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4　二次函数的应用
第1课时　二次函数与图形面积、抛物线形问题
●置疑导入　朝阳广告公司接到了一笔业务，需要设计一块周长为20 m的矩形广告牌，公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，小李是该公司的设计员，他认为矩形广告牌的最大面积是25 m2，你认为他说的对吗？
【教学与建议】教学：设置生活常用问题，能提升学生学习的兴趣．建议：最值可转化为求抛物线顶点坐标问题．
●复习导入　1.二次函数图象的顶点坐标有几种求法？
__配方法__和__公式法__．
2．对于二次函数y＝－x2－2x－3.
(1)图象形状：__抛物线__，开口方向：__向下__.
(2)顶点坐标：__(－1，－2)__，对称轴：__直线x＝－1__.
(3)当x＝__－1__时，y有最__大__值，是__－2__.
(4)当－1≤x≤4时，y的最小值为__－27__，y的最大值为__－2__．
【教学与建议】教学：共同复习二次函数最值的求法以及二次函数的性质，为本节课的学习做好准备．建议：要求学生熟练将一个二次三项式配方．
*命题角度1　利用二次函数解决简单面积最值问题
用二次函数解决几何图形的最大面积问题，先利用几何图形的面积公式得到二次函数关系式，再转化成顶点式确定二次函数的最大值．
【例1】用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为S cm2的长方形，S的值不可能为(D)
A．20 B．40 C．100 D．120
【例2】把一根长100 cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是__312.5__cm2.
*命题角度2　利用二次函数解决围成图形面积最值问题
围成图形面积最值问题，设一边长为自变量x，则邻边长用含x的式子表示，面积可表示为含自变量x的二次函数，进而可求得最大面积，同时要考虑自变量的取值范围．
【例3】如图，小明想用长为12 m的栅栏，借助围墙(围墙足够长)围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是(B)
A．16 m2 B．18 m2 C．20 m2 D．24 m2
【例4】如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆厚度忽略不计)，当AB＝__150__m时，矩形土地ABCD的面积最大．
　　　　
*命题角度3　利用二次函数解决动态几何面积的最值问题
通常以时间为自变量，借助行程公式表示相关线段的长，结合几何图形的面积公式列出二次函数表达式，求出最值，自变量的取值范围必须考虑．
【例5】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为(C)
A．6 s　　　　　　B．4 s　　　　　　C．2 s　　　　　　D．1 s
*命题角度4　二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题
此类问题，常与三角形或四边形知识紧密结合，常考查二次函数图象的基本性质，最值问题及相似三角形性质等知识点．
【例6】如图，设抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于两个不同的点A(－1，0)，B(m，0)，与y轴交于点C，且∠ACB＝90°.
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知过点A的直线y＝x＋1交抛物线于另一点E，且点D(1，－3)在抛物线上．问：在x轴上是否存在点P，使以点P，B，D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)令x＝0，得y＝－2，∴C(0，－2)，∴OC＝2.
∵A(－1，0)，∴OA＝1.
∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，易得△AOC∽△COB，
∴＝，∴OB＝＝＝4，∴m＝4，∴B(4，0).
将A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－2，
得解得∴抛物线的表达式为y＝x2－x－2；
(2)存在．联立抛物线与直线表达式，得
　　　答图
解得或
∴E(6，7).
如答图，过点E作EH⊥x轴于点H，则H(6，0)，
∴AH＝EH＝7，∴∠EAH＝45°.
过点D作DF⊥x轴于点F，则F(1，0)，
∴BF＝DF＝3，∴∠DBF＝45°，
∴∠EAH＝∠DBF＝45°，
∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°，
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP1∽△EAB，则＝.易得BD＝3，AE＝7，AB＝5.
∴BP1＝＝＝，
∴OP1＝OB－BP1＝4－＝，
∴P1(，0).
②若△DBP2∽△BAE，则＝，
∴BP2＝＝＝，
∴OP2＝BP2－OB＝－4＝，
∴P2(－，0).
综上所述，点P的坐标为P1(，0)或P2(－，0).
高效课堂　教学设计
1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
▲重点
分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
▲难点
利用数学方法解决实际问题．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌，大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多？
思考下面的问题：
现在一个广告公司接到了一笔业务，需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌，公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，如果你是该公司的设计员，你能否设计出令公司满意的广告牌？
要解决这些实际问题，实际上就是求面积最大的问题，本节课我们将继续利用二次函数解决实际问题——最大面积问题．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
【方法指导】易证△FDC∽△FAE，
∴＝，
∴AD＝30－x，
∴y＝x(30－x)＝－(x－20)2＋300，
∴当x＝20时，y最大，y最大＝300.
结论：有两边在三角形的两直角边上时，矩形的最大面积为300 m2，是在AB＝20 m时取得的．
【探究2】
如果我们将这个问题再进行变式：
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．
(1)设矩形的一边BC＝x m，那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？
【方法指导】过点O作OH⊥MN，易得△OAD∽△OMN，MN＝50 m，OH＝24 m，
∴＝，化简得AB＝24－x，
∴y＝x(24－x)＝－(x－25)2＋300，
∴当x＝25时，y最大，y最大＝300.
结论：当有一边在直角三角形的斜边上时，矩形的最大面积是300 m2，是在BC＝25 m时取得的．
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】某建筑物的窗户示意图如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m2)
【方法指导】正确识图，所有黑线之和应为7x＋4y＋πx＝15，可求y与x的关系式是y＝.
解：∵7x＋4y＋πx＝15，∴y＝.
∵0＜x＜15，且0＜＜15，
∴a＜x＜1.48.
设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x－＝－x2＋x＝－(x－)2＋.
易得当x＝≈1.07时，S最大＝≈4.02.
因此，当x约为1.07 m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积约为4.02 m2.
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，设EB＝BF＝GD＝DH＝x，则四边形EFGH的最大面积为________.
【方法指导】四边形EFGH的面积可以用矩形面积减去4个三角形的面积来求．设四边形EFGH的面积为S，则S＝S矩形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CGF－S△DGH＝3×1－(1－x)(3－x)－x2－(1－x)(3－x)－x2＝－2(x－1)2＋2，当x＝1时，S有最大值，为2.
答案：2
◆活动4　随堂练习
课本P47随堂练习．
◆活动5　课堂小结与作业
【作业】课本P47习题2.8中的T1、T2、T3.
解决最大面积应用问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程．通过学习用二次函数知识解决最大面积的问题，让学生增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．

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