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第20讲 圆单元复习
课程标准
1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．
(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
注意：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线．
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
⑤平行弦夹的弧相等．
注意：
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论．（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
注意：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交．
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中．
知识点02 与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外；　
点P在⊙O 上；
点P在⊙O 内．
注意：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系．
2．判定几个点在同一个圆上的方法
当时，在⊙O 上．
3．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为．
(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离．
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切．
(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交．
4．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．
③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形
1．三角形的内心、外心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径)．
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部．
2．圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．
知识点04 圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：，周长．
圆心角为、半径为R的弧长．
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积．
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
注意：
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量．
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：．
考法01 圆的有关概念及性质
【典例1】
1．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】
2．如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
3．如图，是的直径， ，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
【典例3】
4．如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC
【即学即练】
5．如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
【典例4】
6．如图，是的直径，于E，，，则为（ ）
A．17 B．30 C．34 D．36
【即学即练】
7．如图，是的弦，半径为，，则弦的长为（　　）
A． B． C． D．
考法03 与圆有关的位置关系
【典例5】
8．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【即学即练】
9．在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．．
【典例6】
10．已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【即学即练】
11．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
考法04 圆中有关的计算
【典例7】
12．如图，是的外接圆，，则的度数为（　　）
A．45° B．55° C．70° D．75°
【即学即练】
13．如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例8】
14．若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【即学即练】
15．半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
考法05 圆与其他知识的综合运用
【典例9】
16．如图，与正方形的两边，相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（ ）
A．5 B．5.5 C． D．6
【即学即练】
17．已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
18．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
19．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
20．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
21．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（　　）
A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．不能确定
22．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD B．AC＝BD C．BE＝CD D．BE＝AD
23．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（　　）
A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm
24．如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为 ．
25．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为 ．
26．如图，直线，垂足为P，测得．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切；
（2）求该圆弧的长．
27．如图，已知AB是⊙O的直径，．
（1）求的度数；
（2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长．
题组B 能力提升练
28．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ）
A．2 B．3 C．4 D．5
29．如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（ ）
A．12π B．6π C．5π D．4π
30．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）
A．9cm B．6cm C．3cm D．cm
31．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
32．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．2π
33．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
34．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为 .
35．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 ．
36．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
37．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)当，时，求线段的长．
题组C 培优拔尖练
38．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于( )
A．140° B．130° C．120° D．110°
39．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（　　）
A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°
40．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）
A．10 B．18 C．20 D．22
41．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
42．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
43．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
44．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为 ．
45．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．（保留π）
46．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
47．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝，求BF的长度．
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
故选B
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
2．A
【分析】根据同一个圆中同弧或等弧所对圆周角、圆心角相等即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴ ,
故选A．
【点睛】本题考查弧与圆周角之间的关系，同一个圆中同弧或等弧所对圆周角、圆心角相等圆周角等于圆心角一半．
3．D
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，进而根据角的和差就可算出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴，
∴．
故答案为：D．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对圆心角相等是解题的关键．
4．D
【分析】取的中点，连接，，则＝2 ＝2根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得到．
【详解】如图，取弧的中点，连接，，
则＝2 ＝2
∵＝2
∴ ＝=
．
在中，，
，即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出是解题的关键．
5．D
【分析】在 ⊙O中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项．
【详解】在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在与中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点,
，
在与中，
，
，
，，故B、C选项正确；
和不一定相等，
和不一定垂直，故D选项不成立．
故选：D．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解决本题的关键．
6．C
【分析】连接，设半径为，则，由垂径定理可得，，由勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
设半径为，则，，
∵，是的直径，
∴，，
由勾股定理可得：，即
解得，
，
故选：C
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
7．C
【分析】过点O作的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中根据三角函数进行计算，然后再由垂径定理得到的长．
【详解】解：如图：过点O作于C，
则，．
在中，，
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容和解直角三角形的方法和步骤．
8．C
【分析】根据的半径为，点P到圆心O的距离为，即可判定点P和的位置关系．
【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，，
∴点P在外．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断点与圆的位置关系，熟练掌握和运用判断点与圆的位置关系的方法是解决本题的关键．
9．C
【分析】由点在以为圆心，2为半径的圆内知，据此可得答案．
【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内，
∴，
则，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．
10．A
【分析】根据的面积，求出半径，即可求解．
【详解】解：设的半径为，
由的面积为可得，解得
∵，
∴直线与相交，
故选：A
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法，圆的半径为，直线到圆心的距离为，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
11．C
【分析】如图，作于．解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：如图，作于．
，
，
在中，，
，
直线与相离．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识．
12．B
【分析】由是的外接圆，，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
【详解】解：是的外接圆，，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
13．A
【分析】由圆周角定理可求得的度数，再由已知及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
14．D
【分析】根据弧长的计算公式计算即可．
【详解】解：.
