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第2课时　锐角的正弦、余弦
●置疑导入
1．什么是锐角的正切？
2．当直角三角形的锐角确定时，正切值与什么有关？与直角三角形的大小有没有关系？
3．当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？
4．梯子的倾斜程度与这些比有关吗？如果有，是怎样的关系？
【教学与建议】教学：通过提问正切的有关知识，导入新课，问题层层递进，为本节课的学习做好准备．建议：留给学生充足的思考时间，让学生积极动脑．
●类比导入　如图，研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法：一是用梯子的倾斜角来刻画，倾斜角越大，梯子越陡；二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画，正切值越大，梯子越陡．那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢？模拟试验，探究梯子摆放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关．
　　　　　　
【教学与建议】教学：动手操作及量一量活动最易激发学生的想象、思维和发现，类比求正切值导入求其他函数值，激发了学生的学习热情．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，发现规律．
*命题角度1　三角函数的定义　
将正弦、余弦、正切与点的坐标、三角形等知识结合，构造直角三角形，计算相应的线段长，从而得到所求的三角函数值．
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，8)，那么sin α的值是(C)
A． B． C． D．
　　　　　　　
2．如图，在4×4的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是____．
*命题角度2　梯子倾斜程度与锐角三角函数关系
正弦、正切值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡．
【例3】如图，梯子与地面所成的锐角为∠BAC，关于∠BAC的三角函数值与梯子倾斜程度的关系，下列叙述正确的有(B)
①tan ∠BAC的值越大，梯子越陡；
②tan ∠BAC的值越小，梯子越陡；
③sin ∠BAC的值越大，梯子越陡；
④cos ∠BAC的值越小，梯子越缓．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例4】如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，BC∥AD，斜坡AB的坡度为1∶3，坝顶宽BC＝3 m，坝高为4 m，斜坡CD的长为5 m.
(1)试比较斜坡AB和CD哪个更陡；
(2)求坝底AD的长．
解：(1)过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝4 m.
在Rt△CFD中，根据勾股定理，得FD＝＝＝3(m)，
∴tan D＝.
∵tan A＝，∴tan D＞tan A，
∴斜坡CD更陡；
(2)过点B作BE⊥AD于点E，则BE＝4 m，EF＝BC＝3 m.
在Rt△ABE中，∵tan A＝＝，
∴AE＝3BE＝3×4＝12(m)，
∴AD＝AE＋EF＋FD＝12＋3＋3＝18(m).
即坝底AD的长为18 m．
*命题角度3　互余两角的三角函数关系
在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则sin A＝cos B，tan A·tan B＝1.
【例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是(B)
A． B． C． D．
【例6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则tan B＝____．
*命题角度4　同角的正弦余弦之间的关系
对同一锐角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
【例7】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cos A的值为(D)
A． B． C． D．
高效课堂　教学设计
1．理解正弦、余弦的意义．
2．能够用sin A，cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比．
3．能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算．
▲重点
根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算．
▲难点
了解互余两角的三角函数关系并用它来解决实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
上节课，我们研究了“陡”这个字，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”是与梯顶、梯脚到墙角的距离比有关的．如图，研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法：一是用梯子的倾斜角来刻画，倾斜角越大，梯子越陡；二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画，正切值越大，梯子越陡．那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢？下面请同学们模拟试验，探究梯子摆放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
如图，请思考：
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是什么？
(2)和的关系是什么？
(3)如果改变B2在斜边上的位置，则和的关系是什么？
思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？
解：(1)相似；
(2)＝；
(3)相等．
思考：相等　相似三角形对应边成比例　邻边与斜边的比值也相等．
【归纳】∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝.
注意：
1．sin A，cos A中常省去角的符号“∠”；
2．sin A，cos A没有单位，它们都表示一个比值；
3．sin A，cos A是一个完整的符号，不表示“sin ”或“cos ”乘“A”；
4．在初中阶段，sin A，cos A中，∠A是一个锐角；
5．0＜sin A＜1，0＜cos A＜1(∠A是锐角)．
【探究2】梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系
问题：我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tan A有关系：tan A的值越大，梯子越陡．由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sin A，cos A有关系呢？如果有关系，是怎样的关系？
解：如图，AB＝A1B1.
在Rt△ABC中，sin A＝，
在Rt△A1B1C中，sin ∠B1A1C＝.
因为＜，即sin A因为cos A＝，cos ∠B1A1C＝，且AB＝A1B1，所以＞，
即cos A>cos ∠B1A1C，
所以梯子的倾斜程度与cos A也有关系．cos A的值越小，梯子越陡．
【归纳】正弦越大，角越大，梯子越陡；余弦越小，角越大，梯子越陡．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，求BC的长．
【方法指导】利用sin A＝即可求出．
解：在Rt△ABC中，∵sin A＝，即＝0.6，
∴BC＝200×0.6＝120.
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.
(1)求sin A和cos B的值；
(2)求sin B和cos A的值；
(3)由(1)(2)你有什么发现？你能证明自己的发现吗？
解：(1)sin A＝，cos B＝；
(2)sin B＝，cos A＝；
(3)若∠A＋∠B＝90°，则sin A＝cos B，sin B＝cos A．证明略．
◆活动4　随堂练习
1．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都缩小2倍，则锐角A的正弦值(C)
A．缩小2倍　　　　　　　　　B．缩小1倍
C．保持不变 D．不能确定
2．已知∠A，∠B为锐角．
(1)若∠A＝∠B，则sin A__＝__sin B；
(2)若sin A＝sin B，则∠A__＝__∠B.
3．课本P6随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【归纳】(1)sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡；
(2)方法规律：
角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．
【作业】课本P6习题1.2中的T1、T2.
通过类比正切的概念得出正弦、余弦的概念，同时导出三角函数的概念；结合勾股定理、三角形内角和定理等知识，让学生理解三角函数的意义，找出正切、正弦和余弦之间的关系，并能进行简单的计算．少数学生对用函数的观点理解正弦、余弦和正切还比较模糊．

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