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第13讲 垂径定理
课程标准
1.掌握垂径定理及其逆定理，能利用垂径定理及其逆定理进行相关计算和证明．
2.会运用垂径定理解决相关的实际问题．
知识点01 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：
①定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段．
②条件中的“弦”可以是直径，结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧．
知识点02 垂径定理的逆定理
1. 内容
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：
①被平分的弦“不是直径”．任意两条直径都互相平分．
②结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧．
利用垂径定理的逆定理可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是交点．
2. 垂径定理及其逆定理的拓展
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论．
注意：
“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径．
考法01 应用垂径定理进行计算与证明
【典例1】
1．如图，在中，弦的长为16cm，若圆心O到的距离为6cm，则的半径为（ ）cm．
A．4 B．6 C．8 D．10
【即学即练】
2．如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】
3．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=( )
A．140° B．40° C．80° D．60°
【即学即练】
4．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．90°
考法02 垂径定理的综合应用
【典例3】
5．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该浆轮船的轮子半径为（　　）
A． B． C． D．
【即学即练】
6．如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】
7．如图1，点M表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，则在水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
8．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
9．下列说法中， 正确的是（ ）
A．任意三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．三角形的外心到它的三顶点的距离相等 D．平分弦的直径垂直于弦
10．下列命题中，正确的是（　　）.
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.
11．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
12．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1.5
13．如图，已知的半径为10，弦，是上任意一点，则线段的长可能是（ ）
A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5
14．如图，在中，是弦，，半径为4，．则的长（　　）
A． B． C． D．
15．垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ．
16．铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度为，凹坑最大深度为，由此可算得铲车轮胎半径为 ．
17．如图，大桥的圆拱的跨度是米，拱高是米，求这个圆拱所在的圆的半径．
18．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．
题组B 能力提升练
19．点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．4
20．的半径为10cm，弦，且，，则和的距离为（　　）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
21．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的半径为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
22．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为(　　)
A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸
23．如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　）
A． B． C． D．
24．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标，半径为5，函数的图象被截得的弦的长为8，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
25．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ．
26．如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，则球的直径为 cm（容器厚度忽略不计）．
27．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．
(1)如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
(2)如图，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
28．已知：的半径为5，点在直径上，过点作的弦，过点作直线的垂线，垂足为点．
(1)如图1，当时，求线段的长；
(2)当点是线段的中点时，求的长；
(3)如果，求线段的长．
题组C 培优拔尖练
29．如图，的直径与弦交于点E，若B为弧的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．弧弧 B． C． D．
30．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（ ）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
31．如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦的中点，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为（ ）分钟．
A．6 B．8 C．10 D．12
33．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（　　）
A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
34．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：将圆形纸片左右对折、折痕为AB，将圆形纸片上下折叠使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，将圆形纸片沿EF折叠使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N．连结AE、AF，经过以上操作小芳得到了以下结论：①CDEF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形④ ．以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
35．如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是 ．
36．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为 ．
37．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时．
(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？
(2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？
38．如图，在平面直角坐标系中的上，有弦，取的中点P，将点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，称点Q为弦的“中点对应点”．设是以为圆心，半径为2的圆．

(1)已知弦长度为2，点Q为弦的“中点对应点”．
①当轴时，在图1中画出点Q，并且直接写出线段的长度；
②当在圆上运动时，直接写出线段的取值范围．
(2)已知点，点N为上的一动点，设直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，若线段上存在弦的“中点对应点”点Q，求出b的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】如图所示，连接，由垂径定理得到，再利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵圆心O到的距离为6cm，
∴，即，
∴，
∴，
∴的半径为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
2．B
【分析】过点作于点，由垂径定理可得，然后在中由勾股定理即可求出点到的距离．
【详解】解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，
∵的半径为10，即，
∴在中，，
即点到的距离是8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，理解并掌握垂径定理是解题关键．
3．C
【详解】∵∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，
∴∠BOC=2∠A=80°．
故选C．
4．C
【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况.
