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第09讲 二次函数与一元二次方程
课程标准
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系； 3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数（a≠0）的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的．
（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根．
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线（a≠0）与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线（a≠0）与y轴的交点是（0，c）．
抛物线（a≠0）与一次函数（k≠0）的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程（组）的解的问题．
注意：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点02 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
1.用图象法解一元二次方程的步骤
（1）作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
（2）确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
（3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索．即在（2）确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
（4）确定一元二次方程的近似根．在（3）中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
2.求一元二次方程的近似解的方法（图象法）
（1）直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
（2）先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
（3）将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根．
知识点03 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A（，0），B（，0），则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）
知识点04 抛物线与不等式的关系
二次函数（a≠0）与一元二次不等式（a≠0）及（a≠0）之间的关系如下：
判别式
抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集
△＞0 或
△＝0 （或） 无解
△＜0 全体实数 无解
注意：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
考法01 二次函数的图象与坐标轴交点
【典例1】
1．在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【典例2】
2．二次函数的图象与x轴的交点是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例3】
3．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
4．下列抛物线经过原点的是（ ）．
A． B．
C． D．
考法02 利用图象法求一元二次方程的近似解
【典例5】
5．根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【即学即练】
6．如表，是二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值．那么方程的一个近似解是（　　　）
x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1.49 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【典例6】
7．如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
【即学即练】
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，已知顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．有下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考法03 判断二次函数的图象与x轴交点的情况
【典例7】
9．从-1、0、3、5、7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】
10．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
【典例8】
11．在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，，若抛物线与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【即学即练】
12．已知二次函数y=ax2 4ax 5a+1(a>0)下列结论正确的是（ ）
①已知点M(4，y1)，点N( 2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2；
②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；
③直线y=x 1与抛物线y=ax2 4ax 5a+1一定存在两个交点；
④当 3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④
考法04 求x轴与抛物线的截线长
【典例9】
13．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【即学即练】
14．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例10】
15．抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
【典例11】
16．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
题组A 基础过关练
17．二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（ ）
A．－4 B．4 C．5 D．－5
18．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．(-3，0) B．(0，-3) C． D．
19．二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，甲、乙、丙、丁得出如下结论：甲：abc＞0；乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；丙：3a+c＞0；丁：当x≥0时，抛物线y＝ax2+bx+c既有最大值，也有最小值．则以上正确的是（　　）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．乙、丙、丁
21．已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
22．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
23．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则 ．
24．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是
25．已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
26．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
题组B 能力提升练
27．抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（ ）
A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n
28．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A(m，n)，B(4﹣m，n)，且抛物线与x轴有交点，则c的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
29．如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．0
30．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为( )
A．0 B．1 C． D．2
31．已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．已知抛物线与x轴的一个交点是，另一个交点是B，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
33．根据表格确定一元二次方程x2+2x-9= 0的一个解的范围是
x 0 1 2 3 4
x2+2x-9 19 -6 -1 6 15
34．已知二次函数的图像的顶点为，与x轴交于点，根据图像回答下列问题：当x 时，y随x的增大而减小：方程的两个根是 ．
35．已知二次函数y=x2+mx+m2 3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2 3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
36．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．
(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；
(3)若抛物线过点（ 2， 2），当时，二次函数的最值是 2，求k的取值范围；
