资源简介

3　三角函数的计算
●类比导入　如图，当登山缆车的吊箱经过点D到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝45°，那么缆车垂直下降的距离是__100_m__，当缆车的吊箱从点B到达点A，它走了200 m，∠β＝16°，你能求出缆车垂直下降的距离吗？
　　　　　　
　　【教学与建议】教学：用贴近学生生活的问题情境导入课题，由特殊角45°到求sin 16°的值，由此引出一般锐角的三角函数值的计算问题．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
●情景导入　如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA＝OB＝2 m．你能求出此时另一端A离地面的高度吗？
　　　
要求另一端A离地面的高度，实际上就是求直角三角形的直角边，所以只要求出sin B的值即可，但是15°不是特殊角要怎么办呢？
【教学与建议】教学：在直角三角形中解决问题，学生直接得到另一端A离地面高度为AB·sin 15°，让学生想到需要求一般角的三角函数值．建议：直接展示图形、题目，让学生独立思考，提出解决方案．
*命题角度1　利用一般角的三角函数解决仰角、俯角问题
利用三角函数值计算仰角、俯角问题时，根据仰角、俯角构造直角三角形，利用三角函数求解．
【例1】赵强同学在距某电视塔塔底水平距离600 m处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__218__ m．(结果保留整数，参考数据：sin 20°≈0.342 0，sin 70°≈0.939 7，tan 20°≈0.364 0，tan 70°≈2.747 5)
【解析】画出示意图，如图．在Rt△ABC中，AB＝600 m，∠BAC＝20°.
∵＝tan 20°，∴BC＝AB tan 20°≈600×0.364 0≈218(m).
【例2】如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30 m到达B处，测得灯塔的最高点C的仰角
为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD.(结果保留整数．参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD.在Rt△ADC中，∠A＝31°，AB＝20，
∴tan 31°＝，即≈0.6，∴CD≈45 m.
答：这座灯塔的高度CD约为45 m．
*命题角度2　利用一般角的三角函数值表示线段长
当题目中没有给出一般角的三角函数值时，先构建直角三角形，再用一般角的三角函数来表示线段长．
【例3】如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为(用含α 的代数式表示)(B)
A．2sin α　　　　　B．2tan α　　　　　C．2cos α　　　　　D．
　　　　　
【例4】某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为(B)
A． m B． m C． m D． m
*命题角度3　构造图形计算一般角的三角函数值
当求一般角(如15°，22.5°，67.5°等角)的三角函数值时，可以通过构造直角三角形，把一般角转化成特殊角，最后利用边的数量关系求出一般角的三角函数值．
【例5】小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是__＋1__．
高效课堂　教学设计
1．经历用计算器求已知锐角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．
2．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力．
▲重点
1．用计算器求已知锐角的三角函数值；
2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
▲难点
能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
提出问题，引入新课：
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)
问题：
(1)在Rt△ABC中，sin α如何表示？
(2)你知道sin 16°是多少吗？
(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，怎样用科学计算器求三角函数值呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】用科学计算器求一般锐角的三角函数值
用科学计算器求三角函数值，要用到 和键．
例如，求sin 16°，tan 85°和sin 72°38′25″的按键顺序如下表所示．
按键顺序 显示结果
sin 16° sin 16°＝ 0．275 637 355 8
tan 85° tan 85°＝ 11．430 052 3
sin 72°38′25″ sin 72°38′25″＝0.954 450 312
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin 16°，tan 85°，sin 72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同．
【探究2】
(1)如图，为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道．这条斜道的倾斜角是多少？
如图，在Rt△ABC中，sin A＝＝，那么∠A是多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器．请与同伴交流你是怎么做的．
(2)已知三角函数值求角度，要用到 键的第二功能“sin-1，cos-1，tan-1”和键．例如，已知sinA，cos B，tan C，求∠A，∠B，∠C的度数的按键顺序如下表所示．
按键顺序 显示结果
sin A＝0.981 6 sin-10.9816＝78.991 840 39
cos B＝0.860 7 cos-10.8607＝30.604 730 07
tan C＝56.78 tan-156.78＝88.991020 49
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20 mm，深19.2 mm，求V形角(∠ACB)的大小．(结果精确到1°)
【方法指导】根据题意，可知AB＝20 mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD＝19.2 mm，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可．
解：tan ∠ACD＝＝≈0.520 8，
∴∠ACD≈27.5°，
∴∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.
【例2】如图，在某海岛上的观察所A发现海上某船只B，并测得其俯角α＝16°，已知观察所A的标高(当水位为0 m时的高度)为43.74 m，当时水位为＋2.63 m，求观察所A到船只B的水平距离．(精确到1 m)
【方法指导】根据题目条件可求∠B及AC的长，在Rt△ABC中，利用∠B的正切值即可求出BC的长．
解：在Rt△ABC中，根据题意，得∠B＝16°，AC＝43.74－2.63＝41.11(m).
∵tan B＝，∴BC＝＝≈143(m).
答：观察所A到船只B的水平距离BC约为143 m．
◆活动4　随堂练习
课本P14随堂练习
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P15习题1.4中的T1、T4、T5.
本节课通过创设很多贴近学生生活实际的问题情境，提出引发学生思考的问题，让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题、解决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维能力．

展开更多......

收起↑