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第16讲 直线和圆的位置关系
课程标准
1．知道直线和圆的三种位置关系—相交、相切、相离；2．掌握切线的概念、圆的切线的性质，并学会运用； 3．能判断一条直线是不是圆的切线，会过圆上一点作圆的切线； 4．知道三角形的内切圆、三角形的内心的概念，会用尺规作已知三角形的内切圆．
知识点01 直线与圆的位置关系
1．切线的定义：
直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．此时直线与圆的位置关系称为相切．
2．直线和圆的三种位置关系：
（1）相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
（2）相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．
（3）相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
3．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，
（1）d＜r直线l与⊙O相交；
（2）d=r直线l与⊙O相切；
（3）d＞r直线l与⊙O相离．
注意：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
知识点02 切线的性质定理和判定定理
1、切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径．
注意：
切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直．
2、切线的性质定理推论
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3、切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
注意：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可．
4、切线的其他判定方法
（1）根据定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
（2）根据数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
知识点03 三角形的内切圆和内心
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 三角形的内心到三边的距离都相等．
3．三角形内心与外心的对比
名称 外心 内心
图形
性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形的三边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内 内心一定在三角形内
角度关系
注意：
（1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
（2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即（S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）．
考法01 直线与圆的位置关系的应用
【典例1】
1．已知的半径为3，圆心O到直线的距离为5，则直线与的位置关系（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【即学即练】
2．已知的半径等于5，点P在直线l上，圆心O到点P的距离为5，那么直线l与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切
【典例2】
3．平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练】
4．在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．2
考法02 切线的性质的实际应用
【典例3】
5．如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（ ）
A．64° B．65° C．67° D．68°
【即学即练】
6．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
【典例4】
7．如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【即学即练】
8．如图所示，是的外接圆，为的直径，过点作的切线，交的延长线于点D.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考法03 三角形内切圆的有关计算
【典例5】
9．如图，圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，若图中3个阴影三角形的面积之和为4，内切圆半径为1，则的周长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【即学即练】
10．如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【典例6】
11．如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60° B．65 C．70° D．75°
【即学即练】
12．如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（ ）度
A．70 B．135 C．55 D．125
题组A 基础过关练
13．已知与直线相交，且圆心O到直线的距离是方程的根，则的半径可为（ ）．
A．1 B．2 C．2.5 D．3
14．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ）
A．23° B．44° C．46° D．57°
15．已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
16．若，，则以点O为圆心，为半径的圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
17．中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
18．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
19．如图，内接于，直线与相切于点B，若，则＝ ．
20．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 ．
21．如图，线段经过圆心，交于点、，点在上，连接、，，是的切线吗？请说明理由．
22．如图，是的直径，点D在的延长线上，C为上的一点，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线．
题组B 能力提升练
23．如图，正方形的顶点A、D在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
24．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（　　）
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
25．如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
26．点I是的内心，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．或
27．矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（　　）
A． B． C． D．2
28．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别A、B．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，则的最大值为（　　）
A． B． C．4 D．
29．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ．
30．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ．
31．如图，是的直径，是的切线，C为切点，与相交于点E．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，与相交于点F，若的半径为3，，求的长．
32．如图，在中，，点E是的中点，以为直径的与边交于点D，连接．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的直径．
题组C 培优拔尖练
33．如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与的延长线交于点．若点是弧的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
34．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）域的概率为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6.5 B．7 C．5.5 D．6
36．在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是10，点的坐标是，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
37．等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
38．如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
39．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
40．如图，在矩形中，点为的中点，点为边上的动点，连结．将沿着翻折，使点的对应点恰好落在线段上．若三点共线，则的值为 ；若，且这样的点有且只有一个时，则的长为 ．
41．如图1，A，P，B，C是上的四个点，．
(1)若，判断的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，若CP是的直径，，交于点E，过点A的切线交的延长线于点Q，若，，求的值．
42．如图，将含30°角的直角三角板绕其直角顶点C顺时针旋转α，得到与交于点D，过点D作交于点E，连接．设的面积为S．
(1)当时，求x的值．
(2)①求证为直角三角形；
②求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(3)以点E为圆心，为半径作，当时，判断与的位置关系，并求相应的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据的半径为3，圆心O到直线的距离为5得，，可得，即可得．
【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为5，
∴，，
∴，
∴直线与相离，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系．
2．D
【分析】根据垂线段最短，则点O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是相切或相交．
【详解】解：∵的半径为5，，
∴点O到直线l的距离，
∴直线l与的位置关系是相切或相交．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，此题要特别注意不一定是点到直线的距离．判断点和直线的位置关系，必须比较点到直线的距离和圆的半径之间的大小关系．
3．D
【分析】根据直线与相离得到直线与圆心的距离大于半径，于是得到结论．
【详解】解：的半径为3，若直线与相离，
圆心到直线的距离，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题的关键．
4．D
【分析】根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点为直线上任意一点，
如下图，
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小，
此时：＝，
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键．
5．D
【分析】如图：作直径AF、连接DF，根据切线的性质求出∠F的度数，求出弧AD、弧DC的度数，进而弧ADC的度数即可.
