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二次函数问题解决的两种方法
函数问题是非常重要和抽象的问题，象高次函数、无理函数、超越函数以及抽象函数等等都是经常遇到的较为复杂的函数。针对诸如此类复杂而又陌生的函数，通过加工处理后转化为二次函数的绝不在少数，换句话说，大量的复杂函数问题归结为二次函数问题解决。因此，精准做实二次函数问题解决，尤为重要。下面，对二次函数中出现的一系列重难点问题，分别采用两种不同的解法，即直接法和参变分离法，逐一进行分析作答。
直接法是以二次函数（或一元二次方程）本身为平台，利用转化、数形结合等形成等价的符号语言，抛物线的开口方向、对称轴、顶点、判别式以及根与系数关系等时常参与其中。
参变分离法的做法是通常把参数和变量分别处理到等式（或不等式）的两边，利用转化、换元等构建新函数（新函数有时为对勾函数），在新函数下借助数形结合来完成。两种不同的解法，最为明显的区别是：参变分离法一定分离（有时不能完全分离），而直接法一般不考虑分离。两种方法不尽相同，相得益彰，可谓二次函数问题解决的双保险，足以为顺利解决函数问题保驾护航。
类型一：只有常数项含参问题
例1：已知关于x的一元二次方程x2+2x-m=0，该方程总有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
由题意：Δ=b2-4ac=22-4(-m)=4+4m>0，解得
m>-1.即m的取值范围为（-1，+∞）。
方法二：参变分离法
由题意：m=x2+2x，令g(x)=x2+2x
转化为y=g(x)与y=m的图像有两个公共点。
∵抛物线g(x)=x2+2x的对称轴是x=-1且开口向上，
∴x∈R时g(x)min=g(-1)=(-1)2+2(-1)=-1，得m>-1.
即m的取值范围为（-1，+∞）。
例2：若函数f(x)=x2+2x-m在x∈(-2, 3)上有两个不同的零点，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
抛物线f(x)=x2+2x-m的对称轴是x=-1且开口向上。由题意得：
解得-1方法二：参变分离法
由题意：m=x2+2x，令g(x)=x2+2x,x∈(-2, 3)
转化为y=g(x)与y=m的图像有两个公共点。 ∵抛物线g(x)=x2+2x称轴是x=-1且开口向上。
∴x∈(-2,3)时g(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,3)上单调递增，∴g(x)min=g(-1)=(-1)2+2(-1)=-1， 由于g(-2）=0 ，g(3）=15，得m>-1.
即m的取值范围为（-1，0）。
例3：已知函数f(x)=x2+2x-m，若对任意实数x的值,总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
抛物线f(x)=x2+2x-m的对称轴是x=-1且开口向上。由题意得：
Δ=b2-4ac=22-4(-m)=4+4m<0，解得m<-1.
即m的取值范围为（-∞ ， -1）。
方法二：参变分离法
由题意：x2+2x-m>0即m令g(x)=x2+2x，转化为m∵抛物线g(x)=x2+2x的对称轴是x=-1且开口向上，
∴x∈R时g(x)min=g(-1)=(-1)2+2(-1)=-1，得m<-1.
即m的取值范围为（-∞ ， -1）。
例4：若函数f(x)=x2-2x-m对任意x∈[2,3]上总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
抛物线f(x)=x2-2x-m的对称轴是x=1且开口向上,f(x)在x∈[2,3]上单调递增，由题意得：f(2)>0，解得m<0,即m的取值范围为（-∞，0）。
方法二：参变分离法
由题意：x2-2x-m>0即m0恒成立
令g(x)=x2-2x 转化为m在x∈[2,3]上单调递增，由题意得：g(x)min=g(2)=0，解得m<0,
即m的取值范围为（-∞，0）。
类型二：只有一次项系数含参问题
例5：已知函数f(x)=x2-2mx+1，
该函数总有两个不同的零点，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
由题意：Δ=b2-4ac=(2m)2-4=4m2-4>0，解得m>1或m<-1.
