资源简介

《二项分布（一）》教学设计
（人教A版2019年高中数学选择性必修3 第七章7.4.1）
2023年11月
课程、教学设计的理论依据简述
【课程介绍】
本节课是人民教育出版社2019年出版的《普通高中教科书 数学（A版） 选择性必修 第三册 》第七章7.4.1 （第 1 课时）内容。二项分布是在学习了随机变量的分布列和超几何概型、条件概率和独立事件知识之后，学习的又一种重要的概率模型。二项分布在概率与统计中占有重要的地位，在现实生活中有着重要而广泛的应用。同时，二项分布也是高考重点考察的内容。本课程目标以《普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）》内容标准为依据。具体评价方式是以“过程性评价+终结性评价”的方式进行。
【设计理念】
1.二项分布是概念讲授课，具有概率统计的特点。所以本节课采用类比的思想方法，过生活实例认识概念，充分调动学生已有的学习经验，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。
2.教学中引入由特殊到一般的思想方法，强调其概念和分布列，告诉学生本节课将利用归纳方法来研究，使学习变得轻松有趣，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备。
3.本节课的教学方法是：观察、启发、探究相结合组织教学。因为：“观察”遵循了从具体到抽象的认识规律，为抽象概括奠定了基础。学生在观察和实践中发现问题、提出问题；通过探究式教学使学生经历分析问题、解决问题的过程，教师的责任就是创造条件，使学生成为学习的主人。具体操作设想：
(1)以“察”之方式来激发学生探索。
(2)以“探”之方式来启发学生深思。
(3)以“动”之方式来诱导学生灵活善变。
(4)以“练”之方式来引导学生归纳总结。
【教学设计】
课题名称 二项分布 教材 版本 人教A版《数学》 选择性必修3
年级 高二 课时 第1课时 章节 名称 随机变量及其分布
课标要求 1.通过具体实例，了解伯努利试验。 2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。
教学内容分析 1.《二项分布》是2019年人教版《普通高中教科书 数学（A版） 选择性必修 第三册 》的第七章随机变量及其分布的内容，现实世界中有各种各样的随机现象，可以通过不同的概率模型对他们进行刻画。在众多概率模型中，离散型的二项分布应用广泛，是人们重点研究的对象，如保险的有关计算、人口统计与性别比例等。在数学课程中，二项分布是对两点分布的一个推广，并且它与正态分布也有着密切联系。二项分布在概率与统计中占有重要的地位，在现实生活中有着重要而广泛的应用。同时，二项分布也是高考重点考察的内容。 2.伯努利试验是对特殊随机试验的具体描述，二项分布则对伯努利实验中“成功”事件发生概率的计算。在此过程中，既需要对随机试验的特征进行总结和判断，又需要通过分布列从特殊到一般地计算复杂随机事件的概率。所以，该课程是提升学生数学抽象和落实数学建模核心素养的重要内容。
学习重点 伯努利试验、二项分布模型的构建，应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。
学生学情分析 1.在学习本节课之前，学生已经了解了概率的意义，掌握了等可能性事件、互斥事件有一个发生和相互独立事件同时发生的概率计算方法以及分布列等有关内容，也已经具备了一定的抽象、归纳和数学建模能力。希望以小组合作的形式，通过生生互助、师生互动，引领学生进行主动地观察、分析、讨论与思考，同时也尽量满足不同层次的学生对课堂的需求。 2.本节课主要探究的是n重伯努利试验下，随机变量X的概率分布，需要从复杂的实际背景中抽象出数学模型,这对于学生来说还是比较困难的，所以，本节课需要从三重伯努利试验到 n 重伯努利试验的过渡，由特殊到一般的方式展开，也是对学生抽象概括能力的应用。
学习难点 掌握二项分布的数字特征，并能利用它们解决一些简单的实际问题。
教学目标设计 1.能够从具体实例中归纳总结出 n 重伯努利试验的特征，并能判断随机试验是否是n重伯努利试验。 2.通过对n重伯努利试验中随机变量X概率分布的探究，经历从特殊到一般的过程，能归纳出二项分布的分布列，并能说出各个字母的含义。 3.在合作中，通过对不同概率分布图的观察，发现二项分布的性质。 4.能判断随机变量X是否服从二项分布，并能运用所学知识解决实际问题，在此过程中体会数学的严谨性，培养克服困难的精神。
评价任务设计 1.通过口头检测评价目标1是否达成。 2.通过课堂观察评价目标2是否达成。 4.通过课堂观察评价目标3是否达成。 3.通过课后习题评价目标4是否达成。
教学策略设计 1.授课方式是探究与讲解相结合，通过设置问题链，引导学生总结 n 重伯努利试验的概念。学生应用模型思想，能掌握n重伯努利试验的特征。 2.采用问题驱动的课堂教学方法，通过设置问题串，让学生自然地从三个独立事件过渡到 n个独立事件。运用由特殊到一般的思想方法和类比的思想方法构建二项分布模型，并运用求解二项分布的分布列，同时能明确分布列中各个字母的表示含义。 3.采用 软件呈现n-p的概率分布图的变化，学生通过对不同概率分布图的直观观察，探究二项分布概率分布图的性质和二项分布的几何意义。利用多媒体等技术手段辅助教学，可以帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维，从而提高课堂教学效率。 4.通过思维导图的形式展现本节课的知识脉络，学生可以对本节课的重点有清晰的认识，可以加深学生的记忆，同时运用归纳的思想和应用二项分布概型解决实际问题。
教学流程 由特殊到一般的思想归纳n重伯努利试验的概念 情景引入，通过中国女篮的罚球命中数，应用类比的思想，由具体到抽象推导二项分布的分布列 应用二项分布解决实际问题 课堂小结和核心素养的提升。
教学环节 教学内容 教学活动 设计意图
课前引入 察 一、问题导入 请同学们根据老师给大家的情景，回答相关问题。 学生： （1）试验结果只有两个。 （2）同一试验重复多次。各次试验成功的概率相同。 （3）各次试验结果相互独立。 通过具体的问题情境，引发学生思考，积极参与互动，说出自己见解。 通过口头检测评价目标一是否达成。
