资源简介

构造三角形中位线
图形 特点 辅助线
已知一边中点 取另一边中点，连接中位线
已知一边中点 将另一边倍长，再连接第三边
已知两边中点 连接第三边
已知一条线段与角平分线垂直 延长这条线段构造等腰三角形
已知四边形的对角线相等 分别取AB，CD，BC的中点E，F，H连接EH，FH
已知四边形的对边相等，如AB=CD 分别取AD，BC，AC的中点E，F，H，连接EH，FH
例题1．如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝45°．∠ADB＝105°，试探究EF与PF之间的数量关系，并证明．
分析：连接PE，由三角形中位线定理可知PF＝PE，且∠EPF＝120°，过点P作PG⊥EF，由直角三角形的性质可求得FGPF，可求得EFPF．
解：EFPF．证明如下：
如图，连接PE，
∵P、E分别为BD、AB的中点，
∴PE∥AD，且PEAD，
∴∠ADP+∠EPD＝180°，
∴∠EPD＝75°，
∵F、P为CD、BD中点，
∴PF∥BC，且PFBC，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，且∠EPF＝75°+45°＝120°，
过P作PG⊥EF于点G，则EF＝2FG，
在Rt△PFG中，由勾定理可得FGPF，
∴EFPF．
例题2．如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，求EF的长．
解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，
∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，
∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，
∴EM∥AB，MF∥DC，EMAB＝2，MFDC＝3，
∵MF∥DC，
∴∠FGC＝∠EFM，
∵EM∥AB，
∴∠FEM＝∠FHB，
∵∠BHF与∠CGF互余，
∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，
∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，
∴△EMF是直角三角形，
∴EF，
例题3．如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10，DE＝2，求AC的长．
分析：延长AC、BE交于点F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10cm，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．
解：延长AC、BE交于点F，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF（ASA），
∴AF＝AB＝10，BE＝EF，
∵BD＝DC，DE＝2，
∴CF＝2DE＝4，
∴AC＝AF﹣CF＝6，
例题4．如图，M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分．已知AB＝6，∠A＝120°，求MN的长．
分析：延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，根据等边三角形的判定与性质可得△ABD是等边三角形，BD＝AB＝AD＝6，进一步证明MN是△BCD的中位线，再根据三角形中位线定理即可求解．
解：如图，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD．
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝6．
∵M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分，
∴BM＝CM，BM+AB+AN＝CM+CN，
∴AB+AN＝CN，
∴AD+AN＝CN，即DN＝CN，
∵BM＝CM，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MNBD＝3．
例题5．如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；
（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．
分析：（1）如图1，连接AC，根据三角形中位线定理证得四边形EFGH的对边EF与GH平行且相等，然后由平行四边形的判定定理推得结论；
（2）四边形EFGH均为平行四边形．以图2为例进行证明．连接AC．证明思路同（1）．
（1）证明：如图1，连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，
∴EF∥AC，；HG∥AC，．
∴EFGH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH均为平行四边形．
证明（以图2为例）：连接AC．
在△BAC中，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，；
在△DAC中，∵G、H分别为AD、CD的中点，∴HG∥AC，．
∴EF平行且等于GH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
习题练模型
1．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 　 　．
2．如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为 　 　．
3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　 　．
4．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
5．△ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD与点D，求证：DE（BC﹣AC）．
6．如图，△ABC中，D和E分别是AB和AC的中点，∠ABC的平分线交DE于点F，已知AB＝4，BC＝7，求EF的长．

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