资源简介

4　解直角三角形
●情景导入　要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图，现有一个长6 m的梯子．
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α约为多少度(精确到1°)？这时，人是否能够安全使用这个梯子？
解：(1)6×sin 75°≈5.8(m)；
(2)根据题意，得cos α＝＝0.4，∴α≈66°，
∵攀登梯子角度为50°≤α≤75°，
∴人能安全使用这个梯子．
直角三角形中有六个元素，分别是三条边和三个角，那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题．
【教学与建议】教学：由生活常用情景问题导入对直角三角形根据已知元素求未知元素的探究．建议：学生自主计算再核对答案．
●悬念激趣　1.直角三角形随处可见，请同学们观察老师手中的这副三角尺，如图①，它的每个内角分别是多少度？它们的各边之间有什么关系？边与角之间有什么关系？
　　　　　　
2．如图②，在Rt△ABC中，一共有几个元素？请分别写出来．
(1)△ABC的三条边分别是__AB，BC，CA__；
(2)△ABC的三个角分别是__∠A，∠B，∠C__．
师：因此，一个直角三角形中共有6个元素，分别是三条边和三个角，那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？今天，我们就来研究与直角三角形有关的问题．
【教学与建议】教学：通过学生回答一副三角尺的边角关系，直角三角形6个元素，从而较好地引出本节课的研究内容．建议：教师先出示一副三角尺，然后观察一个直角三角形，说出它的6个元素，简单直接引入新课．
*命题角度1　根据三角函数的定义求值
应用三角函数定义求值，一般方法是：找到直角三角形，正确运用三角函数的定义和勾股定理，算出所需线段的长，进而解决问题．
【例1】如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为(A)
A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
　　　　　　
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin ∠DBC＝，那么线段AB的长是__2__．
*命题角度2　构造直角三角形求线段的长
当所给图形不是直角三角形时，需要根据已知作辅助线，构造直角三角形，然后再根据三角函数的定义求解．
【例3】如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，BC＝2，则AB的长为(B)
A．2＋2 B．2＋2 C．3＋2 D．3＋2
　　　　　　
【例4】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝____．
*命题角度3　综合运用三角函数解决问题
综合运用三角函数，先根据已知条件，利用三角形的中线、勾股定理、全等，相似等知识，最后再利用三角函数解决．
【例5】如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，求cos (α＋β)的值．
解：如图，连接BC.∵网格图是由10个完全相同的正三角形构成，
∴AD＝DE＝CE＝BE，∠ADE＝∠BEC＝120°，
∴△ADE≌△CEB，∴∠EBC＝∠α.
∵∠BEC＝120°，BE＝CE，∴∠BCE＝×(180°－120°)＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝60°＋30°＝90°.
设正三角形的边长为a，则AC＝2a，BC＝a.
在Rt△ACB中，AB＝＝a，
∴cos ∠ABC＝＝＝.
又∵∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝∠β＋∠α，
∴cos (α＋β)＝.
【例6】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.
(1)求sin ∠CAH的值；
(2)如果CD＝，求BE的值．
解：(1)∵AE⊥CD，∴∠AHC＝90°.
∵AH＝2CH，∴AC＝＝CH.
∴sin ∠CAH＝＝＝；
(2)∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝2，∠B＝∠BCD.
∵AE⊥CD，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACH＝90°.∴∠B＝∠BCD＝∠CAH.
∴sin B＝＝sin ∠CAH＝＝，
∴AC∶AB＝1∶.
∵AB＝2，∴AC＝2.
设CE＝x(x＞0)，则AE＝x，
在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2＋22＝(x)2，解得x＝1，∴CE＝1.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝4，
∴BE＝BC－CE＝3.
高效课堂　教学设计
1．理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形．
2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形．
▲重点
根据条件解直角三角形．
▲难点
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别记作a，b，c.
问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？
问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？
问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
解：问题1：a2＋b2＝c2；
问题2：∠A＋∠B＝90°；
问题3：sin A＝，cos A＝，tan A＝，
sin B＝，cos B＝，tan B＝.
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝，求这个三角形的其他元素．
【方法指导】已知两边可求第三边，再根据边角之间的关系求出角的度数．
解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝，b＝，
∴c＝＝＝2.
在Rt△ABC中，sin B＝＝＝，
∴∠B＝30°，∴∠A＝60°.
【归纳】由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
【探究2】
(1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？
(2)直角三角形中，除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
(3)通过上面例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？
【归纳】解直角三角形有下面两种情况(其中至少有一边)：
(1)已知两条边(一直角边和斜边或两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边一锐角或斜边和一锐角)．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b＝30，∠B＝25°，求这个三角形的其他元素．(边长精确到1)
【方法指导】在直角三角形中，已知一边和一锐角可求其他的边或角．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝65°.
∵sin B＝，b＝30，
∴c＝＝≈71.
∵tan B＝，b＝30，
∴a＝＝≈64.
【例2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
【方法指导】△ABC不是直角三角形，由∠A＝30°，∠B＝45°，可作AB边上的高构造直角三角形即可求解．
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC·sin 30°＝AC＝，AD＝AC·cos 30°＝AC＝3，
∴BD＝CD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.
◆活动4　随堂练习
课本P17随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P17习题1.5中的T1、T2、T4.
以“会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及用锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，渗透数形结合思想、分类讨论思想等，培养学生良好的学习习惯．给学生自主探索的时间，力求在探索知识的过程中，培养学生探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性．

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