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第2课时　二次函数与利润问题
●情景导入　请同学们思考下面的问题：
1．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售量x(件)满足关系式y＝－x2＋50x－500，则要想获得最大利润每天必须卖出多少件？
解：求最大利润就是求二次函数y＝－x2＋50x－500的最大值是多少．
y＝－x2＋50x－500＝－(x2－50x＋252－252)－500＝－(x－25)2＋125，
∴当销售量为25件时，总利润最大，最大利润为125元．
我们可以通过求二次函数的最大值来确定最大利润，这节课我们就利用这种思路求解有关最大利润的问题．
【教学与建议】教学：给出实际问题中的二次函数表达式，学生解答后能够获得成就感，为本节课展开探究积累经验和信心．建议：学生独立解题并在小组中展示．
●复习导入　1.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条__抛物线__，它的对称轴是__直线x＝h__，顶点坐标是__(h，k)__.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条__抛物线__，它的对称轴是__直线x＝－__，顶点坐标是___(－，)__.
3．当a>0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向__上__，有最__低__点，函数有最__小__值，是___；当a<0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向__下__，有最__高__点，函数有最__大__值，是___.
前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，最大面积问题由二次函数的性质可以得到，最大利润问题也与二次函数的最值有关．让我们大家一起进入到今天的研究课题．
【教学与建议】教学：巩固二次函数的相关知识，为本课的学习做好铺垫．建议：举手抢答，培养学生的竞争意识．
*命题角度1　利用二次函数解决 “每每”问题
成本价为定值的情况下，单价利润＝售价－成本，总利润＝销售量×单件利润．总利润是销售单价的二次函数．考虑自变量取值范围的确定，保证实际问题有意义．
【例1】将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1个，则销售这种商品能获取的最大日利润是(B)
A．600元　　　　B．625元　　　　C．650元　　　　D．675元
【例2】某旅行社有100张床位，每张床位每晚收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每张床位每晚收费再提高2元，则再减少10张床位的租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每张床位每晚收费应提高__6__元．
*命题角度2　利用一次函数的图象与二次函数解决最大利润问题
利用图象求得一次函数的表达式，从而辅助列出二次函数的表达式，再利用二次函数的知识求得最大值．注意求最值时要考虑自变量的取值范围．
【例3】某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数表达式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(30，100)，(45，70)代入一次函数表达式，得解得故每天的销售量y与销售单价x之间的函数表达式为y＝－2x＋160；
(2)由题意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1 250.
∵－2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝－2×(50－55)2＋1250＝1 200.
故销售单价定为50元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润为1 200元．
高效课堂　教学设计
1．经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会用二次函数解决最优化问题的过程，并感受数学的应用价值．
2．根据二次函数关系式和图象特点，明确当a<0时函数有最大值，当a>0时函数有最小值，从而解决实际问题．
▲重点
探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．
▲难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
请同学们思考下面的问题：
某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数，且L＝－x2＋2 000x－10 000，则产量是多少时总利润最大？最大利润是多少？
【方法指导】求最大利润就是求二次函数L＝－x2＋2 000x－10 000的最大值是多少．
解：L＝－x2＋2 000x－10 000＝－(x2－2 000x＋1 0002－1 0002)－10 000＝－(x－1 000)2＋990 000.
∴当x＝1 000，即产量为1 000件时，总利润最大，最大利润为990 000元．
【归纳】我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润，这节课我们就利用这种思路求解有关最大利润的问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
服装厂生产某品牌的T恤衫，成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
1．本题反映了哪两个变量之间的关系？
2．设批发单价为x(10＜x≤13)元，那么
(1)销售量可以表示为________件；
(2)销售额可以表示为________元；
(3)所获利润可以表示为________元；
(4)当销售单价是________元时，可以获利最大利润，最大利润是________元．
解：1.反映了利润与单价之间的关系；
2．(1)(5 000＋500×)
(2)(5 000＋500×)x
(3)(5 000＋500×)(x－10)
(4)12　20 000
【探究2】
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房的日租金总收入为y元，则y＝(160＋10x)(120－6x)＝－60(x－2)2＋19 440.
∵x≥0，且120－6x>0，∴0≤x<20.
当x＝2时，y最大＝19 440.
这时每间客房的日租金为160＋10×2＝180(元).
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19 440元．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例】教材P49“议一议”
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式：y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000.
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系；
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？
解：(1)由函数表达式可知，当x＝5，10，15，20时，y的值依次是60 375，60 500，60 375，60 000，函数图象如图；
(2)由－5x2＋100x＋60 000＝60 400，
解得x＝10±2，
即当增种橙子树的数量x满足5＜x＜15时，可以使橙子总产量在60 400个以上．
◆活动4　随堂练习
课本P49随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P50习题2.9中的T1、T2、T3.
本节课采用“引导——探究——发现”的教学方式，结合T恤衫销售、橙子产量等实际问题的探究，希望通过师生互动、生生互动共同解决问题，提高课堂教学效率，也体现了教师是数学学习的组织者、引导者、合作者的理念．

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