资源简介

第4课时　形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
●置疑导入　1.你能直接画出二次函数y＝x2－4x＋5的图象吗？若不能，应该如何思考？
2．你能把二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式吗？
3．请画出函数y＝(x－2)2＋1的图象的草图．思考：y＝(x－2)2＋1与y＝x2－4x＋5这两个函数有什么关系？
【教学与建议】教学：把二次函数的一般式转化为顶点式，利用二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．建议：问题层层递进，引导学生自主完成．
●复习导入　1.你能说出函数y＝－(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及其性质吗？
开口向__下__，对称轴是__直线x＝2__，顶点坐标是__(2，1)__，在对称轴右侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴左侧，y随x的增大而__增大__．当x＝__2__时，有最大值__1__．
2．函数y＝－(x－2)2＋1图象与函数y＝－x2的图象有什么关系？
函数y＝－(x－2)2＋1的图象是由函数y＝－x2的图象__向上平移1个单位长度__，再__向右平移2个单位长度__得到的．
函数y＝－(x－2)2＋1化成一般形式为y＝－x2＋4x－3，那么一般形式y＝x2－6x＋21如何化为顶点式呢？从而导入新课．
【教学与建议】教学：复习形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质，由顶点式转化成一般形式，导入新课，过渡自然．建议：学生单独完成后再小组讨论．
*命题角度1　二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的互化
二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c配方成顶点式是y＝a2＋，抛物线的对称轴为x＝－，顶点坐标为(－，).
【例1】若(2，5)，(4，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是(C)
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【例2】抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(A)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
*命题角度2　二次函数图象的平移
利用表达式的变化规律：左加右减，上加下减；利用顶点坐标的变化规律：左减右加，上加下减．
【例3】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是(D)
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
【例4】如果将抛物线y＝x2－2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2－8x＋9重合，那么它平移的过程可以是(D)
A．向右平移4个单位长度，向上平移11个单位长度
B．向左平移4个单位长度，向上平移11个单位长度
C．向左平移4个单位长度，向上平移5个单位长度
D．向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度
*命题角度3　利用二次函数的最值解决简单实际问题
运用配方法或者公式法利用函数表达式求得其图象的顶点坐标，并结合二次项系数判断最值．
【例5】已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是(D)
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
【例6】某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是(A)
A．4 m B．3 m C．2 m D．1 m
　　　　
*命题角度4　二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的符号与函数图象的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的符号由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定．当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；对称轴为直线x＝－；抛物线与y轴的交点坐标为(0，c).
【例7】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a＋2b＋c＜0；④2a＋b＝0.其中正确的结论有__①②④__．(填序号)
【例8】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中结论正确的个数为(C)
A．1个　　　　　　B．2个　　　　　　C．3个　　　　　　D．4个
高效课堂　教学设计
1．能用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
2．能熟练指出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标、开口方向、对称轴．
3．理解并记忆二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及其性质．
4．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质解决问题．
▲重点
1．用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象及性质．
▲难点
二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次函数y＝ax2的联系．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．你能把y＝2x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式吗？
2．你能画出y＝2x2－4x＋5的图象并说出它的性质吗？
配方的步骤
y＝2x2－4x＋5＝2(x2－2x)＋5
第一步：提，提出二次项系数；
＝2(x2－2x＋1－1)＋5
第二步：配，加上括号内一次项系数一半的平方，使括号内前三项成为一个完全平方式．为了等式成立，注意再将此项减去；
＝2(x2－2x＋1)－2＋5
＝2(x－1)2＋3
第三步：理，整理得出结果．
用五点定位法列表画图
列表：
x －1 0 1 2 3
y 11 5 3 5 11
描点、连线．
【归纳】函数的性质：
(1)函数开口向上，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数有最小值3；
(2)x＞1时，y随x的增大而增大；
(3)x＜1时，y随x的增大而减小．
解决二次函数y＝ax2＋bx＋c问题的关键是将其化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标．
【方法指导】将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
解：y＝2x2－8x＋7
＝2(x2－4x)＋7
＝2(x2－4x＋4)－8＋7
＝2(x－2)2－1
因此，二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，－1).
【探究2】
求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标．
解：把二次函数y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得
y＝ax2＋bx＋c
＝a(x2＋x)＋c
＝a[x2＋2·x＋()2－()2]＋c
＝a(x＋)2＋
因此：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，).
【归纳】
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
顶点坐标 (－，)
对称轴 x＝－
开口方向 向上 向下
增减性 x＞－时，y随x的增大而增大；x＜－时，y随x的增大而减小． x＞－时，y随x的增大而减小；x＜－时，y随x的增大而增大．
最值 x＝－时，函数取得最小值 x＝－时，函数取得最大值
　　【探究3】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的应用
如图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示．
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？
(3)你是怎样计算的？与同伴进行交流．
分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左、右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(　　)
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x＝
C．当x＜时，y随x的增大而减小
D．当－1＜x＜2时，y＞0
【方法指导】由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，A项正确；由图象可知对称轴为x＝，B项正确；因为a＞0，图象的对称轴为x＝，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，C项正确；由图象可知，当－1＜x＜2时，y＜0，D项错误，故本选项符合题意．
答案：D
◆活动4　随堂练习
课本P41随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P41习题2.5中的T2、T3、T4.
结合生活中的实例，充分调动学生学习的热情，恰当地过渡，点燃学生求知的欲望．让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替学生思考，把重点放在教学情境的设计上．对学生理解和消化当堂课的知识点，起到了良好的辅助作用，充分调动了学生的动手操作能力，培养了他们通过观察、发现、对比、归纳总结知识的能力，对提高学生分析问题和解决问题的能力有很大的帮助．

展开更多......

收起↑