【详解】①当△ABC时锐角三角形时，
连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴ ，
∵OB=2
∴
∴∠BOD=60°
∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°，
∵=，
∴；
②当△ABC时钝角三角形时，如图，
由①可知∠E=60°，
∵四边形ABEC是圆内接四边形，
∴∠E+∠A=180°，
∴∠A=180°-60°=120°.
故∠A的度数为60°或120°.
故答案为：C
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键.
5．D
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则
在 中，有
，即
解得
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
6．C
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：
则
解得：或4，
根据题中，可知不合题意，故舍去，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键．
7．D
【分析】过点作半径于E，如图，利用垂径定理得到再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可．
【详解】解：过点作半径于E，
m，
在中，，
．
答：水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度为．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
8．C
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．C
【分析】根据各个命题的真假进行判断即可．
【详解】解：A、同一平面内，任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B错误，不符合题意；
C、三角形的外心到它的三顶点的距离相等，故C正确，符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，三角形的外心，以及同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；解题的关键是熟练掌握各个定理的内容．
10．D
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
11．B
【分析】根据垂径定理可知，，得出，即可得证四边形OEAD是矩形．
【详解】 D，E分别为AB，AC的中点，
，
，
四边形OEAD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
【点睛】本题考查垂径定理及矩形判定定理的理解和应用，解决本题的关键是对垂径定理的熟练应用．
12．C
【分析】由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案．
【详解】解：∵弦于点E，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．
13．D
【分析】由题意知，的最大值是10，弦的弦心距是的最小值，利用垂径定理和勾股定理，可求出的最小值为8，再根据答案中选出符合条件的值即可．
【详解】解：如图所示：
过点作，垂足为，
，，
，
在Rt中，，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，一般是构造直角三角形，利用勾股定理解题．
14．C
【分析】作于点C，连接，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得，根据勾股定理可得的长，再根据垂径定理可得的长．
【详解】解：如图，作于点C，连接，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理以及勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15． 垂直于弦 两条弧
【分析】根据垂径定理的推论的内容直接得出答案．
【详解】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
故答案为：垂直于弦，垂直于弦．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，解答时熟悉垂径定理的推论的内容是关键．
16．
【分析】先补全图形，然后根据垂径定理和勾股定理解答，即可．
【详解】解：如图，将圆弧补全，连接，则点O，D，C三点共线，且，
∴
设半径为R，则，
根据勾股定理得：，
解得：．
即铲车轮胎半径为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
17．圆弧所在圆的半径为米
【分析】延长到，使得，则为圆心，由垂径定理得米，设圆弧所在圆的半径为米，则米，在Rt中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：延长到，使得，则为圆心，
为拱高，
，
米，
设圆弧所在圆的半径为米，
则米，
在Rt中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
答：圆弧所在圆的半径为米．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
18．0.8m
【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．
【详解】解：如图，作于点，连接，
∵，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴水的最大深度为0.8m．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
19．D
【分析】圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，
∴，，
∴，
由垂径定理得：，
由勾股定理得：，
故选：D．
【点睛】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
20．C
【分析】分两种情况考虑：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，由，得到，利用垂径定理得到E、F分别为的中点，分别求出与，由即可得到的长；当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，由，得到，同理求出与，由即可求出的长．
