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第07讲 确定二次函数的表达式
课程标准
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式；2.能根据条件恰当地选取二次函数表达式，能进行二次函数不同的表达形式之间的转化。
知识点 用待定系数法求二次函数解析式
1．二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2．确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
注意：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；
②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；
③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
题组A 基础过关练
1．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
2．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：
… 0 1 …
… 1 …
则代数式的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知：抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，若点C（-3，b）在抛物线上，则△ABC的面积为（　　）
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
5．把y=﹣x2﹣4x+2化成y=a （x+m）2+n的形式是（　　）
A．y=﹣（x﹣2）2﹣2 B．y=﹣（x﹣2）2+6 C．y=﹣（x+2）2﹣2 D．y=﹣（x+2）2+6
6．抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线；
②；
③时，；
④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则 ．
8．二次函数y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为 ．
9．已知：二次函数的图象经过点．
(1)求b；
(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
10．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
题组B 能力提升练
11．在平面直角坐标系中，已知抛物线，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
12．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线y= x2+bx+c(c>0)与x轴交于A(x1，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，若BC=，则tan∠DAB的值为（ ）
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系中，抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，它们的交点坐标为（－1，a），若抛物线C1表达式为，则抛物线C2的顶点坐标为（ ）
A．（－4，n－9m） B．（－4，9m－n） C．（－5，n－9m） D．（－5，9m－n）
15．某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … －3 0 －1 0 －3 …
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）
A． B． C． D．
16．将如图所示抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
17．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝ ．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ．
18．若抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k），则k的值是 ．
19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，则y的取值范围．
20．（1）已知二次函数
①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向
②列表，在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象
（2）物线过，两点，与轴的交点为，求抛物线的解析式．
题组C 培优拔尖练
21．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x …… ﹣1 0 1 2 ……
y …… 0 3 4 3 ……
那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．与x轴的另一个交点是(3，0)
C．与y轴交于负半轴 D．在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小
23．二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
24．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
25．若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
26．如图，抛物线与交于点，且抛物线经过原点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C．当时， D．
27．（1）抛物线必过 点．
（2）若二次函数经过原点，则 ，则它的解析式是 ．
（3）若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 ．
（4）若二次函数的最大值是3，则 ．
28．如图，正方形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线的图象上，则的值为 ．
29．已知抛物线（m为常数）与y轴的交点为C点．
(1)若抛物线经过原点，求m的值；
(2)若点和点在抛物线上，求C点的坐标；
(3)当，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．
30．已知二次函数，其中．
(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；
(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．
考法01 用待定系数法求二次函数解析式
31．若二次函数的图像经过原点，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或者2 D．无法确定
32．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
33．已知二次函数y＝ax2+bx+1，若当x＝1时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝4，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
34．已知二次函数（a、b是常数，）的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考法02 用待定系数法解题
35．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
36．运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）近似满足函数关系．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
37．你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为，距地面均为，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离、处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（ ）
A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m
38．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　）
A．y=﹣（x﹣13）2+59.9 B．y=﹣0.1x2+2.6x+31
C．y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D．y=﹣0.1x2+2.6x+43
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
2．D
【分析】依题知，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B；可得B点坐标，又OB=OA，可得A点坐标，然后将A的坐标代入函数解析式即可；
【详解】依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，
∴ B（0，c），
∴ OB＝c，
∵ OA＝OB，
∴ OA＝c，
∴ A（c，0），
∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去），
故选：D
【点睛】本题考查二次函数待定系数法，重点在理解和熟练求解过程的转化．
3．A
【分析】由表格数据可知，当x=-2或0时，y=-2，所以可以判断出，（-1，-3）是抛物线的顶点，于是假设顶点式，代入一组数据可求出解析式，得出a、b、c的值，于是可求出9a 3的值．
【详解】解：由表格数据可知，当x=-2或0时，y= 2；
∴（-1，-3）是抛物线的顶点，
∴y=a(x+1)2 3
把x=0，y=-2代入得a=1，
∴y=(x+1)2 3=
∴a=1，,b=,2,c=-2
∴9a 3b= 9×1 3×2=3.
