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第14讲 圆周角和圆心角的关系
课程标准
1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能进行简单的推理和计算．2.知道圆内接四边形的相关概念和性质． 3.体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力．
知识点01 圆周角的定义
顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
注意：
（1）圆周角具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（相交指的是除了顶点外，角两边分别与圆还有另一个交点）．
（2）圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角．
（3）一条弧所对的圆周角有无数个．
知识点02 圆周角定理
1.圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
2.圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：
（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交．
（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中．
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
知识点03 圆内接四边形
1.圆内接四边形定义：
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
2.圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°．
注意：
当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补．
考法01 圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】
1．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
2．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116 B．120 C．122 D．128
【典例2】
3．如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【即学即练】
4．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（ ）
A． B． C． D．1
考法02 圆周角定理及应用
【典例3】
5．如图，点A、B、C是上的点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
6．如图，为的直径，弦交于点E，，，，则（　　）
A． B． C．2 D．1
【典例4】
7．如图，是的弦，，C是上的一个动点，且．若M，N分别是，的中点，则长的最大值是（　　）
A．3 B．6 C． D．
【即学即练】
8．如图，为的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则长的最大值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
考法03 圆内接四边形及应用
【典例5】
9．如图，四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．若，则的度数是（　　）
A．124° B．114° C．94° D．66°
【即学即练】
10．如图，点A、B、C在上，点D是延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例6】
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【即学即练】
12．如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
13．下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④
14．下列关于圆的命题中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③矩形的四个顶点共圆；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴；⑤平分弦的直径一定垂直于这条弦；⑥圆是中心对称图形，对称中心是圆心；⑦相等的圆心角所对的弧相等，其中真命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
15．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
16．如图，是的直径，是的弦，已知，则的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
17．如图，是半圆的直径，D是弧的中点，，则的度数是（ ）．
A．55° B．60° C．65° D．70°
18．已知在圆的内接四边形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
19．如图，是的直径，上的两点A，B分别在直径的两侧，且，则 ．
20．如图，AB是的直径，C、D在上，若，则 ．
21．如图，是直径，是的弦，，求的度数．
22．已知，如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，求圆弧所对的圆心角的度数．
题组B 能力提升练
23．如图，内接于，，，垂足为点，与相交于点，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，是⊙O的直径，弦，，若动点M以的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为，当是直角三角形时，t的值为（ ）
A． B．5s C． D．或
26．如图，为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连接，取中点Q，连接，则线段的最大值为（　　）
A． B． C． D．
27．在中，直径，是弦，，点是弦上的动点，则的最小值是( )
(为此，我校数学兴趣小组的部分同学做了如下探究，如图，过点作，过点作，得，从而，…顺着同学们的思路请你做出正确的选择)
A． B． C． D．
28．下列有关圆的一些结论：
①任意三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
④圆内接四边形对角互补；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．
正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
29．如图，在中，是的直径，，，点E是点D关于的对称点，M是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10，其中正确的序号是 ．
30．如图，点A，B，C都在上，如果，那么的度数为 ．
31．如图，已知是的内接三角形，是的直径，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若平分，求的长．
32．如图1，在中，，过点A作直线，使，过点B作于点N，过点C作于点M．
(1)猜想与的数量关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)如图2，连接交于点G，若，，求的长．
题组C 培优拔尖练
33．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
34．如图，是直径，，点，是圆上点，，，点是劣弧上的一点（不与，重合），则的长可能为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
35．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
36．如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③ D．①③④
37．如图，是的高，若，，则长的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
38．某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（ ）
①在M处放置2台该型号的灯光装置
②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置
③在P处放置2台该型号的灯光装置
A．① B．①② C．②③ D．①②③
39．如图，四边形是的内接四边形，对角线、交于点，，的半径为1，当时，则的取值范围 ．
40．如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．若D为的中点，则线段的最小值为 ．
41．如图，是等边三角形的外接圆，是上一点．
(1)填空：______度，______度；
(2)若的半径为4，求等边三角形的面积；
(3)求证：．
42．如图，四边形内接于为对角线，，直径交于点F，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接交于点，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点G作于H，过点A作交于点，若，，求线段的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
2．D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角．
3．B
【分析】连接AC，由AB是圆的直径可得∠ACB=90°，由∠BCD=100°可得∠ACD=10°，再由圆周角定理可得结论．