(4)当a= 1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．
题组C 培优拔尖练
37．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
38．抛物线的对称轴为，若关于的二次方程在范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
39．对于二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表，下列结论正确的是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣1 3 5 3 …
A．该函数图象顶点坐标是（1，﹣2）
B．无论x取何值，y恒小于0
C．当x＞2时，y随着x的增大而增大
D．该函数图象与x轴有两个公共点
40．关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是( )
A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．﹣2＜x1＜1＜x2 C．x1＜﹣2＜x2＜1 D．x1＜﹣2＜1＜x2
41．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，以下结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大
C．当时，x的取值范围是 D．方程的根为0和2
42．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若点都在抛物线上，则
C．当时，y随x的增大而减小
D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根
43．已知二次函数，当＝ 时，图象的顶点在轴上；当＝ 时，图象过原点．
44．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有 ．（填序号即可）．
①
②
③存在实数x，使得
④若时，，则
45．已知抛物线．
(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；
(2)设抛物线与x轴交于B，D两点（点D在点B左侧），与y轴交于点C，顶点坐标为A．
①求证：△ABD是等边三角形；
②当时，求△ABC面积的最大值．
46．已知二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2﹣m＋2（m是常数）．
(1)若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围：
(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x＋2的图象上：
(3)P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 　 　．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据点A在抛物线上，先求出a的值，进而求出B的坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是
∴0=a+4a+2
∴a=
∴
当y=0时，，
解得
∴B（5，0）
∴AB=5-（-1）=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解题的关键．
2．D
【分析】令y=0，解一元二次方程即可；
【详解】解：令y=0，
则
解得：x1=，x2=2
故选：D
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数与一元二次方程之间的联系是解题的关键．
3．B
【分析】令，可求得，据此求解即可．
【详解】解：令，得：，
∴与轴的交点坐标为（0，-3），
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数坐标轴的交点的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
4．A
【分析】将分别代入各抛物线的解析式，如果求出，那么该抛物线经过原点，即可得到答案．
【详解】解：、将代入，得，
所以该抛物线经过原点，
本选项符合题意；
、将代入，得，
所以该抛物线不经过原点，
本选项不符合题意；
、将代入，得，
所以该抛物线不经过原点，
本选项不符合题意；
、将代入，得，
所以该抛物线不经过原点，
本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，则该点的坐标满足函数的解析式．
5．B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
6．C
【分析】由表格可得抛物线与轴的一个交点在和之间且距离较近，进而求解．
【详解】解：由表格可得时，，时，，
的一个解在1.1与1.2之间，
，
的一个近似解是1.2，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．
7．D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
8．C
【分析】利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；把，代入中可对③进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对④进行判断．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向上，
，
，，
，所以①正确；
当时，，解得或，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以②正确；
，
而，
，所以③错误；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以④正确；
综上：正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
9．B
【分析】讨论函数关于x的二次函数y=mx2+6x+2的图象与x轴有交点的情况，再结合不等式组的解求解．
【详解】解：关于x的函数y=mx2+6x+2的图象与x轴有交点，
当函数为二次函数时m≠0，Δ=b2-4ac=62-8m≥0，
即：m≤4.5且m≠0．
又从-1、0、3、5、7五个数中任意选取，
∴m=-1，3，
∴m的值有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，不等式求解，解题关键是分情况讨论m的取值，进而求解．
10．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
11．B
【分析】根据二次函数的性质及咿呀UN二次方程根的判别式分两种情况讨论，即当时，抛物线开口向上，需要满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点与点M、N重合或在点M、N的上方，当时，抛物线开口向下，需要满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点与点M、N重合或在点M、N的下方，求解即可．
【详解】
抛物线的解析式为①，
设直线MN的解析式为，
将点M，N的坐标，代入得，，
解得，
直线MN的解析式为②，
联立①②并整理得，
抛物线与线段MN有两个不同的交点，
，即，
当时，抛物线开口向上，需要满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点与点M、N重合或在点M、N的上方，
，
解得；
当时，抛物线开口向下，需要满足抛物线上与点M、N横坐标相等的点与点M、N重合或在点M、N的下方，
，
解得；
综上，a的取值范围是或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式等，熟练掌握知识点并能够用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
12．B
【分析】根据表格中的数据，可以得到此二次函数开口向上，对称轴为x=2，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．
【详解】解：二次函数y=ax2 4ax 5a+1(a>0)，开口向上，
且对称轴为x=-=2，
①点N( 2，y2)关于对称轴对称的点为(6，y2) ，
∵a>0，∴y随x的增加而增加，
∵4<6，∴y1②当y=1时，ax2 4ax 5a+1=1，即x2 4x 5=0，
解得：x=5或x=-1，
该图象一定过定点（5，1）和（-1，1）；故②正确；
③由题意得方程：ax2 4ax 5a+1= x 1，
整理得：ax2 (4a+1)x 5a+2=0，
16a2+8a+1+20a2-8a
=36a2+1>0，
直线y=x 1与抛物线y=ax2 4ax 5a+1一定存在两个交点；故③正确；
④当 3≤x≤1时，y随x的增加而减少，
∴当x=1时，y有最小值为a，
即a 4a 5a+1=a，
解得：a=，故④错误；
综上，正确的有②③，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．C
【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．
【详解】解：由题意得：，
解得：x＝ 3或x＝5，
故在直线y＝ 9上截得的线段的长为5 （ 3）＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．
14．B
【分析】先将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，求出m的值，将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，得到x1+x2＝4，x1 x2＝3，即可解答
【详解】将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，
得到m＝3，
所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点，
设A(x1，y1)，b(x2，y2)
∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝3，
∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝2；
故选B．
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.