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法，熟悉待定系数法是解题关键．
4．A
【分析】首先利用顶点式得出顶点A为（-1，0），由OB=OA得出B点坐标为（0，-1），代入求得a，得出抛物线解析式，进一步代入点C求得b，利用面积的和与差得出△ABC的面积为即可．
【详解】∵抛物线的顶点为A，
∴顶点A为( 1,0)，
∵图象与y轴负半轴交点为B，且OB=OA，
∴B点坐标为(0, 1)，
代入解得a= 1，
∴抛物线，
∵点C( 3,b)在抛物线上，
∴b= 4，
如图，
△ABC的面积=×(1+4)×3 ×1×1 ×2×4=3.
故选A.
【点睛】本题考查二次函数的性质.
5．D
【分析】利用配方法先提出二次项系数-1,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式.
【详解】y=﹣x2﹣4x+2
=﹣(x2+4x)+2
=﹣(x2+4x+4-4)+2
= ﹣（x+2）2+6.
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化,熟练掌握和运用配方法是解题的关键. ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）；②顶点式： y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0）；③交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2).
6．D
【分析】根据题意易得点A、B关于对称轴对称，则有抛物线的对称轴为直线，把点A代入抛物线解析式可判断②，然后由函数图形可判断③，进而把，点A（－1，0），点B（3，0）代入可求抛物线解析式，然后可得点C的坐标，最后可判断④．
【详解】解：由题意得：点A、B关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线，故①正确；
把点A（－1，0）代入解析式得：，故②正确；
由图象可知当时，，故③正确；
由，点A（－1，0），点B（3，0）可设二次函数解析式为，
∴，
∴当x=0时，则，
∴点，
把点B、C的坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质及一次函数是解题的关键．
7．-12
【分析】把点（3，a）代入解析式即可求得a的值．
【详解】解：∵点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，
∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12，
故答案为：-12．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
8．-1
【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m即可．
【详解】解：∵点（0，0）在抛物线y＝（m﹣1）x2+x+m2﹣1上，
∴m2﹣1＝0，
解得m1＝1或m2＝﹣1，
∵m＝1不合题意，
∴m＝1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数解析式，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．
9．(1)2
(2)
【分析】（1）把点代入函数解析式即可求；
（2）利用配方法化成顶点式即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，
解得，．
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．
10．（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）．
【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可；
（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标．
【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴，；
（2）设直线AB的解析式为：，
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
由（1）得二次函数解析式为：，
对称轴为：，
直线与的交点为M，
∴当时，，
∴交点M的坐标为（2，-3）．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．
11．B
【分析】把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向不变，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(-2，1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．
【详解】∵，
∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折后顶点坐标为(-2， 1)，此时抛物线的开口向上，
∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为，
化简后为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．
12．D
【分析】把点，，代入二次函数解析式进行求解，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故选D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
13．D
【分析】利用勾股定理先求得点C的坐标为（0，2），再利用待定系数法求得抛物线的解析式，在Rt△ADH中，即可求得tan∠DAB的值．
【详解】解：连接BC，
在Rt△OBC中，OC=，
∴点C的坐标为（0，2）．
把B(1，0)，C（0，2）代入y= x2+bx+c中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y= x2x+2，
令y=0，则 x2x+2=0，
解得：x1=-3，x2=1，
∴点A的坐标为（-3，0）．
则对称轴为直线x=-=-1，y=，
∴顶点D的坐标为（-1，）．
设对称轴与x轴交于点H，
∴AH=3-1=2，
在Rt△ADH中，tan∠DAB=tan∠DAH=，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解直角三角形，解本题的关键是确定函数解析式．
14．C
【分析】先把抛物线C1表达式化为顶点式，得到顶点坐标，然后把交点坐标代入求得a的值，根据平移规律设抛物线C2的表达式，再把交点坐标代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴抛物线C1的顶点坐标为（3，n－9m），
∵（－1，a）在抛物线C1的图象上，
∴，解得，
∵抛物线C2是由抛物线C1沿x轴平移得到的，
∴设抛物线C2的解析式为，
∵（－1，a）也在抛物线C2的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴解得或，
∴抛物线C2的顶点坐标为（－5，n－9m）或（3，n－9m）（点C1，舍去），
故选：C
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，根据平移规律设出平移后抛物线的解析式是解题的关键．
15．B
【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，利用交点式求出抛物线解析式，求出x＝2时的函数值，则顶点坐标为（2， 1），然后可判断B选项错误．
【详解】解：∵x＝1和x＝3时，y＝0；x＝0和x＝4时y=-3；
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
设抛物线解析式为,代入坐标（0，-3）得，
∴
解得
抛物线
当时，
∴顶点坐标为（2， 1），
