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数学好玩之神奇的莫比乌斯带
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板块一：知识精讲
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1．莫比乌斯带
【知识点归纳】
莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰 李斯丁于1858年发现。就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。
普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面从两个减少到只有一个）。
2022年5月20日，日本名古屋大学等组成的研究团队在英国科学杂志上发布成果称，在世界首次合成了“莫比乌斯环”形状的碳分子，并将其命名为“莫比乌斯碳纳米带”。
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板块二：典题精练
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一．选择题（共4小题）
1．将如图中的纸环，沿虚线剪开，可以得到（　　）个纸环。
A．1 B．2 C．3
2．关于莫比乌斯带，下面说法错误的是（　　）
A．它只有一个面
B．沿着带子的中线剪开，得到两个环
C．它只有一条边
D．沿着三等分线剪开，得到一个大环和一个小环
3．如图，沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是（　　）
A．两个独立的纸环
B．一个两倍长的大纸环（不是莫比乌斯圈）
C．一个长方形纸条
D．一个两倍长的莫比乌斯圈
4．淘气用纸片做了一个莫比乌斯带，如图，将莫比乌斯带沿中间虚线剪开，得到的是（　　）
A．一个大的莫比乌斯带
B．两个套在一起的纸环
C．两个分开的纸环
D．一个大的纸环，但不是莫比乌斯带
二．填空题（共3小题）
5．过山车的跑道采用的就是 　 　原理，它能使过山车在轨道两面通过。
6．如图是一条莫比乌斯带，在它的中间画一条虚线，沿着虚线剪开后会得到 　 　个圈。
7．如图，取一张长60cm、宽5cm的长方形纸条，使两条宽相对，然后把其中一边的纸条扭转180°，与相对的另一边连接，用固定胶粘起来。一只蚂蚁从某点开始沿着所标出的线爬行，直到回到出发点为止，它爬行的距离是 　 　cm。
三．判断题（共3小题）
8．游乐场的过山车跑道运用了莫比乌斯原理。 　 　（判断对错）
9．机器上的传送带做成“莫比乌斯带”状，可以减少磨损。 　 　（判断对错）
10．在莫比乌斯环的一侧用笔开始沿纸带的中间画线，画一圈后能回到起点。 　 　（判断对错）
数学好玩之神奇的莫比乌斯带
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【答案】A
【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带，用剪刀沿纸带的中央把它剪开．纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：将图中的纸环，沿虚线剪开，可以得到一个两倍长的纸环。
故选：A。
【分析】熟知莫比乌斯带的特点是解决本题的关键。
2．【答案】B
【分析】通过简单介绍一下莫比乌斯带及一些简单实验，即可对四个答案进行选择：莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯在1858年发现的，把一长方形线条先捏着一端，另一端扭转180°，再粘贴起来就化成了莫比乌斯纸带，莫比乌斯带只有一个面，一条边；如果沿着中线剪一次，纸带会变成一个更大的纸环；如果沿着三等分线剪开没有一分为三，而成了一大一小两个相连的环，有趣的是新得到的这个较长的纸带本身是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。
【解答】解：由分析可知：
A．莫比乌斯带只有一个面，此说法正确；
B．沿着带子的中线剪开，得到两个环，此说法错误；
C．莫比乌斯带只有一条边，此说法正确；
D．沿着三等分线剪开，得到一个大环和一个小环，此说法正确。
故选：B。
【分析】本题是一道有关神奇的莫比乌斯带的认识的题目，解题的关键是认识莫比乌斯带。
3．【答案】B
【分析】莫比乌斯圈：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：如图，沿莫比乌斯圈的二分之一线剪下去，剪出来的结果会是一个两倍长的纸环。
故选：B。
【分析】熟悉莫比乌斯圈的特点是解决本题的关键，动手操作是解决此类问题最直接有效的方法。
4．【答案】D
【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开．纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：将莫比乌斯带沿虚线剪开，得到一个两倍长的纸环。
故选：D。
【分析】熟悉莫比乌斯带的特点是解决本题的关键，动手操作是解决此类问题最直接有效的方法。
二．填空题（共3小题）
5．【答案】莫比乌斯带。
【分析】莫比乌斯带的原理是普通纸带的两个面（即双侧曲面），正面与反面涂成不同的颜色把这个纸带变成一个面（即单侧曲面），一只小虫爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面只有一个）。
【解答】解：过山车的跑道采用的就是莫比乌斯带原理，它能使过山车在轨道两面通过。
故答案为：莫比乌斯带。
【分析】本题考查了 莫比乌斯带原理的应用。
6．【答案】1。
【分析】莫比乌斯带：拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个莫比乌斯带；用剪刀沿纸带的中央把它剪开，纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸环；由此求解。
【解答】解：将莫比乌斯带沿虚线剪开，结果是一个两倍长的纸环。
故答案为：1。
【分析】熟悉莫比乌斯带的特点是解决本题的关键，动手操作是解决此类问题最直接有效的方法。
7．【答案】120。
【分析】根据图示可知，这张直条做成的是一个莫比乌斯带，所以这只蚂蚁爬行的距离大约是长方形纸条的两个长，据此解答。
【解答】解：根据图示可知，这是一个莫比乌斯带，其特点之一是蚂蚁可以不接触边缘而爬完纸条的两面，一面长为60cm，两面则是120cm。
故答案为：120。
【分析】本题主要考查旋转的应用，关键考查学生的观察能力和想象能力。
三．判断题（共3小题）
8．【答案】√
【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断。
【解答】解：游乐场的过山车跑道运用了莫比乌斯原理。原题说法正确。
故答案为：√。
【分析】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。
9．【答案】√
【分析】根据莫比乌斯带的特点可知：许多机器上的传动带也经常做成“莫比乌斯”状，它由一个面组成，这样可以避免只磨损一面。据此解答。
【解答】解：莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯发现的，许多机器上的传动带也经常做成“莫比乌斯”状，这样做的目的是避免只磨损一面。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【分析】本题主要考查旋转思想的应用，关键培养学生的应用能力。
10．【答案】√
【分析】根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转180°，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈。可以判断。
【解答】解：在莫比乌斯环的一侧用笔开始沿纸带的中间画线，画一圈后能回到起点。原题说法正确。
故答案为：√。
【分析】此题考查了数学常识，应注意平时数学常识知识的积累。

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