15．A
【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可．
【详解】由解得，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．
16．D
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝6，x1x2＝，
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4×＝16，
解得，a＝，
故选：D．
【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.
17．D
【分析】根据抛物线对称轴的定义以及抛物线图象来求该抛物线与x轴的两个交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知对称轴为，与x轴的一个交点横坐标是5，
∵交点到对称轴的距离是3个单位，
∴另外一个交点的横坐标是﹣1，
∴.
故选：D.
【点睛】此题考查了抛物线与x轴交点，抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称是解题关键．
18．B
【分析】把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：当x=0时，y=-3，
则抛物线y=x2-3与y轴交点的坐标为（0，-3），
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
19．B
【分析】根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程有两个异号的实数根．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，
∴关于x的一元二次方程有两个异号的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数的图像与x轴有交点的横坐标即为关一元二次方程的根是解答本题的关键．
20．B
【分析】根据二次函数图象可得对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断即可．
【详解】由图象可知，a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，
故甲错误；
根据图象判断，y=-2时，对应的x的值有两个，
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，
故乙正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
∴，即2a=-b，
令x=-1，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c，
由图象可知当x=-1时，y>0，
∴3a+c>0，
故丙正确；
由图象可知，当x≥0时，抛物线y＝ax2+bx+c有最大值，没有最小值，
故丁错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象性质和特征，能够利用二次函数图象判断系数的正负是解题的关键．
21．A
【分析】根据方程的两根求出b、c的值，代入抛物线解析式，求出点A坐标，A、B两点纵坐标相同，从而求出B点坐标，AB的长即可求出．
【详解】将-1，3分别代入，
，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴与y轴交点为：A（0，6），
∵AB⊥y轴，∴B的纵坐标为6，
代入抛物线解得，，
∴B（2，6）
∴AB=2-0=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键．
22．C
【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故选：C
【点睛】考点：图象法求一元二次方程的近似根．
23．6
【分析】令y=0，可得，解出即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点坐标是，
令y=0，则，
解得：，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．或
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解．
【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．
25．（1）开口向上，直线；（2）
【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可；
（2）令x=0，求出y的值即可．
【详解】（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
26．（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；
（3）根据图象可以看出k取值范围．
【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．
27．B
【分析】根据题意可得抛物线的定点坐标即为（x1，0），代入解析式即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过（x1，0），且抛物线与x轴只有一个交点，
∴抛物线顶点坐标为（x1，0），y＝（x﹣x1）2，
∴x2﹣2x1x+＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n＝x2﹣（x1+x2﹣m）x+x1x2+n，
∴x1+x2﹣m＝2x1，即x2﹣x1＝m，
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
28．C
【分析】利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，进而得到b的值，再利用抛物线与x轴有交点则Δ≥0，列出不等式即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点A（m，n），B（4﹣m，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2．
∴．
∴b＝﹣4．
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ＝．
∴16﹣4c≥0．
∴c≤4．
∴c的最大值为4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，不等式的解法，利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴是解题的关键．
29．C
【分析】利用抛物线的对称轴是，求出，设的另一根为m，利用根与系数的关系可得：，即可求出m．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，即，
设的另一根为m，
利用根与系数的关系可得：，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质．
30．D
【分析】将（m，0）代入函数解析式可得m2 m的值，进而求解．
【详解】解：将（m，0）代入y＝x2 x 1得m2 m 1＝0，即m2 m＝1，
∴m2 m＋1＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特点．
31．D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：A、图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，能得到：a＞0，c＜0，，则b＞0，