【详解】解：如图：作直径AF，连接DF，
∵AE是圆O的切线，
∴∠EAF=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠EAD+∠DAF=90°，∠F+∠DAF=90°，
∴∠F=∠DAE
∵∠DAE=12°（已知），
∴∠F=12°，
∴的度数是2×12°=24°，
∵，
∴弧的度数是×（360°-24°）=112°，
∴的度数是24°+112°=136°，
∴∠ABC=×136°=68°．
故答案为D.
【点睛】本题主要考查了切线的性质的应用、圆周角定理、弦切角等于该弦与切线所夹弧所对的圆周角等知识点，正确作出辅助线、求出的度数是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：为圆的切线，
，即，
，
，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
7．C
【分析】直接根据切线的性质作答即可．
【详解】解：∵，是的两条切线，A，B是切点，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，即切线与半径成角．
8．C
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质计算得到答案．
【详解】解：连接，
为的切线，
.
，
，
.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．D
【分析】根据题意可推出的面积为8，进而即可求解出的周长．
【详解】解：∵圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，图中3个阴影三角形的面积之和为4，
∴的面积为8，
∵内切圆半径为1，
∴的周长，
则的周长为：16．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，根据三角形内切圆半径乘以三角形周长除以2得出三角形面积是解决本题的关键．
10．A
【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．
【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，
∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．
11．B
【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
点 O 是△ABC 的内心，
，，
，
，
点 O是△DBC 的外心，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．
12．D
【分析】根据圆周角定理求出，求出度数，根据三角形内角和定理求出，根据三角形的内心得出，，求出的度数，再求出答案即可．
【详解】解：在中，，是外心，
，
，
，
为的内心，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
13．D
【分析】根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得，又因为圆心O到直线的距离是方程的根，解得即可得到答案．
【详解】∵圆心O到直线的距离是方程的根，
∴，
∵与直线相交，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系及解一元一次方程的知识，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系，同时注意圆心到直线的距离是非负数是解题的关键．
14．B
【分析】连接，由切线的性质可得由圆周角定理可求得的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案．
【详解】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．
15．D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
16．C
【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：如图，作，垂足为D，
∵，，
∴，
∵，
∴直线与圆O相离．
故选：C．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，要正确作出圆心到直线的距离，然后求出距离，与半径进行比较，即可解决问题．
17．D
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，
故选：D．
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆的位置关系，理解以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．
18．C
【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解．
【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时，
P到y轴距离时，⊙P与y轴相切，
∴移动时间（秒）；
（2）当 的圆心P在y轴右侧时，
P到y轴距离时，与y轴相切，
∴移动时间（秒）．
故选C．
【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径．
19．##40度
【分析】先根据切线的性质可得，由可得，由此可以求出的度数，根据角的和差可以求出的度数．
【详解】解：∵直线与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∠OBA=∠OAB，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识．熟练掌握直线与圆相切的性质，圆周角定理是解题的关键．
20．4．
【详解】试题分析：∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，∴△=16﹣4m=0，
解得，m=4．
故答案是4．
考点：1.直线与圆的位置关系2.根的判别式．
21．是的切线，理由见详解
【分析】根据题意和等腰三角形的性质可得到直角三角形，由此即可求解．
【详解】解：线段经过圆心，如图所示，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
即在中，，即，且点在圆上，为半径，
∴是的切线．
故是的切线．
【点睛】本题主要考查用等腰三角形的性质证明圆的切线，掌握切线的判定方法是解题的关键．
22．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
又∵点D在上，
是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法．
23．A
【分析】设正方形的边长为，⊙O的半径为，则，，结合垂径定理，勾股定理得出，则，，即可得出结论．