【详解】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=100°，
∴∠ACD=10°，
∵∠AOD与∠ACD都对着，
∴∠AOD=2∠ACD=2×10°=20°．
故选∶B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．
4．B
【分析】由图，与为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可求得答案．
【详解】解：A、B、O是小正方形顶点，
，
（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半及特殊角的三角函数值，解题关键熟悉特殊角的正弦值及同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的一半的性质．
5．A
【分析】根据圆周角定理得出，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
6．D
【分析】根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，，即可求解．
【详解】解：∵为的直径，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．
7．C
【分析】根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【详解】解：如图，
点M，N分别是，的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
长的最大值是．
故选C．
【点睛】本题考查中位线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，解题的关键是判断出的长最大时为的直径．
8．C
【分析】根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【详解】解：如图，
∵点M，N分别是的中点，
∴
∴当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候的值最大．
9．B
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可；
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，E是延长线上一点．
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质的应用，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
10．C
【分析】取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，利用圆内接四边形的一个外角等于内对角，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得解．
【详解】解：如图，取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，
则：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查圆内接四边形，以及圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
11．D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键．
12．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形，可得是同圆中的内接正三角形，延长AO交圆于点E，，，计算出圆的直径，从而得到半径的长．
【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED，
∵为四边形的外接圆，，
∴，
∵，
∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形），
∴的角平分线经过圆心，
∴，
∵AE是直径，
∴（直径所对圆周角是），是直角三角形；
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求四边形外接圆的半径，圆内接四边形对角互补，等边三角形性质，圆的基本性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．
13．C
【分析】根据四个点共圆的条件：对角互补，进行判断．
【详解】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆．
故选：C．
【点睛】本题考查了共圆问题，掌握四点共圆的条件以及特殊四边形的性质是解题的关键．
14．B
【分析】根据直径概念，等弧的概念，确定圆的条件，圆的对称性，垂径定理及推论等逐项判断．
【详解】解：直径是弦，故①是真命题；
长度相等的弧不一定是等弧，故②是假命题；
矩形的四个顶点共圆，故③是真命题；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故④是假命题；
平分弦不是直径的直径一定垂直于这条弦，故⑤是假命题；
圆是中心对称图形，对称中心是圆心；故⑥是真命题；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故⑦是假命题；
真命题有①③⑥，共个，
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念与定理．
15．D
【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数．
【详解】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质．
16．C
【详解】根据圆周角定理进行求解即可得．
【分析】解：∵，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半”是解题的关键．
17．A
【分析】连接，由于点D是的中点，即，根据圆周角定理得，则，再根据直径所对的圆周角为直角得到，然后利用三角形内角和定理可计算出的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵点D是的中点，即，
∴，而，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．
18．A
【分析】根据圆内接四边形的性质可进行求解．
【详解】解：由可设，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形是解题的关键．
19．##度
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角到，再根据圆周角定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
20．##20度
【分析】利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质（圆内接四边形对角互补）等知识，属于中考常考题型．
21．
【分析】连接，根据圆周角定理和已知条件得出，再根据圆周角定理可得，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
22．(1)见解析
(2)圆弧所对的圆心角的度数为．
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）连接，利用圆周角定理可得，，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵是半的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，
∵是半的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圆弧所对的圆心角的度数为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．C
【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到是边的中点，由垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是圆内接四边形，，
，
，
，
是边的中点，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线（即连接）构造等腰是解决本题的关键．
24．D
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
25．D
【分析】应分两种情况进行讨论：①当时，为直角三角形，根据，可将时间求出；当时，为直角三角形，根据，可将时间求出．
【详解】解：如图，是直径，
．
又，，
根据勾股定理得到．
则，．
当点到达点时，点也随之停止运动，
．
①如图1，
当时，，则
．
故，即，解得．
②如图2，
当时，，
则，即，
解得．
综上所述，当或时，为直角三角形．
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间时应分情况进行讨论，防止漏解．
26．D
【分析】如图，连接，作于H．首先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，作于H．
∵，
∴，
∴，
∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点Q在的延长线上时，的值最大（也可以通过求解）
在中，∵，
∴，，
在中，，
∴CQ的最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
27．A
【分析】过点作于点，过点作于点，根据题意得出的最小值即为的长，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
当三点共线时即为的长，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∴的最小值即为的长，
∵直径，是弦，，
∴
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