【详解】解：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，
∵，
∴，
∴E、F分别为的中点，
∴，，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，
根据勾股定理得到，
此时和的距离；
当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，
同理可得：，
此时和的距离，
综上，和的距离为2cm或14cm．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
21．B
【分析】连接、，根据题意可得，，再根据垂径定理得到，设，利用勾股定理建立方程解出x即可解决此题．
【详解】解：连接、，交于点H，
由题可得，，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．
22．D
【分析】连接，利用垂径定理求出的长，设圆的半径为，用含的代数式表示出的长，然后利用勾股定理建立关于的方程，解方程求出的值，然后求出圆的半径．
【详解】解：连接，
∵为的直径，，
∴，
设圆的半径为，则
∴
∴
解之：．
∴圆的直径为．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理列方程，使用代数方法解决几何问题．
23．B
【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题
【详解】解：如图，连接．
，
，，
点D是弧的中点，
，
，
，
，
设,
在中，则有，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．D
【分析】作轴于，交于，作于，连接，由于，，易得点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，
的圆心坐标是，
，，
把代入得，
点坐标为，
，
为等腰直角三角形，
也为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出到轴的距离、求得点的坐标是解题的关键．
25．##
【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
26．10
【分析】把平面图画出，根据垂径定理求出半径即可．
【详解】解：设球的半径为x，
∵当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，
∴，
∴，
根据勾股定理可得，
，
，
直径为：10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了球的相关知识，解题的关键是根据题意画出平面图，根据垂径定理求解．
27．(1)①抛物线解析式为：；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米；
(2)①圆的半径为米；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；
②根据题意得出时，求出x的值即可；
（2）①构造直角三角形利用，求出即可；
②在中，由题可知，，，根据勾股定理知：，求出即可．
【详解】（1）解：①设抛物线解析式为：，
∵桥下水面宽度是20米，高是4米，
∴A，B，D，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：；
②∵要使高为3米的船通过，
∴，则，
解得：，
∴米；
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米；
（2）解：①设圆半径r米，圆心为W，
∵，
∴，
解得：；即圆的半径为米；
②在中，由题可知，，，
根据勾股定理知：，
即，
所以，
此时宽度米．
答：要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、垂径定理以及勾股定理的应用等知识，利用图象上的点得出解析式是解决问题关键．
28．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）连接，利用垂径定理和勾股定理解答即可；
（2）连接，利用垂径定理和线段垂直平分线的性质得到为等边三角形， 利用等边三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分∶①当点F在线段上时，连接，设，则，证明得，即可求得结论；②当点F在线段的延长线上时，连接，同理解答即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵的半径为5，
∴，，
∴，．
∵，
∴
∴；
（2）解：连接，如图，
∵点F是线段的中点时，
∴经过点圆心O，，垂直平分，
∴
∵，AB是直径，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①当点F在线段上时，连接，如图，
设，则，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ (不合题意，舍去)或，
∴；
②当点F在线段的延长线上时，连接，如图，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去）或，
综上，如果，线段的长为或．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，连接圆的半径、利用勾股定理解答是解决问题的关键．
29．B
【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．
【详解】解：∵点B为的中点，
∴，故A选项说法正确，不符合题意；
∵是的直径，，
∴，，故C、D选项说法正确，不符合题意；
不能证明，故B选项说法错误，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
30．D
【分析】设圆的半径为x，构造垂径定理的结构图，运用勾股定理计算即可．
【详解】如图，设圆的半径为x，作于点C，根据题意，得
，，
所以，
解得，
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确构造垂径定理的结构图是解题的关键．
31．A
【分析】连接、、、，由垂径定理得到，，，，，由勾股定理得到，，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可．
【详解】解：连接、、、，如图所示，
∵的直径为26，
∴，
∵点M、N分别是弦的中点，，，
∴，，，，
∴，，
当时，M、O、N三点共线，
当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，
当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，