∴错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性，是解题的关键．
16．B
【分析】先根据图像信息求解原抛物线的解析式，然后利用平移法则求解即可．
【详解】解：由题意，原抛物线顶点为，过点，
∴设原抛物线解析式为：，
将代入得：，
∴，
∴原抛物线解析式为，
∴将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到，
故选：B．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及二次函数图象平移，掌握二次函数的顶点式以及平移法则是解题关键．
17． 3或1##1或3 2
【分析】（1）先求出平移后的解析式，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；
（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，
∴，
∵平移后的二次函数图象经过点，
∴，
解得，
故答案为3或1；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．
18．12
【分析】由题意可知m2+4m+n2=-4①，m2-4m+n2=k②，由①得n2=-（m+2）2，根据非负数的性质得出n=0，m+2=0，求得m=-2，把m=-2，n=0代入②即可求得k的值．
【详解】解：∵抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k），
∴m2+4m+n2=-4①，m2-4m+n2=k②，
由①得n2=-（m+2）2，
∴n=0，m+2=0，
∴m=-2，
把m=-2，n=0代入②得k=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
19．(1)；（1，-4）；
(2)
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，可得当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】（1）解：把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
（2）解：由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增大而增大，
当x=3时，y=0，
∴当0＜x＜3时，则y的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（1）①函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上；②见解析；（2）
【分析】（1）①把函数表示为顶点式即可解答；②列表、描点、连线即可；
（2）把函数与轴交点代入交点式表达式，再将与轴的交点为代入即可求解．
【详解】解：，
函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上；
过，两点，与轴的交点为，
用交点式，则表达式为：，
把代入得：，
解得，
故函数解析式为：．
【点睛】本题考查的是二次函数图象问题，解题的关键是灵活运用函数的种表达式，交点式和顶点式用得比较多．
21．A
【分析】先利用待定系数法解题，再结合加减消元法解二元一次方程组，最后根据a＞0解不等式即可．
【详解】解：把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得
，
②﹣①得64a﹣16ah=1，
解得＞0，
所以h＜4．
故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，涉及加减消元法解二元一次方程组、不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．B
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，结合解析式和二次函数的性质解答．
【详解】解：由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为．
将（-1，0）代入，得
，
解得a=-1．
即：
对称轴为：
A、∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项A错误；
B．x＝﹣1时，y＝0，根据函数的对称性，x＝3时，y＝0，故x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个解正确，符合题意；
C．x＝0，y＝3，故与y轴交于正半轴，故本选项C错误，不符合题意；
D．在直线x＝1左侧y随x的增大而增大，故本选项D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．C
【分析】设将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：；根据旋转的性质，得的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点，得，再通过列方程并求解，即可得到表达式并转换为顶点式，即可得到答案．
【详解】设将二次函数的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°后为：
∵二次函数的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点
∴的图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点
∴
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像及解析式、旋转的性质，从而完成求解．
24．B
【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可
【详解】∵二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴，
解得：，
将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0，
得：﹣+4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键．
25．A
【分析】因为这个抛物线过点A(m，n)，B(m+6，n)，可以直接看出对称轴是直线x=m+3，故设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，直接将A(m，n)代入，所以n=3．
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m+6，n)，
∴该抛物线的对称轴是直线：x=m+3，
∴设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，
把A(m，n)代入，得
n=(m-m-3)2，
解得n=9．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
26．D
【分析】把点A坐标与原点坐标代入y1，求出a、c的值，即可得到函数解析式，把点A坐标代入y2，求出b的值，即可得到函数解析式，判定A、B错误；令x＝0，求出y2与y轴的交点，判定C错误；令y＝3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定D正确．
【详解】解：经过点与原点，
解得
，故A、B选项错误；
经过点，
，
解得，
，
当时，，
此时，故C选项错误；
过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，
令，则，
整理得，，
解得，，
，
，
整理得，，
解得，，
，
，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式．
27． 原点 2 4 ．
【分析】（1）先计算当时，可得 从而可得答案；
（2）由二次函数的定义可得： 再把原点的坐标代入函数解析式可得： 从而可得答案；
（3）由抛物线的顶点在轴上，可得 从而可得答案；
（4）由二次函数的最大值是3，可得＜且 再解方程并检验，从而可得答案.