课中环节 探 二、引入新知 1.伯努利试验 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials)。将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。 问题1：恰有一次命中的概率是多少？ 问题2：恰有两次命中的概率是多少？ 问题3：三次均命中的概率是多少？？ 解： P(X=3)=P()= 老师：雅各布·伯努利Jako. Bernlli）．瑞士数学家，他被公认为概率论的先驱之一。 教师：同学们，在这个问题情境下，恰有一次，两次，三次命中的概率各是多少呢？同学们想用什么样的方法呢？ 学生：列举法，树状图法。 （1）恰有一次命中的概率：p=C_3^1×0.8×0.2×0.2=0.096 （2）恰有两次命中的概率：p=c_3^2×0.8×0.8×0.2=0.384 （3）三次均命中的概率：p=0.8×0.8×0.8=0.512 引入的n重伯努利试验的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 授课方式是探究与讲解相结合，通过设置问题链，引导学生总结 n 重伯努利试验的概念。学生应用模型思想，能掌握n重伯努利试验的特征。
课中环节 动 课中环节 练 三、归纳概念 四、概念讲授 2.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率是p（ 00.5时向右偏倚。 七、习题巩固 习题1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： （1）恰好出现5次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 解：设A=“正面朝上”，则P(A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，X~B(10,0.5). 习题2：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数， 则X～B(5，0.6)。 甲最终获胜的概率为 + =0.68256 八、均值和方差 假设随机变量X服从二项分布B（n，p）,那么X的均值和方差是什么？ ： 教师：此时K的取值有要求吗？ 学生：因为此时随机变量X是离散型随机变量，所以K的取值为0，1，2，3。 教师：请同学们思考，如果此时我们将3次伯努利试验推广到n次，那么恰有k次命中的概率？学生：只需要把刚才的3换为n即可。 教师：K的取值呢？ 学生：0，1，2，3一直到n。 教师：同学们，这是在n重伯努利试验下，事件A发生概率为0.8的情况中得到的答案，如果现在，我们更一般地，将事件A发生的概率设为P，则概率又该如何表示？ 教师：了解了二项分布各个字母的含义后，对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？ 在教学中可以让学生思考如下问题，伯努利试验是什么？成功的事件是什么？成功的概率是多少？重复实验的次数是多少？各次实验结果是否相互独立，成功的次数与落入格子号码对应的关系是什么？ 教师：二项分布中需要注意的问题和关注点 (1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p。 (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式。 ②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。 教师：如果我们改变了概率分不同中事件发生的次数n和概率发生的大小p，我们的概率分布图又会有怎样的变化呢？ 教师：同学们，通过探究 动态演示图的变化，你有怎样的发现？ 教师：抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。 教师：判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大，可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。 学生：因为，所以5局3胜制对甲有利。实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利。 教师：n为1时，随机变量X服从怎样的分布？ 学生：两点分布。 教师：那他们的均值和方差分别是？ 学生： 教师：n为2时，随机变量X服从怎样的分布？ 学生：二项分布。 教师：根据他分布列的特征，归纳出二项分布的均值和方差。 教师：设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）。 一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p)。 采用问题驱动的课堂教学模式，通过设置问题串，让学生自然地从三个独立事件过渡到 n个独立事件。运用由特殊到一般的思想方法构建二项分布，并运用求解二项分布的分布列。 通过问题分析，让学生掌握二项分布的概念及其特点。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 采用 软件呈现n-p的概率分布图的变化，探究二项分布概率分布图的性质。利用多媒体等技术手段辅助教学，可以帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维，从而提高课堂教学效率。 可以采用由特殊到一般地归纳猜测结果，根据定义计算。这样的过程有利于培养学生的直观想象和逻辑推理素养。 运用归纳的思想，应用二项分布概型解决实际问题。 类比两点分布的分布列以及均值和方差，归纳总结二项分布的均值和方差。 采用由特殊到一般的思想方法，根据定义计算，有利于培养学生的直观想象好逻辑推理素养。
课堂总结 老师:一起完成本节课的总结。 学生分别回答，教师帮助整理。 整合这节课的知识脉络，方便学生记忆。
板书设计 PPT展区
课后反思 通过课中和课后学生的反馈，四个教学目标基本达成。 教学中学生画图比较困难，需要加强分析和指导。 二项分布的分布列中各量的几何含义做了初步了解，后面的学习中还需要加强。

展开更多......

收起↑