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第一章 直角三角形的边角关系
1　锐角三角函数
第1课时　锐角的正切
●情景导入　如图是意大利著名的建筑——比萨斜塔，是世界著名建筑奇观，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场四大建筑之一，也是意大利著名的标志之一．它从建成之日起便由于土层松软而倾斜，应该如何来描述它的倾斜程度呢？
【教学与建议】教学：创设真实的情景吸引学生的注意力，激发求知欲．建议：启发学生大胆猜想，鼓励各种新鲜的想法．
●归纳导入　1.如图，两个斜坡AB和EF，哪个更陡一些？你是如何判断的？
解：EF更陡．∵＝＜＝1，∴EF更陡．
　　　　　
2．如图，梯子AB沿墙OA下滑到CD处，OA＝OD＝4，OB＝OC＝3，梯子在AB和CD处哪个更陡一些？如何用图中数据判定？
解：AB更陡．＝，＝.
∵＞，∴AB更陡．
【归纳】如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的__正切__，记作__tan_A__，即tan A＝____.tan A的值越大，斜坡越陡．
【教学与建议】教学：计算比较哪个斜坡陡一些从而导入课题，过渡自然．建议：猜想——计算——归纳，放手让学生自己解决．
*命题角度1　根据定义求锐角的正切值
在直角三角形中，如果锐角确定，则其正切值等于这个角的对边与邻边的比值．
【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tan A＝(B)
A． B． C． D．
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tan A＝____．
*命题角度2　利用正切函数求线段的长
根据正切的定义tan A＝可以变形出两个计算公式：对边＝邻边×正切，邻边＝.
【例3】在直角三角形中，有一锐角的正切值为，两直角边长的和为14，则斜边长是(D)
A．15 B．14 C． D．10
【例4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tan A＝，则BC的长是____．
*命题角度3　正切的应用——坡度坡角问题
坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，也称为坡比．
【例5】如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为10 m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(B)
A．4 m B．5 m C．12 m D．24 m
　　　　　　
【例6】某人从点A沿着坡面AD前进了6 m到达点B的位置，此时他在垂直方向上上升了2 m，则坡面AD的坡度为____．
*命题角度4　在平面直角坐标系中求值
在平面直角坐标系中，利用正切可以求点的坐标．关键是通过辅助线构造直角三角形．
【例7】如图，点A(2，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α＝，则t的值是(D)
A．1 B．1.5 C．2 D．3
　　　　　　
【例8】如图，P(12，a)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为____．
高效课堂　教学设计
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．
2．能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．
3．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，了解数学与生活的密切联系．
▲重点
掌握正切的定义及基本应用．
▲难点
利用正切的有关知识解决实际生活的问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
你知道图中建筑物的名字吗？是的，它就是意大利著名的建筑——比萨斜塔，是世界著名建筑奇观，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场四大建筑之一，也是意大利著名的标志之一．它从建成之日起便由于土层松软而倾斜，应该如何用数学方法来描述它的倾斜程度呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
梯子AB比梯子EF更陡．
方法一：从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡．
方法二：因为AC＝ED，所以只要比较BC，FD的长度即可判断哪个梯子陡．因为BC结论：竖直高度相等时，水平宽度越短，梯子越陡．
【探究2】正切的定义
如图，若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
(2)和有什么关系？
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？
结论：由相似三角形的对应边成比例，得＝，即＝.
如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△AB2C2∽Rt△AB1C1，仍能得到＝，因此，无论B2在梯子的什么位置(除点A外)，＝总成立．
【归纳】如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝.
注意：
1．tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．
2．tan A没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比．
3．tan A不表示“tan ”乘“A”．
4．初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角．
【探究3】坡度的定义
如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
(1)tan α和tan β的值分别是多少？
(2)你能比较tan α和tan β的大小吗？
(3)根据tan A的值越大，梯子越陡，你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？
解：(1)甲梯中，tan α＝.乙梯中，tan β＝＝；
(2)tan α＞tan β；
(3)∵tan α＞tan β，∴甲扶梯更陡．
【归纳】坡面与水平面的夹角称为坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比(即坡角的正切)称为坡度(或坡比)．坡度越大，坡面就越陡．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AB＝10 cm，求tan A和tan B的值．
【方法指导】先求出AC，利用正切定义可求出．
解：由勾股定理，得AC＝8，则tan A＝，tan B＝.
【例2】如图，某人从山脚下的点A走了130 m后到达山顶的点B.已知点B到山脚的垂直距离为50 m，求山的坡度．
【方法指导】先求出AC，求出tan A即为山的坡度．
解：由勾股定理，得AC＝120 m，
则tan A＝.
答：山的坡度为.
◆活动4　随堂练习
课本P4随堂练习．
答案：
1．tan C＝.
2．山的坡度为0.286.
◆活动5　课堂小结与作业
【归纳】(1)tan A＝.
(2)tan A的值越大，梯子越陡．
(3)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．
【作业】课本P4习题1.1中的T1、T2、T3.
在解决实际问题中引发认知冲突，发现已有知识不能直接解决问题，需建立新的模型，通过探究、归纳得出正切的定义，再运用这一定义进行计算加以巩固，整个流程符合学生的认知规律，是一个从已有知识发展出新知识的过程．

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