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5　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程根的关系
●情景导入　如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有关系：h＝20t－5t2.
考虑以下问题：
(1)球的飞行高度能否达到15 m？如能，需要飞行多长时间？
(2)球的飞行高度能否达到20 m？如能，需要飞行多长时间？
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
解：(1)15＝20t－5t2，t1＝1，t2＝3，∴需要飞行1 s或3 s；
(2)20＝20t－5t2，t1＝t2＝2，∴需要飞行2 s；
(3)20.5＝20t－5t2，Δ＜0，方程无实数根，∴不能达到20.5 m；
(4)0＝20t－5t2，t1＝0，t2＝4，∴要用4 s．
　　【教学与建议】教学：由学生熟悉的实例导入，激发学生的学习热情．建议：先让学生独立做题，再小组讨论，交流成果．
●类比导入　我们学习了关于x的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？
问题1：一次函数y＝x＋1的图象与x轴的交点为(__－1__，__0__)，一元一次方程x＋1＝0的解为__x＝－1__.
问题2：一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点为(__2__，__0__)，一元一次方程－2x＋4＝0的解为__x＝2__.
问题3：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解．
问题4：现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？
【教学与建议】教学：利用所学的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系进行回顾，为本课的学习做铺垫．建议：问题4让学生说出自己的想法，揭示课题．
*命题角度1　根据二次函数与一元二次方程的关系解方程
不需要确定待定系数的值，观察图象，把握已知条件，寻找交点的横坐标．
【例1】函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是(A)
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
　　　　　　
【例2】已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为(D)
A．x1＝－1，x2＝0 B．x1＝－1，x2＝1
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3
*命题角度2　运用交点式(两根式)确定二次函数的表达式
当二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)(x2，0)时，把已知点的坐标代入y＝a(x－x1)(x－x2)列出一元一次方程，解方程求得a的值，再把a的值代入y＝a(x－x1)(x－x2)即可．
【例3】已知二次函数y＝ax2＋2ax－3的部分图象(如图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋2ax－3＝0的两个根分别是x1＝1.3和(D)
A.x2＝－1.3
B．x2＝－2.3
C．x2＝－0.3
D．x2＝－3.3
【例4】已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点(2，0)，(1，0)，则a＝__1__，b＝__－3__．
*命题角度3　根据二次函数与一元二次方程的关系判断待定系数的范围
能根据抛物线图象确定待定系数的范围，有时会考查当x＝1或x＝－1时代数式a＋b＋c或a－b＋c的大小．
【例5】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正确的是(D)
A．b2－4ac＞0 B．a＞0
C．c＞0 D．－＜0
　　　　　　
【例6】函数y＝x2＋bx＋c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论：
①b2－4c＞0；②b＋c＝0；③b＜0；④方程组的解为⑤当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＞0.其中正确的是(B)
A．①②③　　　B．②③④　　　C．③④⑤　　　D．②③⑤
高效课堂　教学设计
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
3．理解何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根．
▲重点
理解二次函数与一元二次方程间的联系，理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
▲难点
理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实数)图象交点的横坐标．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示．
(1)h与t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
【方法指导】(1)将点(0，0)，(8，0)代入可得h＝－5t2＋40t；(2)当h＝0时，t1＝0，t2＝8，∴小球经过8 s落地．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
教材P51“议一议”
二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示：
　
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个实数根？用判别式验证一下．一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
学生先独立观察图象，然后根据问题思考解决方法，并在组内交流讨论，然后归纳总结出讨论：
(1)第一个图象与x轴有2个交点；
第二个图象与x轴有一个交点；
第三个图象与x轴没有交点；
(2)第一个方程有两个实数根：x＝0和x＝－2；
第二个方程有一个实数根：x＝1；
第三个方程没有实数根；
(3)由问题(1)(2)可归纳得出：y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标的横坐标等于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
【归纳】Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，其交点横坐标等于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；Δ＝0时，图象与x轴有一个交点，交点横坐标等于方程的根；Δ＜0时，图象与x轴无交点．
【探究2】
教材P52“想一想”
在本节一开始的小球上抛向题中，何时小球离地面的高度是60 m？你是如何知道的？
【方法指导】已知h＝－5t2＋40t，把h＝60代入即可求出时间．
解：由－5t2＋40t＝60，解得t1＝2，t2＝6.
即当小球经过2 s和6 s时小球离地面60 m.
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】若二次函数y＝2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围．
【方法指导】由题意知该函数为二次函数，则2(k－1)≠0，又与x轴有两个交点，则说明当y＝0时，2(k－1)x2－4kx＋2(k－1)＝0有两个不同的实数根，即b2－4ac＞0.
解：由题意，得
解得k≠1且k＞，∴当k＞且k≠1时，二次函数的图象与x轴有两个交点．
【例2】画出二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题：
(1)图象与x轴的交点坐标是什么？
(2)当x取何值时y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有何关系？
(3)你能从中得到什么启示？
【方法指导】∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标是(1，4)，列表取值时，x取－2，－1，0，1，2，3，4，求出相应的y值，即可描点、连线，画出二次函数的图象，得到二次函数的图象与x轴的交点坐标，这时再求出方程x2－2x－3＝0的解，即二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标．
解：二次函数y＝x2－2x－3的图象如图．
(1)图象与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)；
(2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，这里x的取值是方程x2－2x－3＝0的两个根；
(3)二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根；一元二次方程的两根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
◆活动4　随堂练习
课本P52随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P52习题2.10中的T1、T2、T3.
本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得一定的教学效果，再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题．

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