练
5．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，则s与a之间的函数关系是（ ）
A．一次函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上都不对
7．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ）
A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx
C．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对
8．二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．若是关于的二次函数，则的值为 ．
10．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ．
11．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
题组B 能力提升练
12．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如果是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．全体实数
14．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
15．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
16．某市煤气公司要在地下修建一个容积为立方米的圆柱形煤气储存室，记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
17．若是二次函数，则的值为 ．
18．当函数是二次函数时，a的值为 ．
19．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
题组C 培优拔尖练
20．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
21．当函数 是二次函数时，的取值为（ ）
A． B． C． D．
22．下列函数是二次函数的有（　　）
（1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、（b）、（c）、（d）对应的图象排序（ ）
（1） （2） （3） （4）
（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关系）
A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1）
24．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（ ）
A． B． C． D．
25．当 时，函数是二次函数．
26．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是 ．
27．点是二次函数图像上一点，则的值为
28．已知是二次函数，则a的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】A. y＝＋x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. y＝x2－(x＋1)2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
C. y＝－x2＋3x＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D. y＝3x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】二次函数的二次项系数不能等于零．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系．明确二次函数的定义是解题的关键．
3．C
【详解】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得②③④是二次函数，故选C．
4．D
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由3 x 0时时，y的最大值为9，可得x=-3时，y=9，即可求出a．
【详解】∵二次函数y ax2 2ax 3a2 3 (其中x是自变量)，
∴对称轴是直线，
∵当x 2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∵3 x 0时，y的最大值为9，
又∵a>0，对称轴是直线，
，
∴在x=-3时，y的最大值为9，
∴x=-3时, ，
∴，
∴a=1,或a= 2(不合题意舍去).
故选D.
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握二次函数的基本性质即可解答.
5．A
【分析】根据二次函数的定义：形如( a≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可．
【详解】解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、不是二次函数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积s和边长a之间的关系可以表示s=a2，
∴s与a之间的函数关系是二次函数．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a，b，c是常数）的函数关系叫做y是x的二次函数是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义判断即可．
【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；
B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；
C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；
D.以上说法都不对，故此选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数，一次函数的一次项系数．
8．C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．
【详解】解：二次函数y=x2－2x+3的一次项系数是－2；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
9．2
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【详解】解：由题意可知 m2-2=2，m+2≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
10． 3 -5 1
【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
11．（1）；（2）且．
【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题；
【详解】（1）由题意得，，解得m=；
（2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.
【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念．
12．A
【分析】根据二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，逐一分析判断即可得出正确选项．
【详解】A、是二次函数，符合题意；
B、是一次函数，不合题意；
C、是反比例函数，不合题意；
D、不是二次函数，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是本题的关键．
13．B
【分析】直接利用二次函数的定义得出答案．
【详解】∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．
14．D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
15．B
【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式．
【详解】解：如图所示，
∵中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．
16．B
【分析】根据已知条件求出S随h，S随r变化的函数关系式即可得到解答．
【详解】解：由已知可得：S=πr2，Sh=104，
∴S=，
∴S与h，S与r满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查函数类型的判别，根据实际问题列出函数解析式并根据解析式的特征判断函数的类型是解题关键．
17．4
【分析】根据二次函数定义可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．
18．
【分析】根据二次函数的定义得到且，由此求得a的值．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
19．2019
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022
=-3（m2-m）+2022
=-3+2022
=2019．
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
20．D
【分析】根据二次函数的定义：（a≠0且a是常数），可得答案．
【详解】解：A、是一次函数，故A不符合题意；
B、是反比例函数，故B不符合题意，
C、a=0时不是二次函数，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．
21．D
【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．
【详解】∵函数 是二次函数，
∴a-1≠0，=2，
∴a≠1，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．
22．B
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可得．
【详解】（1）函数是二次函数；
（2）函数不是二次函数；
（3）函数整理为，是二次函数；
（4）只有当时，函数才是二次函数；
（5）函数是一次函数；
（6）函数整理为，是一次函数；
综上，是二次函数的为（1）（3），共有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．
23．A
【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图象的变化规律，选择正确结论．
【详解】解：根据题意分析可得：
（a）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图象为（3）；
（b）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图象为（4）；
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图象为（1）；
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图象为（2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象，主要利用了反比例函数图象，抛物线，一次函数图象，分析得到各小题中的函数关系是解题的关键．
24．B
【分析】利用正比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案．
【详解】A．不是二次函数关系，故此选项不符合题意；
B．是二次函数关系，故此选项符合题意；
C．y=2x-3是一次函数关系，故此选项不符合题意；
D．y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数关系，故此选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了正比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题的关键．
25．2
【分析】根据二次函数的定义计算即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义即形如，熟练掌握定义是解题的关键．
26．##
【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案．
【详解】解：∵正方形的边长是，且
∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm
∴矩形的面积为：
故答案为：
【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．
27．6
【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可．
【详解】解：∵点是二次函数图像上，
∴则．
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
28．
【分析】本题主要考查二次函数的定义.二次函数:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的
函数叫做关于x的二次函数.本题根据二次函数的定义可得a+1≠0,从而解决此题.
【详解】解:要使是二次函数,则
a+1≠0
解得
所以当时, 是二次函数.
故答案为.
【点睛】此题考查二次函数的定义，解题关键在于掌握二次函数的性质定义.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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