资源简介

5　三角函数的应用
●情景导入　历史上的海难事件非常多，最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没．在统计所含的75起海难中，遇难人数超过1 000人的共有18起．同学们，怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢？本节课我们一起来探讨这个问题．
【教学与建议】教学：通过盘点海难的文章与图片，使学生自然产生规避危险的想法，教师顺势导入新课．建议：让学生发表感想，帮助学生建立直观印象．
●复习导入　提问：前几节课，我们已经学习了哪些知识？
第一节主要学习了三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则有
sin A＝＝；cos A＝＝；tan A＝＝.
第二节主要学习了特殊角的三角函数值及其简单应用：
sin 30°＝，cos 30°＝，tan 30°＝；
sin 45°＝，cos 45°＝，tan 45°＝1；
sin 60°＝，cos 60°＝，tan 60°＝.
第三节主要学习了利用计算器求任意角的三角函数值及其简单应用．
第四节主要学习了解直角三角形及其简单应用．
提问：这是我们前面学过的比较简单的三角函数的应用，那么对于比较复杂的解决三角函数的问题，我们应该怎么解呢？比如倾斜角、仰角、俯角、方位角等问题．
【教学与建议】教学：复习了上节课的重点知识，以便更好地利用旧知识解决新问题．建议：可以让学生积极回顾，互相补充．
*命题角度1　利用三角函数解决“双直角三角形”类型的问题
借助三角函数表示同一直线上的两条线段，然后利用线段和或差解决问题．
【例1】南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(C)
A．a sin α＋a sin β B．a cos α＋a cos β
C．a tan α＋a tan β D．＋
　　　　　　　
【例2】如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD约为__2.9__m.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
*命题角度2　利用三角函数解决坡度问题
解决坡度问题，关键是明确坡度是坡角的正切，利用坡度得到线段的比，构造直角三角形，利用锐角三角函数，勾股定理等知识，解决问题．
【例3】某堤的横断面如图，堤高BC是5 m，迎水斜坡AB的长是13 m，那么斜坡AB的坡度是(C)
A.1∶3 B．1∶2.6
C．1∶2.4 D．1∶2
【例4】汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200 m且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高0.3 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1；加固后，坝顶宽度增加2 m，斜坡EF的坡度i＝1∶，问工程完工后，共需土石多少立方米？(计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号)
解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，
∴EG＝AH，GH＝AE＝2 m.
∵斜坡AB的坡度i＝1∶1，∴AH＝BH＝30×0.3＝9(m)，∴BG＝BH－HG＝7(m).
∵斜坡EF的坡度i＝1∶，∴FG＝9 m，
∴BF＝FG－BG＝9－7(m)，
∴S梯形ABFE＝(2＋9－7)×9＝(m2)，∴共需土石×200＝900(9－5)(m3).
*命题角度3　解直角三角形的应用——方位角问题
在解决有关方位角的问题时，首先应正确的画出方位角，并能用图中的线段或角来表示题目中所给的量，最后再结合三角函数来计算．
【例5】如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400 m的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°的方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为__566__m.(精确到1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
【例6】如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？
解：作PD⊥AB于D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°，在Rt△PBD中，∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝x.由题意，得AB＝9×＝＝1.5(n mile)，
∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝x，解得x＝(＋1)＜3.
∴有触礁危险．
高效课堂　教学设计
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
2．结合实际问题，弄清方位角的概念．
3．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算．
▲重点
体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．
▲难点
灵活将实际问题转化为数学问题，运用三角函数来解决．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
2015年6月1日约21时30分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没．出事船舶载客454人，其中内宾403人、旅行社随行工作人员5人、船员46人，12人生还．同学们，怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢？本节课我们一起来探讨这个问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行．
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流．
【方法指导】将实际问题转化为解直角三角形问题，本题可构造直角三角形，求出A点到BC的距离即可．
解：过点A作BC的垂线，交BC于点D，
得到Rt△ABD和Rt△ACD，
从而BD＝AD·tan 55°，CD＝AD·tan 25°，
由BD－CD＝BC.
又BC＝20 n mile，
得AD·tan 55°－AD·tan 25°＝20，
∴AD≈20.79 n mile.
∵20.79 n mile＞10 n mile，
∴货轮没有触礁的危险．
【探究2】
如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
【方法指导】由DC⊥BC，∠DBC＝60°可知，DC＝BC.设BC＝x m，则DC＝x m，AC＝(50＋x)m，由sin A＝，即可求出BC＝x，DC＝x.
解：在Rt△ADC中，tan 30°＝，即AC＝.
在Rt△BDC中，tan 60°＝，即BC＝.
又∵AB＝AC－BC＝50 m，
得－＝50，
解得CD≈43.
答：该塔大约43 m．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例题】如图，某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)
【方法指导】根据图回答下列问题：(1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？
解：由条件可知，在Rt△ABC中，
sin 40°＝，即AB＝4·sin 40° m，原楼梯占地长BC＝4·cos 40° m.
调整后，在Rt△ADB中，
sin 35°＝，即AD＝＝(m)，
楼梯占地长DB＝＝(m)，
∴调整后楼梯加长AD－AC＝－4≈0.48(m)，
楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝－4·cos 40°≈0.61(m).
◆活动4　随堂练习
1．如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m，坡底BC＝30 m，∠ADC＝135°.求∠ABC的度数．
解：过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E，F为垂足.
在梯形ABCD中，∠ADC＝135°，AD＝6 m，
∴∠FDC＝45°，EF＝AD＝6 m.
在Rt△FDC中，DC＝8 m，DF＝FC＝CD·sin 45°＝4(m)，
∴BE＝BC－CF－EF＝30－4－6＝(24－4)m.
在Rt△AEB中，AE＝DF＝4 m，
tan ∠ABC＝＝＝≈0.308，
∴∠ABC≈17°7′7″.
2．如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，在点C上方2 m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？(结果精确到0.01 m)
解：在Rt△CBD中，∠CDB＝40°，DB＝5 m，tan 40°＝，BC＝DB·tan 40°＝5tan 40°(m).
在Rt△EDB中，DB＝5 m，BE＝EC＋BC＝(2＋5·tan 40°)m.
根据勾股定理，得DE＝＝≈7.96(m).
答：钢缆ED的长度约为7.96 m．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P21习题1.6中的T2、T3、T4.
本节课的主要学习目标：结合实际情景抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解决实际问题．通过“触礁”问题的解决，引导学生分析问题，初步掌握数学建模的方法，然后再放手让学生自主解决问题．

展开更多......

收起↑