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第2课时　已知图象上的三点求表达式
●情景导入　多媒体展示：
　　　　
观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线……这些优美的弧线都与二次函数息息相关，这节课我们将继续探讨如何用表达式表示现实情境中的二次函数．二次函数有哪几种表达式，如何求表达式？
【教学与建议】教学：借助现实情境中的二次函数问题激发学生学习的热情．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
●复习导入　1.二次函数表达式有哪几种表达方式？
(1)一般式：__y＝ax2＋bx＋c__；
(2)顶点式：__y＝a(x－h)2＋k[a≠0，(h，k)是抛物线的顶点坐标]__；
(3)交点式：__y＝a(x－x1)(x－x2)[x1，x2是抛物线与x轴的交点横坐标]__．
2．如何求二次函数的表达式？
(1)已知二次函数表达式中的一个字母系数和图象上两个点的坐标，可设__一般式代入__求其表达式；
(2)已知二次函数图象的顶点坐标和图象上另一个点的坐标，可设__顶点式__代入求其表达式；
(3)已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，可设__交点式__代入求其表达式．
【教学与建议】教学：通过问题的回顾，学生会产生寻求其他求解方法的欲望．建议：回顾可以让学生解决问题，而且学会解决问题的多种策略．
*命题角度1　确定二次函数表达式
运用图象、表格、文字中的信息确定二次函数的表达式，并解决相关问题．
【例1】有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是y轴；
乙：与x轴有两个交点，其中一个交点的横坐标为1；
丙：与y轴交点的纵坐标是个正数，且以这三个与坐标轴的交点为顶点的三角形面积为3.
请写出满足上述全部特点的抛物线的表达式：__y＝－3x2＋3__．
【例2】如图，抛物线的顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线对应的函数表达式为__y＝x2－1__．
*命题角度2　利用几何图形确定抛物线的表达式
根据题意利用三角形的面积或几何图形的特征，转化成抛物线上点的坐标，并运用待定系数法确定函数表达式．
【例3】已知抛物线经过原点，且经过点A(2，m)和B(4，m)，若△AOB的面积为4，则这条抛物线的表达式为__y＝－x2＋3x或y＝x2－3x__．
【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝x2＋bx－2的图象经过点C，求抛物线的表达式．
解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAD＝90°，
∴∠OAB＝∠DCA.
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC.
又∵∠AOB＝∠CDA＝90°，
∴△AOB≌△CDA(AAS).
∵A(1，0)，B(0，2)，
∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3，∴C(3，1).
∵点C(3，1)在抛物线y＝x2＋bx－2上，
∴1＝×9＋3b－2，解得b＝－，
∴抛物线的表达式为y＝x2－x－2.
高效课堂　教学设计
1．会用待定系数法确定二次函数的表达式．
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同方面对函数的性质进行研究．
▲重点
会用待定系数法确定二次函数的表达式．
▲难点
会求简单的实际问题中的二次函数表达式．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
(1)二次函数表达式有哪几种表达方式？
　　一般式：y＝ax2＋bx＋c；
顶点式：y＝a(x－h)2＋k[a≠0，(h，k)是抛物线的顶点坐标]；
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2).
(2)如何求二次函数的表达式？
①已知二次函数表达式中的一个字母系数和图象上的两个点的坐标，可设一般式代入求其表达式；
②已知二次函数顶点坐标和图象上的一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式；
③已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设交点式代入求其表达式．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
已知函数图象上三点，求表达式．
已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
【方法指导】已知图象上三点设一般式代入，可求出表达式，再转化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
解：设所求的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)的坐标分别代入表达式，得
解这个方程组，得
∴所求二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5.
∵y＝2x2－3x＋5＝2(x－)2＋，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，).
【探究2】
教材P45“议一议”
一个二次函数的图象经过点A(0，1)，B(1，2)，C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．
方法一：易知B(1，2)为函数图象的顶点．设所求的二次函数为y＝a(x－1)2＋2，由图象经过点(0，1)，得1＝a(0－1)2＋2，解得a＝－1.故所求的二次函数表达式为y＝－(x－1)2＋2，即y＝－x2＋2x＋1.
方法二：设所求的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将三点A(0，1)，B(1，2)，C(2，1)的坐标分别代入表达式，得解得
∴所求二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋1.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例】已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．
(1)试确定此二次函数的表达式；
(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，请说明理由．
【方法指导】(1)知道二次函数上的三个点的坐标，可以用待定系数法来求表达式；(2)判断一个点是否在某个函数图象上，通常用的方法是让自变量取点的横坐标，算出对应的函数值，如果与点的纵坐标相等，则点在这个函数图象上，否则就不在．在平面直角坐标系中求三角形的面积，要注意应用横、纵坐标的绝对值等于点到纵、横坐标轴的距离．
解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把(0，3)，(－3，0)，(2，－5)分别代入，
得解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3；
(2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．
当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.
∴点A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，
∴S△PAB＝×4×3＝6.
◆活动4　随堂练习
课本P45随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P45习题2.7中的T1、T2、T3.
在创设情境环节中，利用实际生活中的问题引导学生思考，能够提高学生学习兴趣，对数学的应用价值有深入的体会；在探究新知活动中，学生能够在讨论、交流的同时，对于求得新知有深入的理解，获得求解二次函数表达式的方法．

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