资源简介

6　利用三角函数测高
●情景导入　如图展示的是山东省青岛市电视塔夜晚的美丽景色，青岛电视塔坐落于市中心榉林公园内116 m高的太平山上，由上海同济大学马人乐先生设计.1995年被国务院发展研究中心选入《中华之最大荣誉》，认为是“中国第一钢塔”．怎样测量该电视塔的高度呢？它与测量旗杆的方法一样吗？
【教学与建议】教学：选择生活中真实存在的高大建筑的照片引入新课，感受数学与生活的紧密联系．建议：了解祖国高速发展的附加价值．
●置疑导入　如图，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达．已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求画出测量示意图，并标出必要的测量数据(用字母表示)；
(2)写出计算BD高度的表达式．
解：(1)如图：
(2)设BD＝h，则在Rt△BCD中，CD＝，
在Rt△BEF中，EF＝.
∵CD＝EF，∴＝，解得h＝.
【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题引入课题，增加学生学习数学的兴趣．建议：让学生解决问题，为本节课的学习做好铺垫．
*命题角度1　测量底部可以到达的物体的高度
当看一个物体既有仰角又有俯角时，先构造出直角三角形，再灵活选择三角函数进行计算求值．
【例1】如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15 m，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是__(15＋15)__m.
　　　　　　　　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】如图，点P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20 m，则BC＝__(20－20)__m.
*命题角度2　测量底部不可以到达的物体的高度
已知两个仰角，两个测点之间的距离，构造直角三角形，再选择三角函数进行求解．
【例3】如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的剖面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°，在D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6 m，高CD为2.8 m，则塔顶端H到地面的高度HG约为(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，≈1.41)(C)
A．10.8 m B．14 m C．16.8 m D．29.8 m
　　　　　　　
【例4】如图，在高为60 m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，这个建筑物的高度为__40__ m.
*命题角度3　利用三角函数测距离
当要测量不可到达的湖面等的宽度的时候，可以构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理等知识，同时结合方程思想解决问题．
【例5】如图，九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB(这段河的两岸平行)．他们在C点测得∠ACB＝30°，D点测量∠ADB＝60°，CD＝80 m，则河宽AB约为__69__ m(结果保留整数，≈1.73)．
【例6】如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5 m的速度沿着河岸向东步行40 s后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．
解：作AD⊥BC于点D.由题意可知：BC＝1.5×40＝60(m)，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°.
∴∠ABC＝∠BAC.∴BC＝AC＝60 m.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin 60°＝60×＝30(m).
答：此段河面的宽度为30 m．
高效课堂　教学设计
1．能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量．
2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
▲重点
运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．
▲难点
探究测量底部不可到达的物体的高度的方法，并用字母表示结果．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图，站在离旗杆BE底部10 m处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5 m．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度，你知道计算的方法吗？
实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节课要探究的内容．
　　
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】测量倾斜角(仰角或俯角)
测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图)．
测量倾斜角的步骤：
(1)把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅锤线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．
(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的读数．
测量倾斜角的原理：
∵∠BCA＋∠ECB＝90°，∠MCE＋∠ECB＝90°，
∴∠BCA＝∠MCE.因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数．
【探究2】测量底部可以到达的物体的高度
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图，要测量物体MN的高度，需测量哪些数据？
测量AN及AC的长，测量仰角∠MCE.
你能说出测量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数据用字母表示．
(学生之间讨论后回答)
(1)在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α.
(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.
(3)量出测倾器的高度AC＝a.
根据刚才测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由．和同伴交流一下你的发现．
在Rt△MCE中，ME＝EC·tan α＝AN·tan α＝l·tan α，
∴MN＝ME＋EN＝ME＋AC＝l·tan α＋a.
那么底部不可以直接到达的物体的高度如何测量呢？
【探究3】测量底部不可以直接到达的物体的高度
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．
如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：
(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α.
(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(点A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角∠MDE＝β.
(3)量出测倾器的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.
根据测量数据，物体MN的高度计算过程如下：
在Rt△MDE中，ED＝，
在Rt△MCE中，EC＝.
∵EC－ED＝CD，∴－＝b，
∴ME＝，
∴MN＝＋a.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，从地面C，D两处望山顶A，仰角分别为30°，45°.若C，D两处相距200 m，求山高AB.
【方法指导】由AB⊥BC，∠ADB＝45°，则AB＝DB.设AB＝DB＝x m，则CB＝(200＋x)m，即可求出x.
解：在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB.设AB＝DB＝x m，则CB＝(200＋x)m.
在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴tan 30°＝，
即x＝tan 30°×(200＋x)，解得x＝100＋100.
答：山高AB是(100＋100)m.
◆活动4　随堂练习
1．直升飞机在离地面2 000 m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是(C)
A．2 000 m　　　　　　　　　　　B．2 000 m
C．4 000 m D．4 000 m
2．九年级(1)班的同学为了了解教学楼前一棵树生长情况，去年在教学楼前点A处测得树顶点C的仰角为30°，树高5 m，今年他们仍在原地A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少米？(精确到0.01，参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75，≈1.732)
解：1.5 m．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P23习题1.7中的T1、T2、T3.
通过对上节课所学知识的回顾以及问题的抛出，设计活动方案初步填写活动报告表，使所有学生对本节课的活动从理性上有清醒的认识，明确自己在活动中的任务．室内活动为室外活动做好了充分的准备．

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