【详解】如图：设与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，
为中点，
设正方形的边长为，⊙O的半径为，
，
在中，，
，
，
正方形周长为，⊙O的周长为，
，，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆切线的性质，正方形的性质，垂径定理，勾股定理，以及正方形的周长和圆的周长公式，熟练掌握垂经定理和勾股定理找到正方形的边长和圆的半径之间的关系是解题关键．
24．A
【详解】解：连接OA，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=AC=2；
∵∠DOB=45°，
∴∠MND=∠DOB=22．5°，
故选A．
【点睛】本题考查切线的性质；等腰直角三角形．
25．B
【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用点是的内心可得平分，平分，从而可求出，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
是的内切圆，点是内心，
平分，平分，
，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键．
26．A
【分析】先根据内心的定义得到，再根据作答即可．
【详解】如图，
∵点I是的内心，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形角平分线的交点．
27．D
【分析】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，若固定不动，则E随的位置变动而变化，因，所以点E运动的轨迹是以为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，当时，即为⊙O的切线时，最大，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，
，
点在以为直径的上，如下图，
∵当是⊙O的切线时，最大，
∴当最大时，，
∵，
∴，
∴．
故答案为D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度．
28．A
【分析】根据以AB为斜边在右上方作，可知点C在以为直径的上运动，根据点C坐标为，可构造新的函数，则函数与y轴交点最高处即为的最大值，此时，直线与相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为，代入直线，可得，即可得出的最大值为．
【详解】解：由题可得，点C在以为直径的上运动，
点C坐标为，可构造新的函数，则函数与y轴交点最高处即为的最大值，
此时，直线与相切，交x轴与E，如图所示，
∴E、F，
∴，
∴是等腰三角形，，
连接，
∵A、B，
∴D，
∴，
∴，
根据可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为，
∴C，
代入直线，可得
，
解得，
∴的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解．
29．
【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答．
【详解】解：设与相切于点F，连接，，
∵，，
∴，
中，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴若与相切时，和一定相交；
若与相切时，和一定相离．
同理当与相切于点M时，连接，，计算得，
∴此时，
∴当时，与矩形的各边都没有公共点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算．
30．##
【分析】设直线交于点（在点右边），当与相切时，即为点到上的点的最大距离．
【详解】设直线交于点（在点右边），则点到上的点的距离的最大值为的长度
当与相切时，最长
设切点分别为连接，如图
∵，，
∴,
∵与相切
∴
∵的半径为
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为
【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点到上的点的最大距离的图形．
31．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，再由，可得，然后根据，可得到，从而得到，即可；
（2）连接，设，则，在中，由勾股定理可得，从而得到，再证得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，
设，
在中，，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理是解题的关键．
32．(1)相切，见解析
(2)15
【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为直角得出，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，则利用等腰三角形的性质得，由于，即得出，即，即可根据切线的判定定理得到与相切；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定与性质即可得到结论．
【详解】（1）直线是的切线．
理由：连接DO，如图，
∵为直径，
∴．
∵E为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵是的半径，
∴与相切；
（2）由（1）知，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
∴直径为15．
【点睛】本题考查切线的判定定理，圆周角定理的推论，直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的判定与性质等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
33．D
【分析】连接，根据圆内接四边形求得，根据切线的性质得出，根据点是弧的中点，得出，根据三角形内角和定理求得，最后在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵圆内接四边形的边过圆心，，
∴，
又∵
∴，∴
∵是的切线，
∴,
∵点是弧的中点，
∴
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，弦与弧的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
34．D
【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．
【详解】解：∵如图所示的正三角形，
∴，
设三角形的边长是a，
∴，
∵是内切圆，
∴，，
∴，
则正三角形的面积是，而圆的半径是，面积是，
因此概率=．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率，正三角形的内切圆，用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．