∴abc<0，不符合题意；
B、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2-4ac＞0，不符合题意；
C、∵， ∴b=a，
∵x=1时，a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，不符合题意；
D、∵由图象与x轴的右边的交点在1与2之间，则图象与x轴交于左边的点在-2和-3之间，
∴x=-2时，4a-2b+c＜0，符合题意；
故选：D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
32．D
【分析】将代入抛物线中求出a的值，然后令求出点B的坐标，即可求出AB的值．
【详解】抛物线与x轴的一个交点是，
，即，
抛物线为：，
令，求出，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x轴交点坐标之间的联系是解题的关键．
33．2＜x＜3
【分析】观察表格可知，x的值逐渐增大，x2+2x-9的值在2到3之间由负到正，故可以判断x2+2x-9= 0时，对应的x取值范围在2＜x＜3之间．
【详解】根据表格可知，x2+2x-9= 0时，对应的x取值范围在2＜x＜3之间，
故答案为：2＜x＜3．
【点睛】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的解之间的关系，解题关键在于观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．
34． ，
【分析】利用开口向上和对称轴以及二次函数与一元二次方程的联系即可得到答案．
【详解】解（1）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴二次函数的对称轴为直线x=2，
∵抛物线的开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
（2）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是，．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，属于常考题型．
35．(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2 3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2 3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2 3，
即m2+2m 3=0，
解得：m1=1，m2= 3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x 2，
∵Δ=b2 4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x 2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
36．(1)4a
(2)0
(3) 6≤k≤0
(4) 4≤c＜5
【分析】（1）根据题意可得，即可求解；
（2）根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2 4ac=0，进而得到c=4a，即可求解；
（3）根据题意可得抛物线的顶点是（ 2， 2），再由当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，可得，即可求解；
（4）根据题意可得关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，根据题意画出图象，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的，解得b=4a，
故答案为：4a；
（2）解∶∵抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ=b2 4ac=0，
∴16a2 4ac=0，
∵a≠0，
∴4a c=0，即c=4a，
∴c b=4a 4a=0；
（3）解：∵抛物线过点（ 2， 2），且对称轴为直线x= 2，
∴抛物线的顶点是（ 2， 2），
∵当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，
∴，解得： 6≤k≤0；
（4）解：当a= 1时，b= 4，
∴抛物线y= x2 4x+c，
∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，
c=x2+4x，
可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2 4与直线y=c在 3＜x＜1的范围内有交点，
当x= 2时，y=4 8= 4，x=1时，y=1+4=5，
如图所示，由图象得：c的取值范围： 4≤c＜5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
37．A
【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
【详解】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，，
∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴顶点P的坐标为（3，﹣9），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．
38．C
【分析】根据对称轴为直线求出b=6，可将二次方程在范围内有实数根看作抛物线与直线y=－t有交点，求出临界函数值及对称轴处得函数值进而可求解处t的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：b=6，
∴，
∴二次方程在范围内有实数根看作抛物线与直线y=－t在内有交点，
当x=－1时，y=－4，
当x=4时，y=11，
当x=3时，y=12，
∴抛物线在的范围是－4＜y≤12，
∴－4＜－t≤12，则－12≤t＜4，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程实数根的关系，能够将方程实数根问题转化为二次函数图象与直线的交点问题，借助数形结合解题是解答的关键．
39．D
【分析】先求出抛物线解析式，继而确定抛物线对称轴和顶点坐标即可判定A、B、C，再根据根的判别式可确定抛物线图象与x轴的交点，继而即可求解．
【详解】∵，；，；，，分别代入，得：
，
解得：，
即二次函数，
∴抛物线对称轴为直线，
将代入得：，
∴该函数图象顶点坐标是（，），故选项A不符合题意；
∵抛物线开口向下，但是顶点在x轴上方，
∴y不恒小于0，例如：当，；故选项B不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
∴当x＞2时，y随着x的增大而减小，故选项C不符合题意；
∵，
∴抛物线图象与x轴有两个公共点，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线性质、抛物线解析式、抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟悉抛物线解析式求法、增减性、顶点坐标、根的判别式．
40．A
【分析】可以将关于的一元二次方程的解x1，x2看作直线与二次函数的交点横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数关系式求得，结合图象可以求出x1，x2的取值范围，进而作出判断．
