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第五单元 数学广角-鸽巢问题
一、学习目标
1、经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。（重点）
2、会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。（难点）
3、通过“鸽巢原理”的灵活应用感受数学的魅力，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，提高学习数学的兴趣。
二、知识点梳理
知识点一 鸽巢原理（一）
问题
“总有”和“至少”是什么意思？
把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
为什么呢？
讲解
“总有”的意思是“一定有”，“至少”的意思是“不少于”。
把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有一个笔筒中有2支、3支或4支铅笔。
方法一：列举法
把4支铅笔放进3个笔筒中，一共有4种情况（4支铅笔不管放进哪个笔筒都看作同一种情况），整体观察这4种情况得出结论。
不管哪一种情况，总有1个笔筒中至少有2支铅笔。
方法二：分解法
分解法实际上和列举法一样，只是把具体的分铅笔抽象成分解数。
4种情况中，总有1个数不小于2。
方法三：假设法
如果每个笔筒只放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支还要放进其中的1个笔筒，所以至少有2支铅笔放进了同一个笔筒。
假设法比前两种方法抽象，更具一般性。要解决数据较大的问题时，假设法更清晰、易懂。
总结
鸽巢原理：把个物体任意放进个鸽巢里（，是非零自然数），那么一定有1个鸽巢里至少放进了2个物体。
本题中的4支铅笔相当于个物体，即；3个笔筒相当于个鸽巢，即。
知识点二 鸽巢原理（二）
问题
（1）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么？
（2）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
讲解
（1）方法一：用分解法证明。
把7本书抽象成数字7，再把7进行分解。
发现：把7分成3个数，共8种情况，在任意一种情况中，总有一个数不小于3。
方法二：用假设法证明。
假设每个抽屉最多放2本书，看剩下的1本书如何放。
把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）……1（本）
如果每个抽屉放2本，那么还剩1本。把剩下的1本不管放在哪个抽屉里，这个抽屉里就放了3本书。
由以上可知，把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。
（2）已知有8本书，则8÷3=2（本）……2（本），即每个抽屉分得2本书，还剩下2本。剩余的2本不管怎样放，都要有一个抽屉放3本或3本以上已知有10本书，则10÷3=3（本）……1（本），即每个抽屉分得3本书，还剩下1本。剩余的1本不管怎样放，都要有一个抽屉至少放4本书。
总结
把多于kn（k是正整数）个的物体任意分放进n个空鸽巢里，那么一定有一个鸽巢中放进了至少（k+1）个物体。
知识点三 鸽巢原理的应用
问题
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
讲解
把“摸球问题”转化成“鸽巢问题”，把红、蓝两种颜色看作2个鸽巢，要摸出的球的个数看作分放的物体个数，只要分放的物体个数比鸽巢个数多，就能保证一定有1个鸽巢至少有2个物体。
同样大小的红球和篮球各4个，球的颜色总共有两种，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出3个球。
总结
摸球游戏中，只要摸出的球的个数比它们的颜色种数多1，就能保证至少有2个球同色。
三、典型例题
例1 把19个苹果放进2个盘子里，总有一个盘子里至少放进几个？
解：19÷2=9（个）……1（个） 9+1=10（个)
答：把19个苹果放进2个盘子里，总有一个盘子里至少放进10个。
例2 任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。
解：任意给出3个不同的自然数，从中任取两个数相加：
①3个奇数：奇数＋奇数=偶数
②2个奇数、1个偶数：奇数＋奇数=偶数
③2个偶数、1个奇数：偶数＋偶数=偶数
所以一定有2个数的和是偶数。
例3 判断：11个皮球放进3个箱子里，总有一个箱子至少放5个皮球。（ ）
解：× 要求一个箱子至少要放皮球的个数，要用11除以3的商3加1，即总有一个箱子至少放4个皮球。
例4 把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有不少于5个玻璃球？
解：把25个玻璃球最多放进6个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有不少于5个玻璃球。
总结
（要分的物体的总数－1）÷（其中一个鸽巢里至少有的物体的个数－1）=a……b（b＜a），则a就是所求的鸽巢数。
四、课堂练习
1、填空。
（1）一个盒子里有形状、大小相同的黑、白两种棋子各16枚，要是摸出的棋子一定有2枚同色的，最少要摸出（ ）枚棋子。
（2）在一次飞镖比赛中，李伟投中了8镖，乘积是68环，李伟至少有1镖不低于（ ）环。
（3）要给一个长方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色，不论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。
（4）三个连续自然数分别除以2后，必有（ ）个余数相同。
（5）实验小学有370名学生是2010年出生的，那么至少有（ ）名学生的生日是在同一天。
2、下面两句话中都应用了鸽巢原理，分别说一说其中的哪个量相当于鸽巢，哪个量相当于要分的物体。
（1）一副扑克牌拿掉大小王共52张，现在任意抽取5张，不管怎么抽取，至少有两张是同一花色的牌。
（2）13个同学中至少有2个同学是同一个月出生的。
3、把26块糖分给6个小朋友，总有1个小朋友至少得到5块糖。为什么？
4、一个盒子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的球各20个，从中最少取出多少个球才能保证有2个球的颜色相同？
5、乐乐把41只纸鹤放在5个盒子里，不管怎么放，至少有一个盒子的只数不少于9只。为什么？
6、把35本故事书放在几个袋子里，不管怎么放，总有1个袋子里书的本书不小于4，你知道最多有几个袋子吗？
7、今天是小红的妈妈的生日，小红买了19朵康乃馨送给妈妈，妈妈让她把这19朵花插到花瓶里，并且不管怎么插，总有一个花瓶至少插入5朵花。你知道最多可以插到几个花瓶里吗？

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