故选：D．
【点睛】本题考查了求弧长，解题的关键是掌握弧长的公式，在代入圆心角度数时，n的值一定不要带度数．
15．C
【分析】根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
16．D
【分析】设与正方形的边，切于点F，H，先证四边形是正方形，求出，再根据切线长定理可得．
【详解】解：如图，设与正方形的边，切于点F，H，
则，
，，
四边形是正方形，
的半径为4，且，
，，
，
与相切于点E，
，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，解题的关键是根据切线长定理得出．
17．B
【分析】作于点，连接，在直角中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得．
【详解】解析：如图，作于点，连接，设圆的半径是，
则在直角中，，，
，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算．
18．B
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【详解】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B.
【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
19．C
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长得到圆锥的展开图扇形的弧长＝2π 10，然后根据扇形的弧长公式l＝ 计算即可求出n．
【详解】解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为．
∵圆锥的底面圆的周长＝2π 10＝20π，
∴圆锥的展开图扇形的弧长＝20π，
∴20π＝，
∴n＝120°．
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长等于扇形的半径．也考查了扇形的弧长公式．
20．B
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5即可得到△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
21．D
【分析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．
【详解】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小.
故选D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用．
熟练掌握三者之间的关系是解本题的关键．
22．B
【分析】连接BC，根据弧与弦的关系得出，进而判断即可．
【详解】连接BC，
∵
∴
∴
∴AC＝BD
故选：B
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据弧与弦的关系得出．
23．C
【分析】连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，先根据钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm求出OA及OD的长，再根据勾股定理即可求出AD的长，由垂径定理即可得出结论．
【详解】
解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OA=5mm，OD=8-5=3mm，
∵OD⊥AB，
∴在Rt△OAD中，AD===4mm，
∴AB=2AD=8mm．
故选C．
【点睛】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．1
【分析】由题意易得，根据勾股定理可求OE的长，然后问题可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为1．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
25．
【分析】连接OC，可知，点E为CD的中点，设⊙O的半径为x，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=x-2，根据勾股定理，求得x值即可．
【详解】连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，
设⊙O的半径为x，
则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
故答案为．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）利用切线定义作圆，使圆与AB，CD相切，弧AC就是所要画的劣弧；
（2）用弧长公式计算即可求出．
【详解】解：（1）分别从点A，C处作垂线，两垂线相交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆，弧AC就是所求的劣弧；
（2）由题意及作图过程可得：∠AOC=90°，
∵∠ACP=45°，AC=6cm，
∴OA==cm，
∴弧AC==cm．
【点睛】本题主要考查了学生的画题能力，利用切线的性质确定圆心及利用弧长公式解决实际问题的能力．
27．（1）60°；（2）
【分析】（1）连结，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径所对的圆周角是直角得到，根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数；
（2）首先根据角所对的直角边是斜边的一半求得，然后根据勾股定理求出BD的长度，利用面积法求出DE的长度，最后根据垂径定理即可求出EF的长度．
【详解】解：（1）如图所示，连结，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，且是直径，
∴．
【点睛】此题考查了勾股定理，垂径定理的运用，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是连接BD，得到．
28．D
【分析】根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可．
【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，
∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，
∴圆的半径应该大于4．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大．
29．D
【分析】如图，连接OC，利用等腰三角形的性质及内角和定理求得∠AOC的度数，然后利用弧长公式进行解答即可．
【详解】解：如图，连接OC，
∵OA＝OC，∠CAB＝30°，
∴∠C＝∠CAB＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴弧AC的长度l＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长的计算，根据题意求得∠AOC的度数是解题的关键．
30．C
【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再利用勾股定理求OM．
【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示．直径ED⊥AB于点M，
则ED=10cm，AB=8cm，
由垂径定理知：点M为AB中点，
∴AM=4cm，
∵半径OA=5cm，
∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，
∴OM=3cm．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，连接半径是解答此题的关键．
31．A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM ME′．
【详解】如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
32．A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，
∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，
∴∠DOQ＝90°，
∴为⊙O的周长，
∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，
故选：A．
33．A
【分析】证明O为的两边中垂线的交点，判断甲，根据的圆周角所对的弦是直径判断乙，从而可得答案．
【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点，
∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴ED=EC，
∴△DEC为等腰三角形，
∵射线L为∠DEC的角平分线，
∴射线L为线段CD的中垂线，
∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC=，∠DCB=，
∴PC、QD为此圆直径，
∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
