资源简介

2　30°，45°，60°角的三角函数值
●置疑导入　如图，为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺．你能利用上述测量工具测出这棵大树的高度吗？
(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)
　　【教学与建议】教学：以生活中的实例入手，激发学生的学习热情．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
●复习导入　1.锐角A的三角函数有哪几种？如何表示？
答：将锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的三角函数．
sin A＝　cos A＝　tan A＝
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin A＝____，cos A＝____．
　　【教学与建议】教学：复习内容层层递进，为新课的学习奠定基础．建议：学生回答后，教师及时纠正问题．
●悬念激趣　网络购物从一个新生事物变成了越来越多的人选择的购物方式．本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝(如图)，投放进几家商铺进行出售，你们有没有信心抢到呢？
很好，我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧，看谁能抢到它们！(利用多媒体投影)
商铺：
　　
【教学与建议】教学：以网购，积极抢购订单的形式引入新课，大大调动了学生学习的积极性．建议：让学生独立思考，解决问题．
*命题角度1　利用特殊角的三角函数值求线段长度
构造直角三角形，把特殊角放在直角三角形中，借助特殊角的三角函数值进行计算．
【例1】如图，在△ABC中，∠C为钝角，∠A＝30°，tan B＝1，AC＝2，则AB等于(A)
A.3＋ B．2＋2
C．5 D．
【例2】如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.
(1)求BC的长；
(2)求sin ∠ADC的值．
解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.
∵cos C＝，∴∠C＝45°.
在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，
∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4；
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.∴sin ∠ADC＝.
*命题角度2　由特殊三角函数值求角度
由特殊三角函数值求得对应的特殊角度，再展开相关计算．
【例3】在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是(D)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【例4】已知∠A是△ABC的内角，且sin ＝，则tan ＝____．
*命题角度3　利用特殊角的三角函数值计算
在考查实数的运算时，熟知零指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【例5】计算：
(1)＋(－2)-1－(－2 024)0；
解：原式＝－－1
＝2－－1
＝；
(2).
解：原式＝
＝
＝1.
高效课堂　教学设计
1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．
2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小．
▲重点
能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．
▲难点
在具体情境中构建直角三角形，运用特殊角的三角函数值解决实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
在直角三角形中(利用一副三角尺进行演示)，如果有一个锐角是30°(如图①)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45°呢(如图②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？
　　　　
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究】特殊角的三角函数值
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，那么a，b，c三者之间有怎样的关系？
2．sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流．
3．cos 30°等于多少？tan 30°呢？
4．sin 60°，cos 60°，tan 60°呢？
5．45°角的三角函数值分别是多少呢？
6．填写表格：
三角函数值 sin α cos α tan α
30°
45°
60°
　　【归纳】sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝；
cos 30°＝，cos 45°＝，cos 60°＝；
tan 30°＝，tan 45°＝1，tan 60°＝.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】计算：
(1)sin 30°＋cos 45°；
(2)sin260°＋cos260°－tan 45°.
【方法指导】熟记(特殊角)三角函数的值，计算时一般不取近似值．
解：(1)sin 30°＋cos 45°＝＋＝；
(2)sin260°＋cos260°－tan 45°＝()2＋()2－1＝＋－1＝0.
【例2】一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．(结果精确到0.01 m)
【方法指导】根据题意画出图形，根据图形构造直角三角形，找出图中的特殊角，最后根据特殊的三角函数值求出正确结论．
解：如图，根据题意可知，∠AOD＝×60°＝30°，OD＝2.5 m，
∴OC＝OD cos 30°＝2.5×≈2.165(m).
∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m．
◆活动4　随堂练习
1．课本P9随堂练习．
2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(B)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则tan A＝____．
◆活动5　课堂小结与作业
【归纳】探索特殊角的三角函数值．
【作业】课本P10习题1.3中的T1、T2、T3、T4.
本节课通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，对学生锻炼克服困难的意志，建立自信心很有帮助，以后教学中要继续发扬．

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