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第15讲 确定圆的条件
课程标准
1.知道不在同一直线上的三个点确定一个圆；2.会用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆； 3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念及外心的性质.
知识点01 确定圆的条件
由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。确定圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。
（1）经过一个已知点能作无数个圆；
（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
（ 3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
注意：
（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
知识点02 三角形的外接圆和外心
1、三角形的外接圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形称之为这个圆的内接三角形。
2、三角形的外心
三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。即随三角形形状的变化，三角形外心的位置也发生变化，如图：
3、三角形外心的性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。
4、三角形外接圆的作法
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
（2）以该交点为圆心，以交点到三角形任意一顶点的距离为半径作圆即可。
如图：
考法01 确定圆的条件
【典例1】
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．周长相等的圆是等圆
【即学即练】
2．下列命题正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
【典例2】
3．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【即学即练】
4．有下列说法：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，其中错误的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
考法02 三角形外心的应用
【典例3】
5．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【即学即练】
6．如图，已知点是的外心，点、分别是、的中点，连接、分别交于点、，若，，，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【典例4】
7．如图，锐角三角形ABC的三边是，它的外心到三边的距离分别为，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练】
8．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（　　）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，10
考法03 三角形外接圆的应用
【典例5】
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
【即学即练】
10．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
【典例6】
11．如图，已知点是的外心，连结，，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【即学即练】
12．如图，已知点O是的外心，，连结，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题组A 基础过关练
13．三角形的外心具有的性质是（ ）
A．外心在三角形外 B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等
14．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
15．下列说法中， 正确的是（　　）
A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径必垂直弦
C．任何三角形有且仅有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在这个三角形内
16．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A．或 B．或 C． D．
17．课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是的外心，，求”．小亮的解答为：如图，画以及它的外接圆O，连接，由，得．而小莹说：“小亮考虑的不周全，应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小亮求的结果不对，应该是 B．小莹说的不对，就是
C．小莹说的对，的另一个值是 D．两人说的都不对，的值有无数个
18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
19．已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8．设它的外接圆半径长为R，内切圆半径长为r，则 ．
20．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为 ．
21．如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)请在图中标出外接圆的圆心C，并写出点C的坐标．
(2)在直角坐标系的第三象限，画出以点O为位似中心，与位似的图形，使它与的相似比为，并写出点A，B对应点的坐标．
22．如图，已知．
（1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长．
题组B 能力提升练
23．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
24．如图，，，，，则外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）
A．4 B．4.5 C． D．
26．已知内接于，连接，，，设，，．则下列叙述中正确的有（ ）
①若，，且，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，，则．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
27．如图，在平面直角坐标系中，等边的边在轴正半轴上，点，，点、分别从、以相同的速度向、运动，连接、，交点为，是轴上一点，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
28．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
29．如图，在中，，，，则此的重心与外心之间的距离为 ．
30．如图，在中，，，点、分别在边、上，点为边的中点，，连接、相交于点，则面积最大值为 ．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、
(1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______．
(2)外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______．
32．如图，在为直径的中，已知弦于点，且，，点是优弧上的一个动点，连接，过点作于点，交于点，连接．
(1)求的长；
(2)当点在运动过程中，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，求的面积．
题组C 培优拔尖练
33．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
34．如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
35．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
36．如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
37．如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
38．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是
A．当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B．当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP=30° D．当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形
二、填空题
39．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
40．如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有 （填入正确的序号即可）．
三、解答题
41．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．
(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
42．如图，在中，．
（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC =6，BC =8，求AD的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据圆的相关概念辨析，逐一进行判断即可．
【详解】解：A．不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，选项说法错误，不符合题意；
C．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，选项说法错误，不符合题意；
