资源简介

第12讲 圆的对称性
课程标准
1．掌握圆的轴对称性和中心对称性及其相关的性质；2．理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解决有关问题．
知识点01 圆的对称性
1．圆的对称性
圆的对称轴是任意一条过圆心的直线．
注意：
①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴；
②圆的对称轴有无数条．
2．圆是中心对称图形
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．
知识点02 圆心角、弧、弦的关系
1．圆心角
角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角．
2．弦心距
圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距．
3．圆心角、弧、弦的关系：
（1）定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：
①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提．
实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等．同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
考法01 利用圆心角、弧、弦的关系求解
【典例1】
1．如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
2．如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．80°
考法02 利用圆心角、弧、弦的关系求证
【典例2】
3．如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练】
4．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
题组A 基础过关练
5．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　）
A．120° B．75° C．60° D．30°
8．下列说法中，正确的个数为（　　）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　）
A．42° B．48° C．21° D．16°
10．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．
B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．
C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．
D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．
11．已知上有两点、，且圆心角，则劣弧的度数为 ．
12．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为 ．
13．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．
14．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，交⊙O于点F，交⊙O于点E．
(1)求证：BE＝DF；
(2)写出图中3组不同的且相等的劣弧（不要求证明）．
题组B 能力提升练
15．下列说法中，不正确的是（ ）
A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等
C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧
16．如图，的弦、的延长线相交于点，，，的度数是（ ）．
A． B． C． D．
17．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
18．在同圆中，若弧和弧都是劣弧，且弧弧，那么和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较它们的大小
19．如图，A，B是上的点，，C是的中点， 若的半径为2，则四边形ACBO的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．
20．如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）
A． B． C． D．．
21．如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为 ．
22．如图，在同圆中，若，则 ．（“”“”或“”）
23．如图，已知是的直径，弦．
(1)求证：弧弧；
(2)若弧AC的度数为，求的度数．
24．已知AB是⊙O的直径．
（1）如图①，，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（2）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
题组C 培优拔尖练
25．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
26．如图，AB为的直径，，，劣弧BC的长是劣弧BD长的2倍，则AC的长为（ ）
A． B． C．3 D．
27．下列说法正确的个数有（　　）
①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
28．如图，⊙是的外接圆，边的垂直平分线与相交于D点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（　　）
A． B． C．2 D．
30．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：
（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；
（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；
（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．
根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
31．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ADC= °．
32．如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
所有正确结论的序号是 ．
33．如图，，，，在⊙O上，连接，相交于点．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，连接，，，求证：．
34．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：PD=PF；
（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查弧长与圆心角的关系，熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
2．B
【分析】设圆心为，连接、，根据等腰三角形的性质推出，得到，再平行线的性质得到，从而得到，可得弧的度数．
【详解】解：设圆心为，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即弧的度数为，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，连接圆心角、弧、弦之间的关系，掌握等腰三角形的性质是正确解答的前提．
3．C
【分析】由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可．
【详解】，
，，故A选项正确；
，即，故B选项正确；
，
，故D选项正确；
不能证明，故C选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．B
【分析】连接OM，ON，BN，先证明四边形CMND是矩形，得到CM=DN，然后证明Rt△OCM≌Rt△ODN得到OC=OD，∠COM=∠DON，即可判断①②；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，则CM=2OC，，，即可判断③；若M是的中点，可得∠AOM=∠MON=∠BON=60°，则△ONB是等边三角形，即可判断④．
【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
又∵OM=ON，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确；
当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，
∵OC=OD，
∴CM=2OC，
∴，
∴，故③错误；
若M是的中点，
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD=BD，故④正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
5．C
【分析】根据等弧对等角，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查等弧对等角．熟练掌握等弧等对角是解题的关键．
6．B
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到再根据得到三角形是等腰三角形，即，从而求得即可得出的度数．
【详解】解：如图所示：连接CD，
∵在中，
即的度数是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，解题时，综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．
7．C
【分析】连接OA、OB，如图，通过证明OAB为等边三角形得到∠AOB=60°．
【详解】解：连接OA、OB，如图，
∵OA=OB=AB，
∴OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键．
8．B
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．
9．C
【分析】根据弦相等可得，再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
【详解】解： 点A、B、C、D、E在上，，，
，
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查同圆中，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，熟练运用圆周角定理及四者之间的关系是解题关键．
10．B
【分析】由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个；再根据选项中给出的弧，正确的找到弧所对的圆心角和弦，即可选出答案．
【详解】A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误；
B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确；
C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；
D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，准确的找出弧所对的圆心角和弧所对的弦是解题的关键．
11．
【分析】根据劣弧的定义即可进行解答．
【详解】解：如图：
∵，
∴劣弧的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了劣弧的定义，解题的关键是熟练掌握弧所对的圆心角的度数就是弧的度数，劣弧小于．
12．160°，200°
【分析】根据“同圆或等圆中，弧的度数等于弧所对的圆心角的度数”， 再结合弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，而整个圆周的度数为360°，即可解答.