【详解】解：（1）
当时，则
抛物线必过原点．
（2） 二次函数经过原点，
则它的解析式是．
（3） 抛物线的顶点在x轴上，
（4） 二次函数的最大值是3，
＜且
经检验：它们都是原方程的根，但不合题意，舍去，
故答案为：（1）原点；（2）；（3）；（4）
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“二次函数的图象过原点，顶点在轴上，函数的最大值等”是解题的关键.
28．####
【分析】连接AC，交y轴于点D，先根据正方形的性质可证得CD＝OD，∠ODC＝90°，进而设CD＝OD＝x，利用勾股定理可求得点C的坐标，再将点C坐标代入即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AC，交y轴于点D，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴CD＝AC，OD＝BD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴CD＝OD，∠ODC＝90°，
∴设CD＝OD＝x，
又∵OC＝2，
∴在RtODC中，，
即：，
解得：（舍负），
∴CD＝OD＝，
又∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（，－），
将点C（，－）代入，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及待定系数法求二次函数解析式，根据正方形的性质求得点C的坐标是解决本题的关键．
29．(1)m=0
(2)C点坐标为（0，16）
(3)或
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线y=x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值；
（2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐标；
（3）分三种情况：①当2m＞-m时，即m＞0，②当2m＜-m＜2m+3时，即-1＜m＜0，③当2m+3＜-m时，即m＜-1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论．
【详解】（1）解∶当抛物线经过点（0，0）时，有，
解之得m=0；
（2）解∶和点在抛物线上，
∴对称轴为，∴即，，
，∴C点坐标为（0，16）；
（3）解∶ 抛物线的开口向上，对称轴为x=-m的抛物线，
①若，即m>0时，在自变量x的值满足的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而增大，
∴当x=2m时，为最小值，
，
或（舍）
二次函数的解析式为．
②若即，
当时，代入，得y最小值为，
（舍）或（舍）
③若，即，在自变量x的值满足的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而减小，
∴当时，代入二次函数的解析式为中，
得y最小值为，
，
（舍）或，
∴二次函数的解析式为．
综上所述，二次函数的解析式为或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
30．(1)
(2)见解析
(3)最大值为
【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
解得．
由，则符合题意，
∴，
∴．
（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴二次函数的顶点在第三象限．
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为
当时，，
∴．
将代入，
解得．
∵在轴的负半轴上，
∴．
∴．
过点作，垂足为，
∵，
∴．
在中，
,
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
31．C
【分析】根据题意将点代入解析式即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图像经过原点，
∴，
解得0或者2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入解析式计算是解题的关键．
32．A
【分析】将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
【点睛】本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．
33．B
【分析】把两组对应值分别代入y＝ax2+bx+1得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到a和b的值．
【详解】解：根据题意得，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据已知条件列出二元一次方程组是解题的关键．
34．C
【分析】求出二次函数的解析式，确定函数的最值，根据所给函数的取值范围，结合函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解二次函数（、是常数，）的图象经过点和，
∴，
解得：，
∴，
∴二次函数的顶点坐标为，最大值为1，
∵当时，函数的最小值为，最大值为1，
∴令，则，
解得：，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
35．C
【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
36．B
【分析】由点(3,18)、(5,20)、(7,14)在抛物线上，利用待定系数法求出抛物线解析式，将其写成顶点式，即可得出结论．
【详解】由题意得，点(3,18)、(5,20)、(7,14)在抛物线上，
∴ ，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，足球飞行达到最高点，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．
37．B
【详解】设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵函数的图象过（-1，1），（0，1.5），（3，1）三点，
∴y=- x2+ x+ ,
∵丁头顶的横坐标为1.5，
∴代入其解析式可求得其纵坐标为1.625m.
故选B.
38．D
【分析】利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．
【详解】解：设抛物线解析式为：y=a（x-13）2+59.9，
将（30，31）代入得：
31=a（30-13）2+59.9，
解得：a=-0.1，
故：y=-0.1（x-13）2+59.9=-0.1x2+2.6x+43．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出是解题关键．
答案第1页，共2页
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