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3　确定二次函数的表达式
第1课时　已知图象上的两点求表达式
●情景导入　问题：有一个抛物线形的拱桥，这个拱桥的最大高度为10 m，跨度为30 m，现建立如图所示的坐标系，这条抛物线的表达式是y＝－(x－15)2＋10.
【解析】抛物线的顶点坐标为__(15，10)__，设抛物线的表达式为__y＝a(x－15)2＋10__，已知抛物线过点__(0，0)__，代入表达式得到__y＝－(x－15)2＋10__．
【教学与建议】教学：通过生活中的拱桥问题，引发学生的学习热情．引导学生主动参与思考．建议：引导学生主动参与、分析．
●置疑导入　如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
　　　　　　
【教学与建议】教学：通过建立不同的坐标系，寻找求二次函数表达式的最佳方法．建议：引导学生归纳总结求二次函数表达式的方法：图①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c；图②当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k；图③当已知抛物线与x轴的交点(x1，0)和(x2，0)时，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2).
●复习导入　1.正比例函数经过点(1，3)，该函数表达式是y＝3x.
2．已知y是x的一次函数，请你添加条件__一次函数图象过点(1，3)，(3，1)__，则此函数的表达式为__y＝－x＋4__．(答案不唯一)
3．已知y是x的反比例函数，请你添加条件__函数图象过点(1，2)__，则此函数的表达式为__y＝__. (答案不唯一)
4．如果已知二次函数图象的特点，知道两个点的坐标或三个点的坐标，你能确定二次函数的表达式吗？
【教学与建议】教学：复习用待定系数法求函数表达式，从而导入能否用这种方法求二次函数表达式．建议：引导学生对所学知识进行横向对比，找出它们之间的异同．
*命题角度1　已知三点确定二次函数表达式
确定二次函数表达式的方法是待定系数法，即找出图象上的三个点的坐标，代入y＝ax2＋bx＋c中，列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值．
【例1】已知二次函数的图象经过(－2，－10)，(1，5)，(0，4)，则该函数的表达式为(A)
A．y＝－2x2＋3x＋4 B．y＝3x2－x－4
C．y＝2x2－5x－4 D．y＝－x2＋3x＋4
【例2】已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于－2时，函数值是－1；当x＝1时，函数值是5.则此二次函数的表达式为__y＝2x2＋4x－1__．
*命题角度2　用“顶点式”求二次函数表达式
已知抛物线的顶点(h，k)，设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k，再将抛物线上一个已知点的坐标代入表达式，求得a值，得到二次函数表达式．
【例3】已知一个二次函数，当x＝1时，y有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是(D)
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
【例4】二次函数的图象经过点(4，－3)，且当x＝3时，有最大值－1，则该二次函数的表达式为__y＝－2x2＋12x－19__．
*命题角度3　用“交点式”求二次函数表达式
已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为(x1，0)(x2，0)，设表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再将抛物线上的一个已知点坐标代入表达式，求得a值，得到二次函数表达式．
【例5】如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线表达式为__y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2__．
*命题角度4　实物抛物线
根据实物抛物线建立适当的平面直角坐标系，灵活选择坐标点确定二次函数表达式，解决相关实际问题．
【例6】中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500 m，最低点P到口径面AB的距离是100 m，若按如图②所示建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是__y＝x2－100__．
　　
【例7】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加__(4－4)__m.
　高效课堂　教学设计
1．让学生利用已知条件设立恰当的函数表达式，用待定系数法求二次函数的表达式．
2．利用二次函数的表达式和性质解决问题．
▲重点
根据已知条件设定恰当的函数表达式．
▲难点
会利用二次函数的性质解决实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现建立如图所示的坐标系，请求出这条抛物线的表达式．
解析式法、列表法和图象法是我们学过的常用的表述函数的方法．如何确定函数的表达式呢？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4，3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？
【方法指导】读图获得信息：抛物线的顶点坐标为(4，3)，经过点(10，0)，可以设抛物线表达式为y＝a(x－4)2＋3，代入(10，0)列出一元一次方程，求得a的值，从而得到二次函数的表达式．
解：设抛物线表达式为y＝a(x－4)2＋3，代入(10，0)，得0＝a(10－4)2＋3，
解得a＝－.
∴y与x之间的关系式为y＝－(x－4)2＋3.
【探究2】
确定一个二次函数表达式需要哪些条件？带着这个问题解决以下两个例题．
【例1】已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
解：将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y＝ax2＋c中，
得解得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2－5.
【例2】已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(2，3)，求这个二次函数的表达式．
解：∵顶点坐标为(2，3)，
∴设所求二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋3.
把(0，1)代入上式，得a(0－2)2＋3＝1，
解得a＝－，∴y＝－(x－2)2＋3.
小结：已知两点确定二次函数表达式需要满足以下两点之一：①已知两个点的坐标，且其中一个是顶点；②已知两个点的坐标，且a，b，c中有一个是已知数．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P42“做一做”
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(－2，13)，求这个二次函数的表达式．
【方法指导】已知三点坐标可设表达式为y＝ax2＋bx＋c.
解：由y＝ax2＋bx＋c过三点：(0，1)，(2，5)，(－2，13)，得解得
∴这个二次函数的表达式y＝2x2－2x＋1.
【例2】已知二次函数经过点(1，4)，(－1，0)和(3，0)三点，求二次函数的表达式．
【方法指导】已知图象与x轴两个交点坐标，可设y＝a(x－x1)(x－x2)，再代入另一点坐标即可．
解：∵二次函数经过点(－1，0)和(3，0)，
∴可设二次函数表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，
把(1，4)代入，得4＝a(1＋1)(1－3)，
解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3，
∴所求二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
【归纳】(1)已知三点坐标求二次函数表达式，选用一般式：y＝ax2＋bx＋c；(2)已知顶点坐标、对称轴和最值求二次函数表达式，选用顶点式：y＝a(x－h)2＋k；(3)已知与x轴的交点坐标求二次函数表达式，选用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2).
◆活动4　随堂练习
课本P43随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P43习题2.6中的T1、T2、T3.
运用复习提问、创设情境的方法对本节课的学习进行知识的铺垫和心理的激励工作，极大调动了学生的学习热情．

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