∴线段的长度的取值范围是，
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
32．D
【分析】先求摩天轮转动的角速度为每分钟，再求出米，则，得，然后求出最佳观赏位置的圆心角为，即可求解．
【详解】解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为每分钟：，
由题意得：，米，米，米，
则（米），（米），
∴（米），
∴（米），
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴最佳观赏位置的圆心角为，
∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：（分钟），
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用、锐角三角函数的应用等知识，熟练掌握垂径定理，求出是解题的关键．
33．C
【分析】连接OC，得到∠ACO＝90°，确定点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出点E（0，﹣3），D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，证明△DPH∽△DEO，求出PH＝，得到S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，设△CDE面积为S，由此得到当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，由此确定答案
【详解】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定及性质，这是一道图形类的综合题，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
34．D
【分析】根据折叠的性质得，则，故①正确；根据垂径定理，BM垂直平分EF，根据折叠的性质得BM、EF互相垂直平分，即可得四边形MEBF是菱形，故②正确；连接ME，MF，则，，根据直角三角形的性质得，，则，，根据三角形内角和定理得，即可得是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r，则，，即，，即可得，故④正确；即可得．
【详解】解：∵纸片上下A、B两点重合，
∴，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴，
∴，
∴，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
如图，连接ME，MF，
则，，
∴，，
∴，
，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则，，
∴，，
，故④正确；
综上，结论正确的是①②③④正确共4个，
故选D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，垂径定理，等边三角形的判定，菱形的判定，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
35．
【分析】连接，根据垂径定理得到，设圆的半径为r，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：连接，设圆的半径为r，
∵为圆O的直径，且，
∴，
∴
解得：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
36．或
【分析】当点在直线上方时，作，利用垂径定理可得，由勾股定理易得，作轴交直线于点，由可得，设，则，易得，，因为点在反比例函数图像上，所以易得可得，易得点的坐标，当点在直线下方时，利用对称性可得点的另一坐标．
【详解】解：当点在直线上方时，连接，作，
，而，
．
作轴交直线于点，
∵∠,
∴，，
∴，
设，则，
，
∵点是反比例函数图像上的一个动点，
，
，（负值舍去）
，
当点在直线下方时，由对称性可知．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、反比例函数与一次函数的交点、勾股定理等知识点，正确作出恰当的辅助线、利用勾股定理和垂径定理解得是解答此题的关键．
37．(1)计时4分钟后小明离地面的高度是11m
(2)8分钟
【分析】（1）设4分钟后小明到达点，过点作 于点，先算出的度数，再根据三角函数计算出的长度，即可算出的长度.
（2）假设距离地面31米，先算出长度，再根据三角函数值算出的度数，进而可知的度数，即可算出小明将连续保持在离地面31m以上的空中的时间.
【详解】（1）解：设4分钟后小明到达点，过点作于点，即为小明离地的高度，
∵
∴
(m)．
答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m；
（2）解：∵当旋转到处时，作弦交的延长线于点，连接，此时离地面高度为．
当时，
，
∵每分钟旋转的角度为： ，
∴由点旋转到所用的时间为：（分钟）．
答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
38．(1)①图见解析，；②；
(2)．
【分析】（1）①连接、，由题意可得，求得点的坐标，即可求解，由旋转的性质可得，利用勾股定理即可求解；②确定点的运动轨迹，即可求解；
（2）如图，在上，记与轴的交点记为，，当靠近时，为分界点，可得此时的最小值，当靠近时，如图，连接，设点，根据旋转的性质可得，弦的中点，求得点的坐标，根据，得到关于的一元二次方程，根据判别式，可得的最大值，从而即可求解．
【详解】（1）解：①连接、，如下图：

由题意可得：，，，，
由勾股定理可得：，
即，
将点P绕原点O顺时针旋转得到点Q，则点，
由旋转的性质可得：；
②由①可得，则当在圆上运动时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
取点，连接，如下图，

由题意可得：，，，
∴
∴，
∴点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
则，
则的最小值为：，最大值为，
即．
（2）解：如图，∵在上，
记与轴的交点记为，，当靠近时，为分界点，

此时，，重合，，重合，，重合，
∴过，
∴，
当靠近时，如图，连接，

由题意设点，
根据旋转的性质可得，弦的中点
又，则，
由题意可得，即，
化简可得：，
由题意可得：，
解得：，
综上．
【点睛】此题考查了圆的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关基础性质．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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