D．周长相等的圆是等圆，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查圆的相关概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．C
【分析】根据等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形的知识进行判断即可．
【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查了等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形等相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．
3．B
【分析】根据圆的相关知识求解即可．
【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故②错误；
直径是圆中最长的弦，故③正确；
经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故④正确，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆心角，圆弧，弦等圆的相关知识，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识．
4．A
【分析】根据圆的确定条件，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆的定义，垂径定理逐项判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
圆的两条平行弦所夹的弧相等，故②正确；
任意一个三角形有且仅有一个外接圆，故③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故④错误；
直径是圆中最长的弦，故⑤正确．
综上可知错误的个数有2个．
故选A．
【点睛】本题考查圆的确定条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系等知识，解题关键是熟记相关知识点，准确进行判断．
5．B
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积．
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形．
6．B
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知是直角三角形，即可求出的面积．
【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，

∵点E是的外心，
∴，
∴，是等腰三角形，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴，，
在中，∵，
∴是直角三角形，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等内容，解题的关键是得到是直角三角形．
7．C
【分析】根据外心的性质可知，，结合圆周角定理与三角函数可得从而可得答案．
【详解】解：如图经过三点，连接， 则，
在中，
∴
同理：
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形外心的性质．重点在于理解圆周角与圆心角的关系，解直角三角形的知识．
8．A
【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心，
∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圆的半径为，
B、∵是等腰三角形，
过点A作于D，延长交于E，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆半径为，
C、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．
【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，
则点P为△ABC外接圆的圆心，
由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
10．C
【分析】先由题意可知，点P在线段AB的垂直平分线上，可确定P的横坐标为4；设点P的坐标为（4，y），如图作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，运用勾股定理求得y即可．
【详解】解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得：，
解得，y，
故选：C．
【点睛】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点．
11．C
【分析】根据圆周角定理得出即可得到结果．
【详解】解：∵点O为的外心，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键．
12．B
【分析】根据点O是的外心，可得，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
∵点O是的外心，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆的性质、圆周角定理．
13．D
【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可
【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误；
B．外心不一定在三角形内，错误；
C．外心到三角形三角距离相等，错误；
D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
14．B
【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解：是的内切圆，
则点到三边的距离相等，
点是的三条角平分线的交点；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质．
15．C
【分析】根据圆的相关概念及性质进行判断即可，不共线的三点确定一个圆，垂直于弦的直径一定平分弦，但是平分弦的直径不一定垂直弦，任何三角形有且仅有一个外接圆，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故可能在三角形内部也可能在边上．
【详解】解：A．若三点在同一直线上，不能确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
B．两条直径互相平分但不一定垂直，选项说法错误，不符合题意；
C．根据外接圆的性质，任何三角形有且仅有一个外接圆，选项说法正确，符合题意；
D．等腰直角三角形的外心在三角形斜边的中点，不在三角形内，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的相关概念及性质，关键是熟记各种定义，理解三角形的外心，三角形的外接圆，以及垂径定理．
16．B
【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．
【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或．
故选：B
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键
17．C
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补，
故．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．
18．C
【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可．
【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示：
在的垂直平分线上找到一点，则满足：
，
点是过、、三点的圆的圆心，
即的坐标为，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置．
19．3
【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求斜边，即可求出，设内切圆半径长为r，由切线长定理得，所以，即可得到的值．
【详解】如图所示：
∵，，
∴，
∴外接圆半径为5，
∴，
设内切圆半径长为r，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和外接圆，熟记直角三角形的外接圆圆心在斜边中点和切线长定理是解题的关键．
20．##140度
【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可．
【详解】点是的外心
是等腰三角形
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键．
21．(1)图见解析，
(2)图见解析，，
【分析】（1）根据题意找到线段和的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心C；
（2）根据位似图形的性质画出，进而写出点A，B对应点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，找到线段和的垂直平分线的交点
∴
∴点C即为外接圆的圆心；
∴；
（2）如图所示，即为所要求作的三角形，
∴，．
【点睛】本题主要考查了画位似图形，三角形外接圆的性质，解题的关键在于能够熟练掌握画位似图形的方法，三角形外接圆的性质．
22．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据A、C在圆上且圆心O在边上，故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可；
（2）连接CO，根据三角形的内角和定理即可求出∠ACB，根据等边对等角即可求出∠OCA，从而求出∠OCB，再根据等角对等边证出OB=OC，从而求出AB.
【详解】解：（1）∵A、C在圆上且圆心O在边上
∴圆心O是AC的中垂线与AB的交点
故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可.
如图所示：即为所求.
（2）连接CO
∵，
∴∠ACB=180°－∠CAB－∠B=90°
∵的半径为1
∴OA=OC=1
∴∠OCA=∠OAC=30°
∴∠OCB=∠ACB－∠OCA =60°
∴OB=OC=1
∴AB=OA＋OB=2
【点睛】此题考查的是尺规作图、等腰三角形的性质及判定，掌握用尺规作图作线段的中垂线、等边对等角和等角对等边是解决此题的关键.