即m的取值范围为（-∞，-1）u（1，+∞）。
方法二：参变分离法
x=0显然不是函数f(x)=x2-2mx+1的零点；
当x≠ 0 时，由题意：2m=x+有两个不相等的实数根，，令g(x)=x+
转化为y=g(x)与y=2m的图像有两个公共点。∵g(x)=x+在（-∞，-1）上单调
递增，在（-1，0）上单调递减，即g(x)在（-∞，0）上的最大值为g(-1)=-2；
在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即g(x)在（0，+∞）上的
最小值为g(1)=2。∴2m<-2或2m>2。
即m的取值范围为（-∞，-1）u（1，+∞）。
例6：已知函数f(x)=x2-2mx+1，
该函数在x∈(-2, 3)上总有两个不同的零点，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
抛物线f(x)=x2-2mx+1的对称轴是x=m,f(0)=1且开口向上。由题意得：
或
解得-方法二：参变分离法
x=0显然不是函数f(x)=x2-2mx+1的零点；
当x≠ 0 时，由题意：2m=x+ 在x∈(-2, 3)上有两个不相等的实数根，，令g(x)=x+ x∈(-2, 3) 转化为y=g(x)与y=2m的图像有两个公共点。
∵g(x)=x+在（-2，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递减，
即g(x)在（-2，0）上的最大值为g(-1)=-2，且g(-2)=-；
∵g(x)在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
即g(x)在（0，+∞）上的最小值为g(1)=2，且g(3)=；。
∴-<2m<-2或2<2m<。
即m的取值范围为（-，-1）u（1，）。
例7：已知函数f(x)=x2-mx+1，
若对任意实数x的值,总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
由题意：Δ=b2-4ac=(-m)2-4=m2-4<0，解得
-2方法二：参变分离法
x=0显然f(x)>0成立；
当x≠ 0 时，令g(x)=x+
（1）x>0时转化为m（1，+∞）上单调递增，即g(x)在（0，+∞）上的最小值为g(1)=2∴m<2。
（2）x<0时转化为m>x+，m>g(x)max ∵g(x)=x+在（-∞，-1）上单调递增，
在（-1，0）上单调递减，即g(x)在（-∞，0）上的最大值为g(-1)=-2；∴m>-2。
综上所述m的取值范围为（-2，2）。
例8：已知函数f(x)=x2-mx+1，
若对任意实数x∈（0，]上,总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
由题意：
或或m≤0
解得：m< ,综上所述m的取值范围为（-∞，]。
方法二：参变分离法
令g(x)=x+ 转化为m∵g(x)=x+在（0，]上单调递减，∴g(x)min=g()=，
综上所述m的取值范围为（-∞，]。
类型三：只有二次项系数含参问题
例9：已知函数f(x)=mx2-2x+1，
该函数总有两个不同的零点，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
m=0时函数f(x)=mx2-2x+1只有一个零点，不合要求；
当m≠ 0 时，由题意：Δ=b2-4ac=(-2)2-4m=4-4m>0，解得m<1;
综上所述m的取值范围为（-∞，0）u(0,1)。
方法二：参变分离法
x=0显然不是函数f(x)=mx2-2x+1的零点；
当x≠ 0 时，由题意：mx2-2x+1=0 ,化为m=-（）2+2
x≠ 0 也就是 t=∈(-∞, -0)u(0,+∞）,令g(x)=h(t)=-t2+2t ， 转化为y=h(t)与y=m的图像有两个公共点。 ∵g(x)=h(t)=-t2+2t的对称轴是t=1, 且开口向下，t∈(-∞, -0)u(0,+∞）；易得h(0)=0，h(t)max=h(1)=1,∴m<1且m≠ 0.
综上所述m的取值范围为（-∞，0）u(0,1)。
例10：已知函数f(x)=mx2-2x+1，
该函数在x∈(-2, 3)上总有两个不同的零点，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
m=0时函数f(x)=mx2-2x+1只有一个零点，不合要求；
当m≠ 0 时，Δ=b2-4ac=(-2)2-4m=4-4m
或
解得：m<-或即m的取值范围为（-∞ ,-）u（，1）。
方法二：参变分离法
x=0显然不是函数f(x)=mx2-2x+1的零点；
当x≠ 0 时，由题意：mx2-2x+1=0 ,化为m=-（）2+2 在x∈(-2, 3)上有两个不相等的实数根，
令g(x)=-（）2+2 x∈(-2, 3) 也就是 t=∈(-∞, -)u(,+∞）
转化为y=g(x)与y=m的图像有两个公共点。
∵g(x)=h(t)=-t2+2t的对称轴是t=1,在t∈(-∞, -)u(,+∞）；
h(t)=-t2+2t在 t∈(-∞, -)上单调递增；在(,1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，h(-)=-，且h()=；∵h(1)=1∴m<-或即m的取值范围为（-∞ ,-）u（，1）。
例11：已知函数f(x)=mx2-2x+1，
若对任意实数x的值,总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
m=0时函数f(x)=mx2-2x+1为一次函数，不合要求；
当m≠ 0 时，Δ=b2-4ac=(-2)2-4m=4-4m，
由题意： 解得m>1;
综上所述m的取值范围为（1, +∞）。
方法二：参变分离法
x=0显然符合题意；
当x≠ 0 时，由题意：mx2-2x+1>0 ,化为m>-（）2+2
x≠ 0 也就是 t=∈(-∞, -0)u(0,+∞）, 令g(x)=h(t)=-t2+2t ，转化为m>h(t)max . ∵h(t)=-t2+2t的对称轴是t=1, 且开口向下，t∈(-∞, -0)u(0,+∞）；易得h(0)=0，h(t)max=h(1)=1,∴m>1.