【点睛】本题考查的是确定圆的条件，涉及到矩形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．
34．cm
【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
在直角三角形COE中，CE=，
折痕CD的长为2×=（cm）．
故答案为cm
【点睛】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．
35．
【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°
∵四边形BCDE是正方形
∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形
∴AO＝FO，AFAO
∵∠BOC＝∠AOF＝90°
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO
∴△AOB≌△FOC（SAS）
∴AB＝CF＝4
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF
∴AF≤AC+CF＝2+4＝6
∴AF的最大值为6
∵AFAO
∴AO的最大值为3．
故答案为：3
36．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）解：作法：分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；

（2）连接、，交于E，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设的半径为R，在中，
∴，
即，
∴，
答：圆片的半径R为．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
37．(1)见解析
(2)
【分析】解：（1）连接，根据角平分线得出，根据半径相等可得，进而得出//，再利用等腰三角形三线合一性质证出即可；
（2）连接，在直角三角形ABE中，根据三角函数定义求出，然后得出，可得，解得，求出，再证即可．
【详解】（1）证明：（1）连接，如图：
平分，
，
，
，
，
//，
，平分，
，
，
为的切线；
（2）解：连接，如图：
，平分，
，，
，，
，，
，
设，则，
是切线，
，
，
，解得，
，，
为直径，
，
//，
，
，即，
．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的证明，直径所对圆周角性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，属于中考热点题型，证明切线的思路：连接圆心和准切点，证明半径垂直准切线，准切点在圆上即可．
38．A
【分析】欲求∠AOC，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【详解】因为∠ABC和∠AOC是同一条弧AC所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC×70°=140°.
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理.
39．B
【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
【详解】
解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB＝；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB＝180° ∠ACB＝180° 40°＝140°；
所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．
40．C
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10
＝20．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB．
41．B
【分析】根据圆心角，弧，弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，
∴AB与AD不一定相等，故此选项不符合题意；
B、∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴BC=CD，，故此选项符合题意；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，
∴与不一定相等，不符合题意；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，不符合题意．
故答案为：B．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
42．C
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【详解】解：∵F为的中点，
∴，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴＝180°，
∴＝180°，
∴，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
43．D
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH=，
在Rt△CKH中，CK= =，
∴CQ的最大值为1+，
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
44．
【详解】解：∵AQ⊥CQ，
∴∠AQC＝90°，
∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，
∴ACAB＝2，
∴点Q的运动路径长为π
45．2﹣
【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC，然后代入即可得到答案．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．
∴AC =1，S△ABC=×2×2=2，
∵三条弧所对的圆心角的和为180°，
∴三个扇形的面积和==，
∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC 三个扇形的面积和=2﹣
故答案为：2﹣
【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握S扇形=，是解题的关键．
46．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；
（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．
47．（1）AD＝6；（2）BF＝2；（3）△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．
【分析】（1）连接BD，根据矩形性质及圆周角定理可得答案；
（2）过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，由矩形性质及余角性质得∠EGM＝∠AED，然后由全等三角形的性质及相似三角形的判定与性质可得答案；
（3）过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，根据直角三角形的性质及三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）如图，连接BD，
在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵⊙O半径为5，
∴BD＝10，
∴AD＝ ＝6；
（2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，
在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠EMG＝∠D＝90°，
∴四边形ADMN是矩形，
∴∠EGM+∠MEG＝90°，
∴∠AED+∠MEG＝90°，
∴∠EGM＝∠AED，
在△AEG中，∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠EGF＝45°，
∴AE＝EG，
∴△AED≌△EGM（AAS），
∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6，
∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ，
∵MNADBC，
∴△ABF∽△ANG，
∴ ，
解得BF＝2；
（3）△AEF的面积存在最小值，理由如下：
过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，
∴EP＝ r，IQ＝r，
∵IA+IQ≥AD，
∴r+r≥6，
∴r≥12﹣6 ，
∴S△AEF＝AB EP＝4r，
∴S△AEF≥4（12﹣6），
∴S△AEF﹣48，
∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．
【点睛】此题考查了矩形的性质、圆的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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