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，
∴劣弧的度数为360°×=160°，优弧的度数为360°-160°=200°.
即这两条弧的度数分别为160,200.
故答案为160°，200°.
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握弧的度数的定义.
13．．
【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．
【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)，，
【分析】（1）首先由平行线性质得到∠EBA=∠COA=∠CDF，然后根据相等的圆周等角所对的弧相等即可证明 ，进一步得到，再根据等弧对等弦即可得到BE=DF；
（2）根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到3组不同的且相等的劣弧．
【详解】（1）证明：∵DF∥AB，BE∥DC，
∴∠EBA=∠COA=∠CDF．
∴，
∴，
∴BE=DF；
（2）解：由（1）得：图中相等的劣弧有：，
【点睛】本题主要考查了相等的圆周角所对的弧相等、弦相等及等弦对等弧、等弧对等弦等知识，掌握“圆心角，弦，弧的关系定理，圆周角定理”是解本题的关键．
15．D
【分析】对于A，直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，即可进行判断;
对于B，能重合的弧叫等弧，即可进行判断;
对于C和D，分别根据等圆，直径，半圆的知识，也可进行判断.
【详解】A.直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确
B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确
C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确
D.直径是弦，半圆是弧，故错误
故选：D
【点睛】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握弦，弧等知识，灵活运用所学知识解决问题
16．B
【分析】根据等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质得出的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
17．C
【分析】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．
【详解】解：如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．
18．C
【分析】作的中点，连接、，则，根据题意，得出，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，得出，再根据三角形的三边关系，得出，再根据等量代换，即可得出结果．
【详解】解：如图，作的中点，连接、，则，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，故选项C正确．
故选：C
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想．
19．D
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，易得和都是等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：连，如图，
是的中点，，
，
又，
和都是等边三角形，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
20．B
【分析】利用三等分点得到，由此判断A；根据AB=BC=CD，得到AB+BC>AC，由此判断B；根据即可判断C；根据，得到，由此判断D．
【详解】解：连接AB、BC，OB，
∵点B、C将弧AD三等分，
∴，
∴，故A选项正确；
∵，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC>AC，
∴AC<2CD，故B选项错误；
∵，
∴，故C选项正确；
∵，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∴，
∴，故D选项正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．
21．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质，可求出的度数，再根据同弦所对的圆周角是圆心角的一半即可进行解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，同弦所对的圆周角是圆心角的一半，解题的关键是连接构建等腰三角形．
22．
【分析】取的中点E，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可．
【详解】解：取的中点E，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据圆心角与弧的关系即可得证；
（2）求出，求出，再求出答案即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：的度数是，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系，掌握弧的度数等于所对圆心角的度数是解题的关键．
24．（1）75°；（2）20°
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，再求出答案即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠AEF，根据圆内接四边形的性质得出∠AEF＋∠ABF＝180°，求出∠ABF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，再根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：（1）∵，∠MON＝35°，
∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，
∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；
（2）连接BF，
∵AD⊥直线，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝110°，
∵四边形为圆内接四边形，
∴∠ABF＋∠AEF＝180°，
∴∠ABF＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧之间的关系，圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
25．C
【分析】连接，根据弧的度数，得出，再根据等边对等角，得出，即，再根据三角形的内角和定理，即可得出的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵弧度数是，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系、等边对等角、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