35．D
【分析】如图，连接、，根据三角形内心的性质得平分，平分，再根据平移的性质和平行线的性质证明，，所以，，则．
【详解】如图，连接、，
点为的内心，
平分，平分，
，，
平移使其顶点与重合，
，，
，，
，，
，，
，
即图中阴影部分的周长为6．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了平行线的性质．
36．A
【分析】先利用勾股定理求出点P到原点的距离，再判断与半径r的大小关系，从而得出答案．
【详解】解：∵点的坐标是，
∴由勾股定理可得，
又半径是10，
∴点在内上，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，点P在圆上，点P在圆内．
37．B
【分析】和都是等腰直角三角形，可证，由全等三角形对应角相等得为底边，则高最小时，三角形面积最小，则当为的切线时，P到的距离最短，求得这个最小点，再得到矩形为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得的长，即可求解．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的圆上，
则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小，
∵绕点A顺时针旋转一周，
∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上，
∴当为的切线时，P到的距离最短，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
∴， ，
此时的面积为
即面积的最小值为4．
故选：B
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意得到点P的轨迹是解题的关键．
38．B
【分析】①连接，根据是的切线，，推出，得到，根据，推出，得到，得到平分，此结论正确；
②根据是的直径，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，推出，得到，根据平分，推出，根据，，推出，得到，得到，此结论正确；
③根据若，推出是斜边上的中线，推出，根据，推出，得到是等边三角形，得到，连接，则，根据，推出，得到，推出，此结论不正确；
④根据，，，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，此结论正确．
【详解】①连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故平分正确；
②∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故正确；
③∵若，
∴是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故若，则阴影部分的面积为不正确；
④∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴,
∴，
∵，
∴．
故若，则正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，角平分线，圆周角，勾股定理，平行线，相似三角形，等边三角形，扇形面积，锐角三角函数等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握圆的切线的性质，角平分线的定义，圆周角定理的推论，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，正切的定义．
39．或
【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
40． 4
【分析】当A，，C三点共线时，连结三点，根据矩形的性质得出，，继而得出，即可，依题意以为半径的⊙A与相切，根据折叠的性质得出，继而根据含30度角的直角三角形的性质得出的长，进而即可求解．
【详解】如图，当A，，C三点共线时，连结三点，
∵在矩形中，点为的中点，
∴，，，，
∴
∴，
∴，
∴．
当这样的点有且只有一个时，
即以为半径的与相切，
∴
∵为的中点，则，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∴．
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，求余弦值，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
41．(1)为等边三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据条件得出，再根据同弧所对应的圆周角相等，最终得到，再根据等边三角形的判定定理即可得出；
（2）连接，根据为直径，得出，根据垂经定理证明出，建立等式求解即可．
【详解】（1）解：若，为等边三角形，理由如下：
，
，
根据同弧所对应的圆周角相等，
，
，
为等边三角形；
（2）解：连接，
为直径，
，
，根据垂经定理得：
，
，
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了圆周角、等边三角形的判定定理及性质、切线的性质、三角形相似的判定及性质、垂经定理、勾股定理等知识点.解题的关键是利用相似三角形的判定及性质建立等式求解．
42．(1)
(2)①证明见解析；②
(3)与相离时，；与相交时，
【分析】（1）只需要证明是等边三角形即可得到答案；
（2）①由旋转的性质和平行线的性质证明，进而得到B、D、C、E四点共圆，即可证明是直角三角形；②证明，求出．，再根据三角形面积公式即可得到答案；
（3）根据求出或．然后分两种情况求出的值，即可判断与的位置关系，再求出对应的正切值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∴；
（2）解；①由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴B、D、C、E四点共圆，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，
∴．
∴，．
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
解得或．
①当时， ，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴此时与相离．
过D作于F，则，．
∴．
∴；
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时与相交．
同理可求出．
综上所述，与相离时，；与相交时，．
【点睛】本题主要考查了，旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质判定以及直线与圆的位置关系的确定，解直角三角形，是一道综合性较强的题目，难度大，熟知相关知识是解题的关键．
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