23．A
【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心，
∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圆的半径为，
B、∵是等腰三角形，
过点A作于D，延长交于E，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆半径为，
C、作于点D，作直径，连接，
在中，，
在中，，
∴，
即,
解得，
由勾股定理得，
，
∵为圆的直径，
∴，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
则外接圆半径，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．C
【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，
∴直线是线段的垂直平分线，
记，的交点为，则为的外心，
∵，，，
∴直线为，，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，即的外心坐标为：．
故选C．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键．
25．D
【分析】根据已知可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积=，
∴当最小时，的面积最小，
∴当时，最小，
∵的面积，
∴，
∴，
∴的面积的最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆，圆周角定理，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．A
【分析】①由得，再利用三角形内角和定理，可得到，故①正确；
②由可知：，再根据三角形内角和定理可得∶；故②正确；
③显然有，故，故③不正确；
④易得∶，故④不正确．
【详解】解：①如图1：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，故①正确；
②如图2，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③如图3，
∵，
∴，
∴，
∴，故③不正确；
④如图3，，故④不正确；
综上：①②正确，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆及圆心，圆周角定理，三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形．
27．D
【分析】证明，推出，得到，点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，连接，，求出，设，求出，过点作，三角函数求出，设，得到只有时，最小为0，即最小为6．当时，即：时，最小，即可得到答案．
【详解】解：如图，是等边三角形，
，，
点、分别从、以相同的速度向、A运动，
，
在和中，，
(SAS)，
，
，
点是经过点A，，的圆上的点，记圆心为，在上取一点，使点和点在弦的两侧，连接，，
，
连接，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，，
过点作，
，
在△中，，，
，
，，
设，
，
只有时，最小为0，即最小为6．
当时，即：时，最小，
．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
28．D
【分析】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解．
【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故选： D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键．
29．
【分析】根据三角形外心的定义可知外心为斜边的中点，根据三角形重心的定义可知C、P、Q三点共线，根据勾股定理求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，然后利用重心的性质得到．
【详解】解∶根据题意可知，C、P、Q三点共线．
在中，，
的外心为，
为斜边的中点，
，
的重心为，
．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与外心，三角形的重心，直角三角形的性质，根据三角形外心与重心的定义得出C、P、Q三点共线是解题的关键．
30．
【分析】作交的延长线于点，则，得，所以，再证明，则，所以，可知当最大时，则最大；作的外接圆，作于点，于点，于点，连接，可证明当点与点重合，即、、三点在同一条直线上时，最大，此时最大；当点在的延长线上，连接、，则，由勾股定理求得，而，所以，即可求得，．
【详解】解：如图1，作交的延长线于点，则，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当最大时，则最大；
作的外接圆，作于点，于点，于点，连接，
，
四边形是矩形，
，
，
，
即，
当点与点重合，即、、三点在同一条直线上时，最大，此时最大；
如图2，的外接圆，于点，点在的延长线上，连接、，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
面积最大值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
31．(1)
(2)，
【分析】(1)利用位似变换的性质分别做出各顶点的对应点即可，在利用位似变换的性质求出的坐标．
(2)线段、的垂直平分线的交点即为所求，在利用勾股定理求出半径即可．
【详解】（1）解：如图
根据位似变换的性质，
故答案为
（2）解：如图，点即为所求，
点坐标为
半径
故答案为，
【点睛】本题考查了位似变换，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
32．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求解，可得，，从而可得的长度；
（2）如图，证明，可得，作的垂直平分线交于，可得在以为圆心，为半径的上运动，当，，三点共线时，最小，此时， 再结合三角函数与勾股定理可得答案；
（3）在（2）的条件下，，，三点共线，如（2）中的图，过作于，而，则，证明，可得，可得：，从而可得三角形的面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，．
（2）如图，∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
作的垂直平分线交于，如图，连接，
∵，,，
∴为等边三角形，
∴,，
∴是的垂直平分线，
∴为的外心，
∴在以为圆心，为半径的上运动，
当，，三点共线时，最小，此时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴．
（3）在（2）的条件下，，，三点共线，
如（2）中的图，过作于，而，
则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，三角形的外接圆的圆心的确定，锐角三角函数的应用，确定的轨迹是解本题的关键．
33．D
【分析】根据对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意；
B、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意；
C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意；
D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查基本几何概念、图形判定及性质，涉及到对顶角的概念、矩形的判定、三角形外心的定义和垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握相关几何图形的定义、判定及性质是解决问题的关键．
34．C
【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
35．C
【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；
由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．
36．C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
37．D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．
38．C
【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断
【详解】当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC，即ΔAPC是等腰三角形，判断A 正确；
当ΔAPC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，判断B正确；
当PO⊥AC时，若点P在劣弧AC上，则∠ACP=30°，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C错误；
当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC是直角三角形，判断D正确．
故选C．
39．△ADC、△BDC、△ABD
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：，
则外接圆半径，
图中D点到O点距离为：，
图中E点到O点距离为：，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．
40．①②③⑤
【分析】由题意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，则问题可判定；对于②：把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，则有HF=EF，则可判定；对于③：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证△AOP∽△ABF，进而问题可求解；对于④：过点A作AN⊥EF于点N，则由题意可得AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得，进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，
①∵，
∴由四边形内角和可得，
∴点A、B、F、P四点共圆，
∴∠AFP=∠ABD=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示：
∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，
∴，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴HF=EF，
∵，
∴，故②正确；
③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：
∵点O是对角线的中点，
∴OB=OD，，
∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，
∴，
由①可得点A、B、F、P四点共圆，
∴，
∵，
∴△AOP∽△ABF，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示：
由②可得∠AFB=∠AFN，
∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，
∴△ABF≌△ANF（AAS），
∴AN=AB，
若△AEF的面积为定值，则EF为定值，
∵点P在线段上，
∴的长不可能为定值，故④错误；
⑤由③可得，
∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，
∴△APG∽△AFE，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述：以上结论正确的有①②③⑤；
故答案为①②③⑤．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
41．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得．
【详解】（1）解：（1）如图：

（2）．
理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
42．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
（2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD．
【详解】（1）作图如下：
（2）连接AD，OD，如图所示
由（1）知：平分，且°
∴°
∴°
在中，，
∴，即
在中，
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键．
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