综上所述m的取值范围为（1, +∞）。
例12：已知函数f(x)=mx2-2x+1，
在x∈[2,3]上总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
m=0时函数f(x)=mx2-2x+1为一次函数f(x)=-2x+1，不合要求；
当m≠ 0 时，Δ=b2-4ac=(-2)2-4m=4-4m，对称轴为x=
由题意：
或或或
由第2个不等式组解得m>，其它3个都是空集。
综上所述m的取值范围为（, +∞）。
方法二：参变分离法
∵x≠ 0 时，由题意：mx2-2x+1>0 ,化为m>-（）2+2
x∈[2,3]也就是 t=∈[,], 令g(x)=h(t)=-t2+2t ，转化为m>h(t)max .
∵h(t)=-t2+2t的对称轴是t=1, 且开口向下，t∈[,]上h(t)单调递增；
∴h(t)max=h()=,∴m>.
综上所述m的取值范围为（, +∞）。
类型四：多项系数含参问题
例13：已知函数f(x)=mx2-2(m-1)x+m+1 (m>0)，
该函数总有两个不同的零点，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
由题意：Δ=b2-4ac=[-2(m-1)]2-4m(m+1)=-12m+4>0，
解得m<.即m的取值范围为（0，）。
方法二：参变分离法
x=0显然不是函数f(x)=mx2-2(m-1)x+m+1 (m>0)，的零点；
当x≠ 0 时，由题意mx2-2(m-1)x+m+1=0有两个不相等的实数根，
化为m=-(m+1)（）2+2(m-1) ，
令g(x)=-(m+1)（）2+2(m-1) (m>0)，
转化为y=g(x)与y=m的图像有两个公共点。
∵g(x)=-(m+1)（）2+2(m-1) (m>0)，
x≠ 0 也就是 t=∈(-∞, -0)u(0,+∞）
∵g(x)=h(t)=-(m+1)t2+2(m-1)t开口向下，t∈(-∞, -0)u(0,+∞）；易得h(0)=0，h(t)max=,∴0解得0例14：已知函数f(x)=mx2-2(m+2)x+m+1 (m>0)，
若在x∈[0,2]上,该函数总有两个不同的零点，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
∵m>0，对称轴为x=,由题意：
Δ=b2-4ac=[-2(m+2)]2-4m(m+1)=12m+4
由题意：解得：m>7
∴m的取值范围为(7, +∞）。
方法二：参变分离法
x=0显然不是函数f(x)=mx2-2(m+2)x+m+1 (m>0)，的零点；
由x≠ 0 ，mx2-2(m+2)x+m+1=0
化为m=-(m+1)（）2+2(m+2) ，令g(x)=-(m+1)（）2+2(m+2) (m>0)，
∵g(x)=-(m+1)（）2+2(m+2) (m>0)，
x∈(0,2],也就是 t=∈ [,∞)；∵g(x)=h(t)=-(m+1)t2+2(m+2)t开口向下；
∵得：，
解得：m>7，∴m的取值范围为(7, +∞）。
例15：已知函数f(x)=mx2-2(m-1)x+m+1 (m>0)，
若对任意实数x的值,总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
∵m>0，由题意：
Δ=b2-4ac=[-2(m-1)]2-4m(m+1)=-12m+4<0，解得：m>,
∴m的取值范围为（, +∞）。
方法二：参变分离法
x=0显然符合题意；当x≠ 0 时，由题意mx2-2(m-1)x+m+1>0若对任意实数x不等式恒成立，化为m>-(m+1)（）2+2(m-1) ，
令g(x)=-(m+1)（）2+2(m-1) (m>0)，转化为m>g(t)max 。
∵g(x)=-(m+1)（）2+2(m-1) (m>0)，x≠ 0 也就是 t=∈[,]
∵g(x)=h(t)=-(m+1)t2+2(m-1)t开口向下,t=∈[,]；易得
h(t)max=,∴m> m>,∴m的取值范围为（, +∞）。
例16：已知函数f(x)=mx2-2(m-1)x+m+1 (m>0)，
若对任意实数x∈[2,3]的值,总有f(x)>0成立，求实数m的取值范围。
方法一：直接法
∵m>0，对称轴为x=,由题意：
Δ=b2-4ac=[-2(m-1)]2-4m(m+1)=-12m+4
由题意：或或
由第1个不等式组解得m>-1，其它2个都是空集。
又m>0，∴m的取值范围为(0, +∞）。
方法二：参变分离法
x=0显然符合题意；当x≠ 0 时，由题意mx2-2(m-1)x+m+1>0若对任意实数x不等式恒成立，化为m>-(m+1)（）2+2(m-1) ，
令g(x)=-(m+1)（）2+2(m-1) (m>0)，转化为m>g(t)max 。
∵g(x)=-(m+1)（）2+2(m-1) (m>0)，
∵x∈[2,3],也就是 t=∈[,]；
∵g(x)=h(t)=-(m+1)t2+2(m-1)t开口向下，t∈[,]；
得 或 或
分别解得：0
即m>0，∴m的取值范围为(0, +∞）。

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