28．B
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、三角形的外心进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确；
圆内接四边形对角互补，故表述正确；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质、三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
29．①④##④①
【分析】①根据等弧所对的圆心角所对得；根据圆的对称性得；故①正确；
②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，故②错误；
③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，再根据三角形内角和即可得；故③正确；
④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，根据圆周角定理得，，再由三角形内角和得，再由圆周角定理得是的直径，即可得出的最小值，故④正确．
【详解】解：①∵，
∴；
又∵点E是点D关于的对称点，
∴；故①正确；
②∵，故②错误；
③由M为AB上动点，D为定点，
∴不一定垂直于CE；故③错误；
④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用—最短距离问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
30．##120度
【分析】如图：在优弧AC上取一点D，连接,由圆周角定理和圆的内接四边形可得,，再结合求得，最后根据四边形的内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：在优弧AC上取一点D，连接,
∴,
∵
∴，解得：
∵四边形
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、四边形的内角和等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．
31．(1)
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
，
；
（2）解：连接，则：，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握直径所对的圆周角为，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是本题的关键．
32．(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得到，再由平角的定义得到，由此即可推出结论；
（2）如图所示，过点C作于D，证明，，再证明四点共圆，得到，进而证明，得到，由此即可证明结论；
（3）如图所示，过点N作于E，过点C作于H，则四边形是矩形，得到，再由全等三角形的性质和三线合一定理得到，，证明，推出，利用勾股定理求出，证明，求出,，进而求出，则．
【详解】（1）解：，理由如下；
∵，即，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点C作于D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 如图所示，过点N作于E，过点C作于H，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴,，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，四点共圆，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
33．A
【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键．
34．C
【分析】先依次求出、的长，即可根据得到的范围，最后判断即可．
【详解】解：连接、，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的长可能为，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧弦之间的关系，解题的关键是根据得到．
35．C
【分析】由圆周角定理得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系．
36．D
【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，为的直径，可得，再由是等边的外接圆，可得，可得，故③正确；延长至点E，使，证明，可得，，从而得到是等边三角形，可得到，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴不一定成立，故②错误；
当最长时，为的直径，
∴，
∵是等边的外接圆，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图，延长至点E，使，连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∴正确的为①③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
37．A
【分析】在上方作以为斜边的等腰直角三角形，根据“定线段对定角度”确定点C在以为圆心，长为半径的圆上运动，当经过圆心时最长，再计算即可．
【详解】在上方作以为斜边的等腰直角三角形，
∵
∴点C在以为圆心，长为半径的圆上运动，
∵，
∴，
当经过圆心时最长
∵是的高，
∴
此时，
故选：A．
【点睛】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以为圆心，长为半径的圆上运动．
38．B
【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图
∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，
∴优弧所对圆周角
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且
∴为优弧所对圆周角
∴，即①方案成立；
在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，
∵，，
∴②方案成立；
在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，和相切于点P
如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总
根据题意， ，即两台灯光照亮角度总和
∴③方案不成立；
故选：B．
【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．
39．##
【分析】连接，，过O作交于F，交于E，根据得到，得到，在、、中根据股定理即可得到答案．
【详解】解：连接，，过O作交于F，交于E，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，，，
∴，
在、、中根据股定理可得，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理及矩形的判定，解题的关键是通过三次勾股定理得到．
40．
【分析】连接，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】连接，
∵，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点D在上时，的值最小，
∵C为半圆O的三等分点（靠近点A），
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆周角定理，轨迹，勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
41．(1)60；60
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，然后根据圆周角定理即可得出答案；
（2）连接，并延长交于点D，连接，先证明，，根据直角三角形性质，求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出结果即可；
（3）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，证明即可得出结论．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∴，；
故答案为：60；60．
（2）解：连接，并延长交于点D，连接，如图所示：
∵是等边三角形的外接圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：在上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，能够熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．
42．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据等弦对等弧可得，进而得出，由为的直径，得出，根据，得出，即可得证；
（2）证明，进而得出，即可得证；
（3）连接连接交于，延长交于，证明，得出，设，在中，得出，进而得出，由垂径定理，得出，，则，，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴
∴；
（2）∵四边形是内接四边形
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）连接连接交于，延长交于，
∵，
∴，
∵，
又，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴
在中，
∴
即
∴，
即
∴
在中，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
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