26．D
【分析】连接，根据求得半径，进而根据的长，勾股定理的逆定理证明，根据弧长关系可得，即可证明是等边三角形，求得，进而由勾股定理即可求得
【详解】如图，连接，
，
是直角三角形，且
是等边三角形
是直径，
故选D
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，直径所对的圆周角是90度，勾股定理，等边三角形的判定，求得的长是解题的关键．
27．B
【分析】根据弧的定义，等圆，等弧，弧、圆心角、弦之间的关系等知识一一判断即可．
【详解】解：①半圆是弧，正确；
②面积相等的两个圆，半径相等，故是等圆，正确，
③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．
⑤等弧所对的圆心角相等，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
28．B
【分析】连接OA、OB、OC，利用三角形的内角和定理、圆周角定理求出，，再由垂直平分线的性质，得到，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵，，
∴，
∴，，
∵OD垂直平分边，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需角的度数．
29．D
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，先证明四边形CDFE是矩形，再根据证明四边形ABDC是等腰梯形，利用勾股定理求出BC=，根据圆周角的性质可知,利用勾股定理即可求出BO=．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2,
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD,
∴,
∴AC=BD,
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6,CD=2,
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4,
在
∴
在，
∴，
根据圆周角的性质可知,
在,
∴，
∵BO＞0，
∴BO=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及弧弦和圆心角的关系，勾股定理等，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
30．D
【分析】根据作图可知①正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到②正确，根据平行线的性质证明判断即可；
【详解】由（1）可知，OP垂直平分AB，由（2）可知，点D是的中点，
∴，
∴，
∴BD平分∠ABC，故①正确；
连接DC，AC，
∵OD垂直平分AC，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴BC∥OD，故②正确；
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴CE＝OE，故③正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
31．115
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，求得、的度数即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵AB为的直径
∴
∵四边形ABCD内接于
∴
∴
∵点C为弧BD的中点，
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了圆周角定理，圆的内接四边形，弦、弧、圆心角的关系以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
32．①②④
【分析】先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB=MN，可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ ，
故②正确，
∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，
∴OM=OC，
∴AB=2OM=OC=MN，
故③错误，
若M是的中点，连接BN，而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
33．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接AD，由AC=BD，得到，则即可得到，则；
（2）延长CO交圆O与F，连接DF，AD，由垂直的定义可得∠ADE+∠CAD=90°，再由∠ACB=∠ADE，∠CFD=∠CAD得到∠ACB+∠CFD=90°，根据直径所对的圆周角是90度可得到∠CFD+∠FCD=90°，则∠ACB=∠FCD，即∠OCD=∠ACB．
【详解】解：（1）如图所示，连接AD，
∵AC=BD，
∴，
∴即，
∴，
∴；
（2）如图所示，延长CO交圆O与F，连接DF，AD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACB=∠ADE，∠CFD=∠CAD
∴∠ACB+∠CFD=90°，
∵CF为圆O的直径，
∴∠CDF=90°，
∴∠CFD+∠FCD=90°，
∴∠ACB=∠FCD，
∴∠OCD=∠ACB．
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆周角的关系，直径所对的圆周角是90度，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
34．（1）见解析；（2）见解析；（3）2.5
【分析】(1)利用角平分线定义得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠CBD，进而得出∠DAC=∠DBA；
(2)利用直径所对圆周角性质得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF；
(3)根据角平分线得出∠CBD=∠DBA，根据弧弦圆周角关系，进而得出CD=AD，得出利用勾股定理得出AB的长即可．
【详解】(1)证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
(2)证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠DBC=∠DBA=∠ADE，
∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
(3)连接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，
∴AD=3，
∵∠ADB=90°，BD=4，
∴AB==5，
∴2r=5，
∴r=2.5，
故⊙O的半径为2.5．
【点睛】本题主要考查了圆的综合以及圆周角定理，弦、弧、圆周角关系，直径所对圆周角性质，角平分线定义和勾股定理以等知识，难度一般．熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