资源简介

第2课时　形如y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象与性质
●情景导入　如图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的表达式为y＝－x2＋10.
你能计算出中间抛物线的最高点到桥面的距离吗？
【教学与建议】教学：通过对抛物线有关的实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：提出“二次函数y＝－x2和二次函数y＝－x2＋10的图象怎么画出来”的问题．
●复习导入　问题：二次函数y＝x2与y＝－x2的图象一样吗？它们有什么相同点？有什么不同点？学生回顾交流展示，教师利用课件出示．
(多媒体展示)二次函数y＝x2与y＝－x2的图象及其性质：
二次函数 y＝x2 y＝－x2
图象 抛物线 抛物线
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 (0，0) (0，0)
开口方向 向上 向下
增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0时，y有最小值，最小值是0 当x＝0时，y有最大值，最大值是0
　　【教学与建议】教学：复习二次函数y＝±x2的图象与性质，为本节课的学习做好铺垫．建议：引导学生分析不同表达式所对应的函数图象的相同点和不同点．
*命题角度1　二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象和性质
考查二次函数图象和性质．一般方法是画图观察，数形结合，理解开口方向，对称轴，顶点坐标和增减性．
【例1】关于二次函数y＝－2x2＋1，以下说法正确的是(C)
A．其图象开口向上
B．其图象的顶点坐标是(－2，1)
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＝0时，y有最大值－
【例2】已知点A(－，y1)，B(1，y2)在二次函数y＝x2＋3的图象上，则y1__＞__y2.(选填“＞”“＜”或“＝”)
*命题角度2　二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象的平移规律
将抛物线y＝ax2上下平移可得抛物线y＝ax2＋c.当c>0时，向上平移；当c<0时，向下平移．
【例3】将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2＋1，则平移方式为(C)
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
【例4】将二次函数y＝x2－1的图象向下平移2个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是__y＝x2－3__．
*命题角度3　二次函数y＝ax2＋c与一次函数的图象交点问题
交点的坐标满足函数的表达式，利用这种关系可以求得未知的坐标和函数表达式中待定的系数．
【例5】已知二次函数y＝2x2＋n的图象与直线y＝2x－1交于点P(m，3)，求m，n的值并写出二次函数的表达式．
解：m＝2，n＝－5，y＝2x2－5.(过程略)
*命题角度4　二次函数y＝ax2＋c的实际应用
抛物线型问题，一般是先建立平面直角坐标系，根据题意转化坐标点，求出二次函数的表达式，利用表达式计算有关问题．
【例6】如图，隧道的截图由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用y＝－x2＋4表示．一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？
解：把y＝4－2＝2代入y＝－x2＋4，得2＝－x2＋4，
解得x＝±2，
∴此时可通过物体的宽度为2－(－2)＝4＞2.
∴货运卡车能通过该隧道．
*命题角度5　二次函数y＝ax2＋c的综合题
综合考查二次函数y＝ax2＋c与二次函数y＝ax2图象与性质，利用数形结合思想，从对称、坐标等方面灵活分析运用二次函数．
【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于B，C两点，则BC的长为__6__．
　　　　　　　
【例8】如图，抛物线y＝ax2＋1(a＜0)与过点D(0，－3)且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝__－__．
高效课堂　教学设计
1．经历探索二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象，并能比较它们与二次函数y＝x2的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y＝ax2与y＝ax2＋c图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．
▲重点
作二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象，了解它们的性质．
▲难点
由函数图象概括出二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
许多桥梁都采用抛物线形设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的表达式为y＝－x2＋10，你能计算出中间抛物线的最高点离桥面的高度吗？
　◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
在同一坐标系中作出y＝x2，y＝2x2，y＝x2的图象，并进行比较．
1．列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝2x2 18 8 2 0 2 8 18
y＝x2 2 0 2
　　2.描点、连线．
【归纳】
开口方向 对称轴 顶点坐标 开口大小
y＝x2 向上 y轴 (0，0) 一般
y＝2x2 向上 y轴 (0，0) 较小
y＝x2 向上 y轴 (0，0) 较大
　　二次函数y＝ax2中，a决定了图象在同一直角坐标系中的开口大小：|a|越小图象开口就越大．
【探究2】
在上述坐标系中接着画出y＝－x2，y＝－2x2的图象．
1．列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝－x2 －9 －4 －1 0 －1 －4 －9
y＝－2x2 －18 －8 －2 0 －2 －8 －18
2.描点、连线．
【归纳】(1)二次函数y＝ax2中的a的符号决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上，a＜0开口向下；(2)二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象关于x轴对称．
【探究3】
在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象，并进行比较．
1．列表：
x －2 －1 0 1 2
y＝2x2 8 2 0 2 8
y＝2x2＋1 9 3 1 3 9
y＝2x2－1 7 1 －1 1 7
2.描点、连线．
【归纳】
开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2x2 向上 y轴 (0，0)
y＝2x2＋1 向上 y轴 (0，1)
y＝2x2－1 向上 y轴 (0，－1)
　　y＝ax2＋c与y＝ax2的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点坐标不同，y＝ax2＋c的图象可以看成y＝ax2的图象整体上下移动得到的，当c＞0时，向上移动|c|个单位长度，当c＜0时，向下移动|c|个单位长度．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】二次函数①y＝－2x2，②y＝2x2，③y＝x2，④y＝－x2的图象都是抛物线，开口向上的是________，开口大小相同的是________，关于x轴对称的是________．(填序号)
【方法指导】对于二次函数y＝ax2，a＞0，则开口向上；|a|相等，则开口大小相同；a的符号相反，则关于x轴对称．
解：②③　①②与③④　①②与③④
【例2】已知直线y＝－2x＋3与抛物线y＝ax2相交于A，B两点，且点A的坐标为(－1，m).
(1)求a，m的值；
(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而减小？
【方法指导】(1)点A(－1，m)在直线y＝－2x＋3上，可求出m；点A(－1，m)在y＝ax2图象上，可求出a；(2)(3)根据二次函数的性质可求．
解：(1)将点A(－1，m)代入y＝－2x＋3，得m＝5；把A(－1，5)代入y＝ax2，得a＝5；
(2)y＝5x2；对称轴为y轴；顶点坐标为(0，0)；
(3)当x＜0时，y随x增大而减小．
◆活动4　随堂练习
1．已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物线y＝ax2＋c(a＞0)上，则(C)
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
2．(1)函数y＝x2＋3的图象的顶点坐标是__(0，3)__，开口方向是__向上__；最__小__值是__3__；
(2)函数y＝－2x2＋3的图象可由函数y＝－2x2的图象向__上__平移__3__个单位长度得到；
(3)把函数y＝－3x2的图象向下平移2个单位长度可得到函数__y＝－3x2－2__的图象．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P36习题2.3中的T1、T2、T3.
通过二次函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象与性质，对比y＝x2的图象与性质，然后推导出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质，由特殊到一般，培养学生逻辑推理的核心素养．少量学生对图象之间的关系理解不透，不知道由一个图象通过怎样平移得到另一个图象．
通过创设生活中的问题情景，调动学生学习的积极性，能够让学生带着问题和好奇心积极投入到课堂的学习中去．通过知识的复习回顾，让学生尽早进入学习状态，为新课的学习做铺垫．

展开更多......

收起↑