【详解】解：二次函数的图象如图所示：
它与轴的交点坐标为，，
关于的一元二次方程的解x1，x2看作直线与二次函数的交点横坐标，
由图象可知，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，将关于的一元二次方程的解为x1，x2的问题转化为二次函数与轴交点的横坐标，借助图象得到答案是解题关键．
41．D
【分析】根据表格中的数据，可以得到该抛物线的对称轴和顶点坐标，再观察表格中的数据，即可得到该函数图象开口方向，从而可以判断A；判断当x＜3时，y随x的增大如何变化，从而可以判断B；当y＞0时x的取值范围，从而可以判断C；写出方程ax2+bx+c=0的根，从而可以判断D．
【详解】解：由表格可得，二次函数的对称轴为直线，
∴顶点坐标为（1，1），该抛物线开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当1＜x＜3时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项B错误，不符合题意；
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故选项C错误，不符合题意；
方程的根为0和2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
42．C
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C选项；根据二次函数的最值可对D进行判断．
【详解】解：A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2-4ac＞0，故A选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意；
C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C选项符合题意；
D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．
43． 10+ 或10- 2
【分析】根据图象的顶点在x轴上，得出b2﹣4ac＝0，求出m的值；根据图象经过原点，即可得出图象过（0，0），求出m即可．
【详解】解：∵图象的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
（m﹣6）2﹣4（2m﹣4）＝0，
化简得：m2﹣20m+52＝0
解得：m＝10+ 或10-，
故答案为：10+ 或10-．
∵图象经过原点，即可得出图象过（0，0），
∴2m﹣4＝0，
∴m，
故答案为：2；
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的图象性质进行解答是解题关键．
44．②
【分析】①对x赋值为-1即为a-b+c，通过图像观察x=-1时的函数值对应点的位置即可判断；
②通过对称轴和函数图像与x轴的一个交点判断另一个交点的大致位置即为m的范围；
③要使存在实数x，使得，因为a<0，则方程应有两个不相等的实数根，即△>0， 由对称轴x=-2可得b=4a，列式计算后判断△即可；
④根据当x=2时y>0，当x=3时y<0， b=4a，列不等式计算求出a的解集即可．
【详解】①当x=-1时，，
通过函数图像可知，此时函数图像在x轴上方，即a-b+c>0，
故①错误；
②通过函数图像可知，对称轴为x=-2，函数图像与x轴的一个交点n的范围为2根据对称性，另一交点（m，0）与点（n，0）关于x=-2对称，
∵2-（-2）=4，3-（-2）=5，
∴-2-5即：-7③令y=
若存在实数x使函数值大于0，则方程有两个不相等的实数根，
∵
由函数图像可知，，即b=4a
∴，方程有两个相等的实数根，
即函数开口向下且与x轴只有一个交点，
∴不存在实数x，使得，故③错误；
④x=0时，y=c=
∴
由图像可知，当x=2时y>0，当x=3时y<0，
∴
由对称轴x=-2得，
∴b=4a
∴
解得
∴④错误
综上所述，结论正确的有①②，
故答案为：②
【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图像性质及通过函数图像求参数的关系是解题的关键．
45．(1)见解析
(2)①见解析；②△ABC面积的最大值为
【分析】（1）根据根的判别式直接进行计算判断即可；
（2）①将函数解析式化为顶点式，确定顶点A的坐标为．设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点．利用函数解析式分别确定点，，．结合图象，利用含30度直角三角形的性质得出．由抛物线的对称性即可证明；
②分两种情形讨论：（ⅰ）当时；（ⅱ）当时；利用图象中面积之间的关系确定面积的函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：令，则有．
∴．
∴抛物线与x轴有两个交点；
（2）①∵，
∴顶点A的坐标为．
设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点．
当时，，
∴点．
当时，，即，
解得，．
∴，．
在Rt△ABE中，，，
∴，
∴．
由抛物线的对称性可得，，
∴，
∴△ABD是等边三角形．
②（ⅰ）当时，如图1．
∵，
∴当时，的值随m的增大而增大．
∴当时，取最大值，最大值为．
（ⅱ）当时，如图2．
．
．
∵，
∴S的值随m的值增大而减小．
∴当时，取最大值，最大值为．
∵，
∴当时，△ABC的面积最大，最大值为．
【点睛】题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的面积应用问题等，理解题意，综合运用二次函数的基本性质是解题关键．
46．(1)m＜2
(2)证明见详解
(3)m≤0或m＝1
【分析】（1）考查函数图象与x轴的交点问题，直接求解即可：
（2）求出函数解析式的顶点坐标，然后代入一次函数解析式y＝﹣x＋2判断即可：
（3）根据二次函数图象的对称轴和顶点去判断增减性，得到m的取值范围．
【详解】（1）令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，
∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，
∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，
解得：m＜2，
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点．
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，
得顶点坐标为（m，﹣m+2），
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上．
（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），
当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴得出m≤1，
当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．
要使y2＜y1＜1恒成立，
则﹣m2+m+1≤1，
∴m2﹣m≥0，
解得：m≥1或m≤0，
综上所述：m≤0或m＝1,
故答案为：m≤0或m＝1．
【点睛】本题考查了二次函数图象问题，二次函数与一元二次方程的关系，正确理解二次函数图象和一元二次方程的关系，数形结合思想的熟练应用是解题的关键．特别是根据二次函数最值与对称称来判断函数增减性是难点，也是易错点，必要的数形结合加以理解很重要．
答案第1页，共2页
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